數(shù)學建模融入應用數(shù)理統(tǒng)計中的案例教學研究

王瓊 王峰

［摘? ? ? ? ? ?要］? 應用數(shù)理統(tǒng)計是工科研究生培養(yǎng)過程中一門重要的應用類數(shù)學公共課程。針對應用數(shù)理統(tǒng)計課程教學中存在的教學模式單一、工程實踐能力不強等問題，探討了新工科背景下數(shù)學建模融入應用數(shù)理統(tǒng)計課程中的遞進式案例教學，以數(shù)學建模賽題為基礎，按照課程知識點將其設計成多個部分組成的螺旋遞進式案例，并與傳統(tǒng)教學的效果進行對比，結果顯示，案例教學組的課程成績、滿意度要顯著優(yōu)于傳統(tǒng)教學組。數(shù)學建模融入應用數(shù)理統(tǒng)計的遞進式案例教學有助于培養(yǎng)研究生統(tǒng)計思維和工程實踐能力，推動應用型創(chuàng)新人才的培養(yǎng)。

［關? ? 鍵? ?詞］? 應用數(shù)理統(tǒng)計；數(shù)學建模；新工科；遞進式案例

［中圖分類號］? G642? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ［文獻標志碼］? A? ? ? ? ? ? ? ? ? ［文章編號］? 2096-0603（2023）35-0033-04

一、引言

“新工科”概念自2016年提出以來，迅速受到學術界和業(yè)界的廣泛關注。新工科教育注重產業(yè)需求導向、跨界交叉融合和支撐服務，注重培養(yǎng)學生的創(chuàng)新能力和工程實踐能力[1]。應用數(shù)理統(tǒng)計課程是工科研究生公共基礎必修課程，是研究生培養(yǎng)過程中一門重要的應用類數(shù)學公共課程，所有嘗試科學試驗的自然科學、社會科學領域都需要掌握統(tǒng)計學的知識。大數(shù)據時代下，研究生的數(shù)據統(tǒng)計分析能力與數(shù)學建模水平是應用型研究生綜合素養(yǎng)、統(tǒng)計分析能力和創(chuàng)新能力的根基，更是能否真正成為高層次創(chuàng)新型應用人才所應具有的數(shù)學理論準備[2]。如何在新工科背景下深化應用數(shù)理統(tǒng)計課程教學改革，助力提升研究生培養(yǎng)質量，是研究生教育面臨的極具挑戰(zhàn)性的問題。

不同于本科階段，研究生階段的教育會更加注重培養(yǎng)學生的創(chuàng)新能力。目前大多數(shù)研究生一方面沒有機會直接進到企業(yè)接觸實際應用場景；另一方面從書中獲得的理論知識稍顯淺薄。而綜合數(shù)理知識與實際應用場景的數(shù)學建模競賽賽題涉及的覆蓋面廣泛[3]，大多是與國家戰(zhàn)略需求、社會熱點等相關的問題，或是貼近科學研究前沿的有待解決或完善的問題。通過數(shù)學建模競賽賽題的訓練，能夠培養(yǎng)研究生綜合運用數(shù)學模型、統(tǒng)計分析的思想及方法解決實際問題的能力，同時有助于培養(yǎng)他們的創(chuàng)新能力及團隊協(xié)作精神。而新工科建設中卓越工程師的核心秘訣就是其創(chuàng)新意識、團隊協(xié)作精神和工程實踐環(huán)境。因此，在應用數(shù)理統(tǒng)計課程教學中，適當引入數(shù)學建模競賽的相關內容作為教學案例，為研究生提供一個可觸達實際需求和場景的“練兵場”，是實戰(zhàn)的重要方式，將使研究生從全新的角度對課程的意義產生新的認識。因此，開展新工科背景下數(shù)學建模融入應用數(shù)理統(tǒng)計課程的案例教學研究對提高研究生工程教育質量和培養(yǎng)卓越工程師具有重要的實踐意義。

二、應用數(shù)理統(tǒng)計課程教學現(xiàn)狀

應用數(shù)理統(tǒng)計是數(shù)據統(tǒng)計分析的重要基礎課程。一些高校理工科專業(yè)開設這門課程的主要目的是培養(yǎng)學生數(shù)據統(tǒng)計分析能力，這也是研究生后續(xù)從事科研的主要數(shù)學工具。由于課程學時少、學生數(shù)學基礎參差不齊等原因，應用數(shù)理統(tǒng)計課程在傳統(tǒng)教學中仍存在一些問題。

（一）教學模式單一，教學內容與行業(yè)前沿相脫節(jié)

首先，應用數(shù)理統(tǒng)計課程教學大多沿用傳統(tǒng)的數(shù)學課程教學方式，偏重于統(tǒng)計理論傳授和公式推導，使得任課教師成為傳授知識的主動者，研究生被動地接受知識，大大削弱了其積極性和主動性，導致學生只能死記硬背和套用數(shù)學公式，而無法領悟其中的數(shù)學思想[4]。其次，教學內容大多是課程驅動，以知識為導向，課堂上一些研究生缺乏批判思維，不敢挑戰(zhàn)或質疑權威，主動創(chuàng)新不足，難以促成課程的高階性學習。最后，應用數(shù)理統(tǒng)計課程雖然是面向理工科不同專業(yè)開設，但沒有針對不同專業(yè)進行個性化內容設計，導致教學內容無法有效銜接后續(xù)核心專業(yè)課程，更與行業(yè)前沿相脫節(jié)，使得研究生難以將所學知識應用于實踐。

（二）課程工程實踐能力培養(yǎng)弱，學生有效參與度低

人工智能和大數(shù)據時代，新興學科與傳統(tǒng)學科、工程教育與傳統(tǒng)科學人文教育的有機融合，推動科技發(fā)展走向高度融合。新工科建設也要求不同學科之間的滲透交叉融合，全面提升研究生的工程實踐能力與綜合素養(yǎng)。然而，在應用數(shù)理統(tǒng)計課程教學過程中，缺少實踐應用環(huán)節(jié)，而且不同學科知識之間交叉融合得不多，僅依賴單一學科的知識實際上很難產出有創(chuàng)新性的成果。大數(shù)據AI融合發(fā)展背景下，學術界與產業(yè)界邊界的模糊化，使得研究生現(xiàn)有的工程實踐能力無法滿足產業(yè)界實際工程問題的需求[5]。而研究生與導師之間的單向知識灌輸，又使得學科交叉關聯(lián)性不強，無法滿足研究生的個性化培養(yǎng)，更無法讓研究生意識到團隊協(xié)作的重要性。

三、數(shù)學建模融入的遞進式案例教學設計

要把理論知識轉化為實踐能力和創(chuàng)新創(chuàng)業(yè)能力，最根本的途徑仍然是加強實踐環(huán)節(jié)。教育部更是明確將學科競賽作為實踐教學與人才培養(yǎng)改革的重要環(huán)節(jié)[6]。全國研究生數(shù)學建模競賽（NPMCM）最早于2003年舉辦，自2013年起成為全國研究生創(chuàng)新實踐系列活動之一。數(shù)學建模是對工程領域或社會熱點等實際問題進行研究，要求將其轉化為數(shù)學模型加以求解并不斷優(yōu)化的過程。數(shù)學建模競賽賽題通常是具有實際工程背景或是具有廣泛應用前景的問題，是聯(lián)系數(shù)學理論知識與實際問題的橋梁，更是培養(yǎng)研究生創(chuàng)新意識和實踐創(chuàng)新能力很重要的一個實踐環(huán)節(jié)[7]。對于研究生來說，不僅要學會在合適的情境選擇相匹配的數(shù)據分析技術和統(tǒng)計方法解決實際問題，還要學會如何優(yōu)化、迭代所構建的數(shù)學模型。

因此，針對不同專業(yè)特色，將數(shù)學建模融入應用數(shù)理統(tǒng)計課程的教學過程中，把數(shù)學建模競賽賽題轉化為遞進式教學案例，將建模思想貫穿整個教學過程，有機融合“理論教學”與“實踐教學”，實現(xiàn)課程教學與專業(yè)學科交叉融合，提升應用數(shù)理統(tǒng)計課程內容的高階性、先進性與創(chuàng)新性，有助于解決現(xiàn)有教學中存在的問題，全面提升研究生運用數(shù)學統(tǒng)計知識與建模方法解決復雜工程問題的能力。

（一）重塑課程教學內容，貫穿創(chuàng)新鏈

根據不同專業(yè)特色和后續(xù)課程的需求，課程教學內容安排應有所側重。新工科建設背景下，基于建構主義理論，重塑課程教學內容，包括概率論基礎、統(tǒng)計基礎、參數(shù)估計、假設檢驗、方差分析、回歸分析、主成分分析、正交試驗等章節(jié)理論知識。有效銜接不同行業(yè)前沿和社會熱點，設計層次遞進式模塊的教學案例資源，使創(chuàng)新鏈和思政要素貫穿整個教學過程，提高研究生學習統(tǒng)計建模方法解決實際問題的興趣與能力。同時，以OBE理念為先導，定期開展課程建設內容集體備課，針對學生學習情況反饋進行復盤，研討課程內容設計，組織說課、賽課，同時聘請校內外課程建設與課堂教學改革經驗豐富的專家開展課程能力提升常態(tài)化培訓，達到“顯性”作用。

（二）構建課內課外一體化教學體系，形成能力鏈

以滿足研究生發(fā)展需求為核心，堅持“知識、能力、素質”融合的教育理念，以“理論—實踐—創(chuàng)新”為框架，通過課堂教學與建模類競賽實戰(zhàn)進行課堂研究性教學和持續(xù)性的課外創(chuàng)新活動，構建課內課外一體化教學體系，實施遞進式案例教學，用“項目鏈”覆蓋“能力鏈”，強化訓練研究生創(chuàng)新實踐能力，培養(yǎng)解決復雜工程問題的能力。充分利用現(xiàn)有建模類公開教學資源，延伸課程廣度與深度，實現(xiàn)全過程學習，起到“隱性”成效。

（三）開展多層次課程教學方法的創(chuàng)新研究，以賽促學

實施分層次教學，開展基礎理論教育、研究性學習等特色教學模式。建立課程討論群，與學生實時溝通，針對統(tǒng)計建模與求解過程中存在的問題，利用討論群進行精準輔導。利用討論群提供統(tǒng)計建模類競賽相關的內容，便于學生進行延伸閱讀與拓寬視野。鼓勵研究生參加各類數(shù)學建模競賽，形成課內課外的閉環(huán)轉化，實現(xiàn)以賽促學的目的，提升學業(yè)挑戰(zhàn)度。

四、數(shù)學建模融入的遞進式案例教學實踐

采用案例教學法有助于提升研究生的創(chuàng)新能力和實踐能力[8]。案例選取時應考慮理論知識上要具有典型性和遞進性，應用上要結合不同專業(yè)特色具有可操作性和實踐性。因此，在設計教學案例時應明確與該案例相聯(lián)系的是哪些知識點、知識點遞進順序以及為哪些教學章節(jié)服務。選取適當?shù)难芯可鷶?shù)學建模競賽賽題，結合應用數(shù)理統(tǒng)計課程的相關知識點，在此基礎上將競賽賽題轉化為遞進式教學案例。案例教學時要注重講解統(tǒng)計建模技術、計算機編程求解以及綜合應用等。

課程教學團隊以全國研究生數(shù)學建模競賽真題為基礎，進行遞進式案例教學設計，完成案例的數(shù)據采集和數(shù)據清洗，并根據課程知識點和PBL教學要求編制遞進式案例的具體子案例。同時，每個子案例挖掘出相應知識點的教學問題，如每個子案例的關鍵點、需要重點解決的問題、主要的參考資料以及統(tǒng)計軟件操作。以全球變暖與氣候變化為例，該案例涉及數(shù)據獲取與預處理、描述性統(tǒng)計分析、相關性分析、回歸分析、主成分分析以及預測分析等統(tǒng)計知識點。因此，教學團隊在該賽題的基礎上設計遞進式案例教學，將其分解為案例引入、案例遞進和案例總結三個部分。

首先，案例引入部分強調全球氣候變化問題是由多個復雜因素引起的，需要大量時空數(shù)據進行分析。這可以訓練學生數(shù)據獲取與預處理的能力，引導他們正確對待數(shù)據誤差，培養(yǎng)其辯證思維。其次，在案例遞進部分，將整個案例按照課程知識點分解為5個問題。（1）基于空間和時間的地區(qū)溫度變化趨勢研究：主要訓練時空數(shù)據分析能力和數(shù)據可視化處理能力，能更直觀地表現(xiàn)數(shù)據的趨勢特征。（2）極寒天氣與全球氣候的相關關系研究：主要訓練學生理解散點圖，熟練掌握變量間相互關系的判斷。（3）海洋表面溫度的影響因素分析研究：讓學生根據海洋表面溫度特點預判可能的影響因素，掌握回歸分析方法，培養(yǎng)批判思維和科學思維能力以鞏固對統(tǒng)計知識的理解。（4）全球氣候變化的指標篩選研究：使學生理解降維的思想，掌握主成分分析方法，能夠從眾多變量中篩選出少數(shù)綜合變量來描述，培養(yǎng)學生簡化復雜系統(tǒng)，抓住主要矛盾的哲學思想。（5）全球氣候變化趨勢的預測研究：讓學生熟悉各類預測方法，培養(yǎng)嚴謹?shù)闹螌W態(tài)度。這5個問題按照知識點的邏輯順序和案例內容的延續(xù)性，從易到難，螺旋遞進。最后是案例總結部分，組織小組討論如何對模型或指標進行優(yōu)化或拓展分析。通過遞進式案例教學，可以將所學知識應用于實際問題，有助于學生主動探索，形成系統(tǒng)性思考，提升思維的高階性和創(chuàng)新性。這種集知識、能力和素質培養(yǎng)為一體的遞進式案例教學，必將切實推動高層次創(chuàng)新型應用人才的培養(yǎng)。

五、數(shù)學建模融入的遞進式案例教學成效分析

課程教學團隊在面向不同專業(yè)的應用數(shù)理統(tǒng)計課程教學過程中進行了遞進式案例教學實踐。經過多年的課程教學改革，實踐結果表明相較于其他專業(yè)，采用案例教學的專業(yè)研究生在對知識點的理解和掌握程度、對統(tǒng)計模型的實踐應用以及統(tǒng)計軟件操作的熟練程度方面，均有了顯著提升。采用案例教學的專業(yè)課程成績平均分為85.89，高于傳統(tǒng)教學組；標準差為9.37，低于傳統(tǒng)教學組的標準差11.11，說明兩組課程成績存在顯著差異。這進一步說明由于案例教學組中學生課堂表現(xiàn)更活躍、小組討論參與度更高更積極，使得學生課程成績總體表現(xiàn)更優(yōu)。

課程結束后，發(fā)放課程滿意度調查問卷，包括課程教學內容、課程互動、數(shù)據分析能力培養(yǎng)、統(tǒng)計建模能力培養(yǎng)、邏輯思維能力培養(yǎng)五方面滿意度調查。每個方面均設置5個問題，每個問題0～10分，其中非常不同意為0分，非常同意為10分。將每個方面的5個問題得分加總并轉換為百分制。案例教學組共發(fā)放223份調查問卷，回收220份，問卷有效回收率為98.65%；傳統(tǒng)教學組共發(fā)放180份調查問卷，回收180份，問卷有效回收率為100%。

根據調查結果，兩組學生總體對應用數(shù)理統(tǒng)計課程均比較滿意，如表1所示。從課程內容教學滿意度來看，案例教學組和傳統(tǒng)教學組的總體滿意度分別為91.47%和84.87%，標準差為4.13%和4.88%，存在顯著差異。從課程互動滿意度來看，案例教學組的總體滿意度為90.39%，高于傳統(tǒng)教學組的83.40%，兩組差異具有顯著的統(tǒng)計學意義。從能力培養(yǎng)滿意度來看，兩組總體的滿意度均高于80分，但存在顯著差異。無論是數(shù)據分析能力培養(yǎng)、統(tǒng)計建模能力培養(yǎng)，還是邏輯思維能力培養(yǎng)方面，案例教學組都顯著高于傳統(tǒng)教學組。這主要體現(xiàn)在采用案例教學時學生可以全程參與數(shù)據的收集和清洗、統(tǒng)計模型的構建、SPSS軟件分析以及結果討論。整個參與過程，注重統(tǒng)計素養(yǎng)的培養(yǎng)，對學生的數(shù)據分析能力、統(tǒng)計建模能力以及邏輯思維能力的培養(yǎng)都有了進一步提升，這些也越來越受到不同專業(yè)研究生的青睞。最明顯的是近幾年學生參加數(shù)學建模競賽等創(chuàng)新實踐類活動的積極性大幅增加，獲獎隊伍數(shù)也在大幅提升?？梢姡瑪?shù)學建模與應用數(shù)理統(tǒng)計課程有機融合的方式和遞進式教學案例大大充實了教學內容，改進了滿堂灌的教學模式，成功地把工程實踐教學引入課程教學中，激發(fā)了研究生的學習主動性，有效提高了研究生的統(tǒng)計思維和建模實踐能力。

六、結論

為了順應大數(shù)據時代發(fā)展和新工科建設需求，課程教學團隊以學生發(fā)展為中心，從應用數(shù)理統(tǒng)計課程的教學資源、教學內容以及教學模式等方面進行了改革，既有遞進式教學案例庫、自編習題冊，又充分利用現(xiàn)有公開課等在線教學資源。針對課程教學改革的初步成效，課程教學團隊計劃在課程后續(xù)的教學改革過程中，借助網絡教學平臺，開展線上線下相結合的課程教學，增加教學活動中課前、課中和課后的師生互動性，進一步提高學生對應用數(shù)理統(tǒng)計課程的學習興趣和統(tǒng)計思維的培養(yǎng)。根據學生反饋的意見，繼續(xù)完善課程內容設計，編制更多與學生專業(yè)相關的遞進式教學案例，切實提高應用數(shù)理統(tǒng)計課程的教學質量。數(shù)學建模融入應用數(shù)理統(tǒng)計課程的遞進式案例教學的改革實踐，為其他公共數(shù)學研究生課程教學改革提供了實踐支撐。

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