基于μ分析的魯棒控制器在磁懸浮軸承中的應(yīng)用

曾磊，周瑾，崔剛，徐園平，金超武

（南京航空航天大學(xué) 機(jī)電學(xué)院，南京 210016）

磁懸浮軸承通過可控電磁力實現(xiàn)轉(zhuǎn)子的穩(wěn)定懸浮，與傳統(tǒng)機(jī)械軸承相比，具有無接觸、無磨損、無需潤滑和主動控制的優(yōu)點［1］，適合于高速、真空、超凈等特殊環(huán)境，廣泛應(yīng)用于鼓風(fēng)機(jī)［2］、分子泵［3］、心臟泵［4］等旋轉(zhuǎn)機(jī)械領(lǐng)域。由于磁懸浮軸承的負(fù)位移剛度特性導(dǎo)致磁懸浮軸承-轉(zhuǎn)子系統(tǒng)開環(huán)不穩(wěn)定，為保證系統(tǒng)穩(wěn)定運(yùn)行必須引入反饋控制，但磁懸浮軸承-轉(zhuǎn)子系統(tǒng)中存在許多非線性環(huán)節(jié)，例如電磁力與電流、位移之間的非線性以及位移傳感器溫漂現(xiàn)象引起的非線性，使轉(zhuǎn)子懸浮時容易破壞系統(tǒng)平衡狀態(tài)，導(dǎo)致失穩(wěn)，建模時可將其考慮為參數(shù)攝動和建模動態(tài)不確定性。因此設(shè)計的控制器不僅要使系統(tǒng)能夠穩(wěn)定懸浮，還需使系統(tǒng)具有穩(wěn)定性和魯棒性，當(dāng)系統(tǒng)受到不確定的外部干擾和被控對象參數(shù)發(fā)生變化時仍能保持穩(wěn)定狀態(tài)。

磁懸浮軸承的控制方法主要有PID 控制［5］、LQR 控制［6］和魯棒控制等。目前，PID 控制被廣泛應(yīng)用于磁懸浮軸承-轉(zhuǎn)子系統(tǒng)，但PID 控制下磁懸浮軸承支承轉(zhuǎn)子的電磁力剛性不足，導(dǎo)致系統(tǒng)抵抗外界干擾能力較弱，雖然可通過增大比例系數(shù)提高剛度，但過大的比例系數(shù)會導(dǎo)致系統(tǒng)超調(diào)量大，且對于參數(shù)攝動和建模動態(tài)不確定性問題，PID需與其他處理方法配合使用；LQR控制是求解使性能指標(biāo)最優(yōu)化的控制，同樣需要與其他方法配合使用以解決參數(shù)攝動和建模動態(tài)不確定性問題：這2 種控制器均未考慮參數(shù)攝動問題，使系統(tǒng)達(dá)到預(yù)期功能有一定困難。

魯棒控制理論在設(shè)計控制器時考慮了數(shù)學(xué)模型與實際模型之間的差異，使模型在不確定性情況下仍有穩(wěn)定性和魯棒性。魯棒控制方法主要包括H∞控制和μ綜合控制。H∞控制方法在磁懸浮軸承-轉(zhuǎn)子系統(tǒng)中應(yīng)用廣泛：文獻(xiàn)［7］考慮了未建模的動力學(xué)對磁懸浮軸承-轉(zhuǎn)子系統(tǒng)產(chǎn)生的同頻擾動，設(shè)計出H∞和擾動觀測器組成的混合控制器，與存在未知但有界擾動的單環(huán)控制器相比，提出的混合控制方案能夠提高系統(tǒng)抗干擾能力；文獻(xiàn)［8］設(shè)計了主動磁懸浮軸承的H∞控制器，對外界擾動具有良好的抑制作用；文獻(xiàn)［9］為改善具有不確定性的能量回饋式主動懸掛系統(tǒng)的穩(wěn)定性設(shè)計了魯棒控制器，結(jié)果表明系統(tǒng)減振性能得到明顯改善；文獻(xiàn)［10］指出H∞控制雖然考慮了標(biāo)稱系統(tǒng)與攝動系統(tǒng)之間的不確定性，但是系統(tǒng)存在多個不確定性攝動源時，H∞控制由于忽略了結(jié)構(gòu)特征而導(dǎo)致魯棒性較差。μ綜合與分析控制考慮了參數(shù)不確定性及其結(jié)構(gòu)特征，不僅克服了H∞控制方法的保守性，還可對系統(tǒng)進(jìn)行穩(wěn)定性和魯棒性分析。

針對磁懸浮軸承電磁力線性化和位移傳感器溫漂現(xiàn)象等不確定性，本文首先建立考慮參數(shù)不確定性磁懸浮軸承-轉(zhuǎn)子系統(tǒng)的攝動模型；然后，基于該模型設(shè)計一種基于結(jié)構(gòu)奇異值μ分析的魯棒控制器并進(jìn)行仿真分析；最后，在轉(zhuǎn)子試驗臺上進(jìn)行懸浮和激振試驗，以驗證所提控制算法能否有效提升系統(tǒng)的魯棒性和抗干擾能力。

1 數(shù)學(xué)模型

1.1 磁懸浮軸承-轉(zhuǎn)子系統(tǒng)基本原理

磁懸浮軸承-轉(zhuǎn)子系統(tǒng)如圖1 所示，主要由轉(zhuǎn)子、電磁鐵、控制器、功率放大器和位移傳感器組成。位移傳感器實時監(jiān)測轉(zhuǎn)子當(dāng)前位置與參考位置的偏差；控制器根據(jù)偏差信號輸出控制電壓信號給功率放大器；功率放大器將電壓信號轉(zhuǎn)換為電流信號使電磁鐵產(chǎn)生電磁力，進(jìn)而調(diào)節(jié)轉(zhuǎn)子的位移，實現(xiàn)穩(wěn)定懸浮。

圖1 磁懸浮軸承-轉(zhuǎn)子系統(tǒng)圖Fig.1 Diagram of magnetic bearing-rotor system

1.2 四自由度磁懸浮轉(zhuǎn)子建模

本文研究的磁懸浮軸承-轉(zhuǎn)子系統(tǒng)的工作轉(zhuǎn)速低于一階彎曲臨界轉(zhuǎn)速，故將其視為剛性轉(zhuǎn)子進(jìn)行建模。不考慮軸向轉(zhuǎn)動且忽略軸向與徑向的耦合作用，只建立徑向四自由度模型（圖2），相關(guān)參數(shù)見表1。

表1 磁懸浮軸承-轉(zhuǎn)子參數(shù)Tab.1 Parameters of magnetic bearing-rotor system

圖2 磁懸浮軸承-轉(zhuǎn)子系統(tǒng)模型Fig.2 Model of magnetic bearing-rotor system

由理論力學(xué)建立的轉(zhuǎn)子動力學(xué)方程為

式中：xc，yc分別為轉(zhuǎn)子質(zhì)心c在x，y方向的位移；Fxa，F(xiàn)xb分別為轉(zhuǎn)子a，b端在x方向的受力；Fya，F(xiàn)yb分別為轉(zhuǎn)子a，b端在y方向的受力；α，β，ω分別為轉(zhuǎn)子繞x，y，z軸的轉(zhuǎn)角。

可將 （1） 式寫成狀態(tài)空間形式，即

式中：xa，xb分別為轉(zhuǎn)子a，b端在x方向的位移；ya，yb分別為轉(zhuǎn)子a，b端在y方向的位移；ixa，ixb分別為磁懸浮軸承A，B 在x方向產(chǎn)生的電流；iya，iyb分別為磁懸浮軸承A，B 在y方向產(chǎn)生的電流；ki，kx分別為磁懸浮軸承電流剛度、位移剛度的攝動值。

忽略四自由度之間的陀螺效應(yīng)和慣性耦合，即將求解得到的矩陣非對角線元素數(shù)值均取0，得到本試驗臺一、二自由度傳遞函數(shù)為

式中：s為復(fù)數(shù)域，s=jω。

2 控制器設(shè)計

2.1 系統(tǒng)不確定性選取

系統(tǒng)不確定性指系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型與實際模型之間的差距，可分為非結(jié)構(gòu)化不確定性和參數(shù)不確定性。本文主要考慮磁懸浮軸承電磁力線性化和位移傳感器溫漂現(xiàn)象帶來的參數(shù)不確定性。文獻(xiàn)［11］中選取電流剛度和位移剛度的不確定性為5%～10%，不確定性值過小會降低控制器的魯棒性，過大會導(dǎo)致控制器階數(shù)過高。本文選取電流剛度和位移剛度的參數(shù)不確定性為10%，傳感器受溫度影響的不確定性為5%［12］。為驗證不確定性選取的合理性，利用v-gap 理論對選取的不確定量進(jìn)行計算度量［13］，計算得到磁懸浮軸承受溫漂現(xiàn)象攝動下的電流剛度v-gap 值為0.051，位移剛度v-gap 值為0.052，傳感器受溫漂現(xiàn)象攝動下的v-gap 值為0.025。v-gap 值一般為0～1，v-gap 值越小，代表攝動系統(tǒng)與標(biāo)稱系統(tǒng)的開環(huán)特性越接近，故本文的不確定性選取合理。

2.2 系統(tǒng)參數(shù)不確定性的描述

以試驗臺一、二自由度傳遞函數(shù)為例，即

式中：ki0，kx0分別為電流剛度、位移剛度的名義值。

磁懸浮軸承的電流剛度、位移剛度和傳感器增益的攝動值為

式中：ks為傳感器增益的攝動值；ks0為傳感器增益的名義值， 20 000 V/m；δi，δx，δs分別為磁懸浮軸承電流剛度、位移剛度和傳感器增益的相對擾動，-1≤δi≤1，-1≤δx≤1，-1≤δs≤1；wi，wx，ws分別為磁懸浮軸承電流剛度、位移剛度和傳感器增益的不確定量，其值分別為0.1，0.1，0.05。

將ki，kx，ks進(jìn)行上線性分式變換［14］，即

式中：Fu（Mj，δj）（j=i，x，s）為Mj和δj的上線性分式變換；Mj為廣義傳遞函數(shù)；δj為不確定性。

考慮參數(shù)不確定性的廣義被控對象模型如圖3 所示，Gmds為廣義被控對象，ui，ux，us分別為電流剛度、位移剛度、傳感器相對擾動輸入，u為控制器輸出，kar為功率放大器增益，yi，yx，ys分別為電流剛度、位移剛度、傳感器相對擾動輸出，y為系統(tǒng)輸出。

圖3 廣義被控對象模型Fig.3 Generalized controlled object model

將廣義被控對象寫成狀態(tài)空間形式，其輸入向量為［ui ux us u］T，輸出向量為［yi yx ys y］T。

2.3 加權(quán)函數(shù)選擇

磁懸浮軸承中的轉(zhuǎn)子容易受到低頻干擾，為抑制外界輸入低頻范圍內(nèi)的擾動，控制器輸入加權(quán)函數(shù)Wp（s）應(yīng)具有低通特性，在低頻段具有較大增益。經(jīng)多次試驗，Wp（s）為

為去除控制器輸出的高頻成分并防止功率放大器輸出電流過大而損壞磁懸浮軸承線圈，控制器輸出加權(quán)函數(shù)Wu（s）應(yīng)當(dāng)具備高通濾波特性，在高頻段具有較大增益。經(jīng)多次試驗，Wu（s）為

磁懸浮軸承閉環(huán)控制系統(tǒng)傳遞框圖如圖4 所示，r為參考信號，e為偏差信號，K為控制器，d為擾動，z1，z2為加權(quán)函數(shù)輸出。

圖4 磁懸浮軸承閉環(huán)控制系統(tǒng)傳遞框圖Fig.4 Transfer block diagram of closed-loop control system for magnetic bearing

控制器設(shè)計的目標(biāo)是為保證系統(tǒng)在參數(shù)不確定性下的穩(wěn)定性和魯棒性［15］。靈敏度函數(shù)S指誤差e與參考r之間的傳遞函數(shù)，補(bǔ)靈敏度函數(shù)T指控制器輸出u與系統(tǒng)輸出y之間的傳遞函數(shù)。為保證魯棒性，加權(quán)函數(shù)需滿足

即靈敏度函數(shù)的上界小于1/Wp，補(bǔ)靈敏度函數(shù)的上界小于1/Wu。在所選擇的參數(shù)攝動下，本文選擇的加權(quán)函數(shù)（圖5）理論上能夠保證系統(tǒng)的魯棒性。

圖5 加權(quán)函數(shù)分析Fig.5 Weighted function analysis

2.4 μ綜合控制法

對磁懸浮軸承閉環(huán)控制系統(tǒng)進(jìn)行魯棒控制問題規(guī)范化，令

式中：Δ（s），Δp（s）分別為系統(tǒng)參數(shù)攝動和評價系統(tǒng)性能的不確定性塊。標(biāo)稱系統(tǒng)P由廣義被控對象與加權(quán)函數(shù)組成，其有3 個輸入和3 個輸出，其中（d1，z1）是對外界擾動的評價，（d2，z2）是對控制輸入的評價，（u，y）為控制器的輸入、輸出［14］。磁懸浮軸承系統(tǒng)μ綜合與分析的基本框架如圖6 所示，M為廣義被控對象P和控制器K的下線性分式，復(fù)數(shù)矩陣M∈Cn×n關(guān)于復(fù)數(shù)結(jié)構(gòu)不確定性Δ的結(jié)構(gòu)奇異值μΔ（M）定義為

圖6 磁懸浮軸承μ控制規(guī)范化Fig.6 Standardization of μ control of magnetic bearing

結(jié)構(gòu)奇異值是魯棒分析的有效工具，定理1［14］體現(xiàn)了利用結(jié)構(gòu)奇異值判斷系統(tǒng)魯棒性能的條件。

定理1：設(shè)γ＞0，對于所有滿足||Δ||∞＜γ-1，圖7的反饋系統(tǒng)是良定和內(nèi)部穩(wěn)定的充分必要條件為

圖7 魯棒性分析圖Fig.7 Robust performance analysis diagram

式中：Gp為標(biāo)稱系統(tǒng)。

魯棒性的綜合問題可以理解為尋找一個穩(wěn)定控制器K，使 （14） 式范數(shù)最小，即

但（14）式不能直接求解，可利用定理2［14］通過D-K迭代法求出結(jié)構(gòu)奇異值的上下界完成控制器求解。

定理2：當(dāng)2S+F≤3時（S，F(xiàn)分別為不確定矩陣中重復(fù)標(biāo)量塊矩陣和滿秩矩陣的個數(shù)），有

式中：D為M的標(biāo)度矩陣。

μΔp[Fl(P，K)]可通過選擇標(biāo)度矩陣D進(jìn)行計算，因此μ綜合問題變?yōu)?/p>

或

帶標(biāo)度矩陣的μ綜合問題框圖如圖8所示。

圖8 帶標(biāo)度矩陣的μ綜合問題Fig.8 μ-synthesis problem with scale matrix

D-K迭代法的目標(biāo)是求解（17）式的最優(yōu)μ綜合，其步驟為首先固定標(biāo)度矩陣D1，求解使 （18） 式范數(shù)最小的控制器K，即

其次固定控制器K，求解使（19）式的H∞范數(shù)最小的標(biāo)度矩陣D，即

若D1與D接近，則K為最優(yōu)控制器。本文根據(jù)D-K迭代法思想，利用MATLAB 的魯棒控制箱進(jìn)行迭代求解［16］。

2.5 控制器求解及降階

利用D-K迭代法求解得到的控制器為

控制器階數(shù)越高，反饋控制越難實現(xiàn)，且高階控制器面臨難于求解和計算量大的問題。在保證最終性能損失在允許范圍內(nèi)的前提下，對控制器進(jìn)行降階并離散。本文采用均衡截斷法［17］對控制器進(jìn)行降階，降階和離散化后的控制器傳遞函數(shù)為

μ綜合控制器降階前后伯德圖如圖9 所示，控制器降階前后在對應(yīng)頻率段內(nèi)的特性基本保持一致。

圖9 μ綜合控制器降階前后伯德圖Fig.9 Bode diagram of μ-synthesis controller before and after order reduction

2.6 控制器的μ分析

判斷控制系統(tǒng)是否滿足穩(wěn)定性和魯棒性，需應(yīng)用結(jié)構(gòu)奇異值μ進(jìn)行判斷。圖10a 中結(jié)構(gòu)奇異值μΔ［M11（jω）］最大值為0.46，表明當(dāng)不確定性達(dá)到設(shè)定的2.17 倍時閉環(huán)系統(tǒng)仍能保持穩(wěn)定；圖10b 中μ的上界和下界均小于1，表明對于所設(shè)定的參數(shù)不確定性，閉環(huán)系統(tǒng)均能滿足控制性能要求。

圖10 控制器的μ分析Fig.10 μ analysis of controller

3 仿真分析

3.1 磁懸浮軸承-轉(zhuǎn)子系統(tǒng)起浮特性

為驗證控制器降階前后對轉(zhuǎn)子起浮特性的影響，在MATLAB/Simulink 仿真平臺上搭建仿真模型，給定轉(zhuǎn)子參考位置為0.125 mm，降階前后轉(zhuǎn)子的起浮特性曲線如圖11 所示：轉(zhuǎn)子起浮時間均為0.05 s，超調(diào)量為58.3%，降階前后轉(zhuǎn)子都能穩(wěn)定懸浮在平衡位置，故控制器降階前后對系統(tǒng)的起浮特性無影響。

圖11 轉(zhuǎn)子起浮特性曲線Fig.11 Rotor floating characteristic curve

3.2 磁懸浮軸承-轉(zhuǎn)子系統(tǒng)對正弦干擾的抑制

為研究降階前后控制器對低頻干擾的抑制結(jié)果，對系統(tǒng)施加幅值為1 mm，頻率為11 Hz 的正弦干擾，給定轉(zhuǎn)子參考位置為0.125 mm，降階前后磁懸浮軸承-轉(zhuǎn)子系統(tǒng)對低頻正弦干擾的最大仿真結(jié)果如圖12所示：控制器降階前后轉(zhuǎn)子的振動幅值為0.32 mm，小于正弦干擾幅值1 mm，故控制器降階前后轉(zhuǎn)子對正弦干擾有較好的抑制作用。

圖12 系統(tǒng)對低頻正弦干擾的仿真結(jié)果Fig.12 Simulation results of system to low frequency sinusoidal interference

4 試驗分析

4.1 磁懸浮軸承-轉(zhuǎn)子系統(tǒng)起浮特性

為驗證控制器的有效性，對磁懸浮軸承-轉(zhuǎn)子進(jìn)行起浮試驗，結(jié)果如圖13所示：在μ綜合控制下轉(zhuǎn)子起浮時間為0.2 s，但轉(zhuǎn)子起浮過程中存在0.5 s積分飽和情況。相較于PID控制，μ綜合控制下轉(zhuǎn)子起浮調(diào)節(jié)時間縮短了95%。

圖13 PID控制和μ綜合控制下轉(zhuǎn)子起浮特性曲線Fig.13 Rotor floating characteristic curve under PID control and μ-synthesis control

4.2 磁懸浮軸承-轉(zhuǎn)子系統(tǒng)對正弦干擾的抑制

為驗證系統(tǒng)懸浮時所設(shè)計的μ綜合控制器的魯棒性，對磁懸浮軸承控制系統(tǒng)分別施加了0.5 mm ，40 Hz 和0.5 mm， 60 Hz 的正弦干擾，如圖14 所示：與PID 控制相比，0.5 mm，40 Hz 和0.5 mm，60 Hz 正弦干擾下，μ綜合控制下轉(zhuǎn)子位移幅值分別降低了36.4%和40%，故μ綜合控制對正弦干擾有更好的抑制作用。

圖14 正弦干擾下轉(zhuǎn)子位移響應(yīng)圖Fig.14 Rotor displacement response diagram under sinusoidal interference

5 結(jié)論

針對磁懸浮軸承電磁力線性化和位移傳感器溫漂現(xiàn)象等不確定性，設(shè)計了一種基于結(jié)構(gòu)奇異值μ分析的魯棒控制器，并進(jìn)行了仿真和試驗分析，得到以下結(jié)論：

1）結(jié)構(gòu)奇異值上界與下界均小于1，在設(shè)定的不確定范圍內(nèi)閉環(huán)系統(tǒng)能夠滿足魯棒性的要求。閉環(huán)系統(tǒng)結(jié)構(gòu)奇異值μΔ［M11（jω）］最大值為0.46，表明在2.17 倍的不確定性穩(wěn)定裕度內(nèi)，閉環(huán)系統(tǒng)能夠保持魯棒穩(wěn)定。

2）與傳統(tǒng)PID 控制方法相比，μ綜合控制下轉(zhuǎn)子起浮調(diào)節(jié)時間縮短了95%，且在0.5 mm，40 Hz和0.5 mm，60 Hz 正弦干擾下，轉(zhuǎn)子位移幅值分別降低了36.4%和40%，說明提出的控制算法能有效提升系統(tǒng)的魯棒性和抗干擾能力。