離心制管機(jī)永磁軸承磁力計(jì)算與拼接永磁體形狀分析

邵龍，徐曼曼，王向東，2，張志濤，毛徐徐

（1.安徽工程大學(xué) 機(jī)械工程學(xué)院，安徽 蕪湖 241000；2.蕪湖磁輪傳動(dòng)技術(shù)有限公司，安徽 蕪湖 241000）

離心水泥制管機(jī)是將裝有混凝土的管模高速旋轉(zhuǎn)，在離心力的作用下使混凝土沿管模內(nèi)壁成形的工業(yè)機(jī)械，具有工藝簡(jiǎn)單，構(gòu)件強(qiáng)度高，脫?？旌托矢叩葍?yōu)點(diǎn)，廣泛用于水利建設(shè)等排水工程。托輪是離心制管機(jī)的主要支承部件，數(shù)量眾多，長(zhǎng)期磨損造成很大的能耗，采用無(wú)接觸的永磁軸承實(shí)現(xiàn)磁懸浮可從根本上解決磨損問(wèn)題。永磁軸承無(wú)控制或電源等裝置，結(jié)構(gòu)簡(jiǎn)單，設(shè)計(jì)方便，還兼具噪聲低，減振性好，壽命長(zhǎng)，能量損耗低，環(huán)保性高，旋轉(zhuǎn)速度高和精度高等特點(diǎn)，在一些惡劣的工作環(huán)境下依然可以運(yùn)轉(zhuǎn)。

永磁軸承在飛輪儲(chǔ)能、離心泵、風(fēng)力發(fā)電機(jī)等領(lǐng)域應(yīng)用廣泛，對(duì)其研究也在不斷的深入，涉及到系統(tǒng)建模、承載力理論推導(dǎo)和結(jié)構(gòu)優(yōu)化等多方面：文獻(xiàn)［1］根據(jù)積分定義將分子電流模型的被積函數(shù)積分域分割成有限微域，能夠快速準(zhǔn)確地計(jì)算出永磁軸承承載力，且計(jì)算過(guò)程簡(jiǎn)單，計(jì)算程序易于編寫，相對(duì)誤差較??；文獻(xiàn)［2］基于庫(kù)侖模型和矢量法推導(dǎo)了具有n對(duì)磁環(huán)的軸向、徑向和垂直極化永磁軸承的力與剛度，并通過(guò)有限元分析驗(yàn)證了數(shù)學(xué)模型的準(zhǔn)確性，結(jié)果表明該數(shù)學(xué)模型可以滿足工業(yè)生產(chǎn)對(duì)永磁轉(zhuǎn)子幾何參數(shù)選擇和優(yōu)化的需要；文獻(xiàn)［3］基于平面點(diǎn)磁荷場(chǎng)、虛功原理和疊加定理，在二維平面建立了2 個(gè)矩形截面磁體之間的作用力模型，得到軸向堆疊式永磁軸承的磁力解析式；文獻(xiàn)［4］設(shè)計(jì)了一種能充分利用磁能，具有更大徑向磁力的軸向磁化多環(huán)永磁軸承，采用虛位移法得到該軸承徑向磁力解析模型，并通過(guò)試驗(yàn)驗(yàn)證了模型的正確性；文獻(xiàn)［5］通過(guò)選擇定子外徑、徑向氣隙和長(zhǎng)度作為參數(shù)，采用最大徑向力和剛度作為軸承的設(shè)計(jì)和優(yōu)化目標(biāo)，優(yōu)化后的最大徑向力和剛度分別是單對(duì)磁環(huán)徑向軸承的13.20 和13.75 倍；文獻(xiàn)［6］設(shè)計(jì)了一種轉(zhuǎn)子完全被動(dòng)懸浮的混合軸承組，箔片軸承提供徑向支承，海爾貝克陣列永磁軸承提供軸向支承，試驗(yàn)驗(yàn)證了轉(zhuǎn)子在40 000 r/min 時(shí)可保持穩(wěn)定懸浮；文獻(xiàn)［7］綜合比較了不同結(jié)構(gòu)永磁軸承的剛度，結(jié)果表明對(duì)于高度較大、寬度較小的永磁體，采用徑向磁化堆疊的永磁軸承剛度最大；文獻(xiàn)［8］設(shè)計(jì)了一種將永磁軸承和螺旋槽軸承混合使用的支承系統(tǒng)，結(jié)果表明該系統(tǒng)具有承載能力大，摩擦功耗低等特點(diǎn)，提高了飛輪轉(zhuǎn)子系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)穩(wěn)定性。

如果直接將永磁軸承水平放置在離心制管機(jī)中，會(huì)導(dǎo)致中心位置沿徑向的懸浮力為零，對(duì)于需要較高承載力的離心制管機(jī)，普通結(jié)構(gòu)無(wú)法滿足其正常使用。基于永磁軸承在定子180°（外磁環(huán)的圓心角為180°）時(shí)懸浮力最大的研究結(jié)果［9］，本文以半定子環(huán)、全轉(zhuǎn)子環(huán)徑向永磁軸承替代托輪的離心制管機(jī)永磁懸浮支承系統(tǒng)，以徑向永磁軸承為研究對(duì)象，應(yīng)用蒙特卡洛法對(duì)基于等效磁荷法建立的永磁軸承磁力模型的四重積分方程組進(jìn)行求解?？紤]大型磁環(huán)難以加工，用有限元軟件仿真討論了扇形、梯形和矩形拼接磁環(huán)的懸浮力和轉(zhuǎn)矩。

1 永磁懸浮離心制管機(jī)結(jié)構(gòu)

以半定子環(huán)永磁軸承替代離心制管機(jī)傳統(tǒng)托輪支承結(jié)構(gòu)，實(shí)現(xiàn)無(wú)托輪式非接觸支承，同時(shí)取消了皮帶傳動(dòng)和托輪傳動(dòng)，采用三爪卡盤將驅(qū)動(dòng)主軸與管模直接相連。根據(jù)厄恩肖（Earnshaw）定理，在僅由永磁體或直流電流形成的靜態(tài)磁場(chǎng)中，一個(gè)永磁體無(wú)法實(shí)現(xiàn)穩(wěn)定懸浮，這意味著徑向永磁軸承需要對(duì)軸向位置進(jìn)行控制，才能使轉(zhuǎn)子穩(wěn)定地懸浮起來(lái)，因此使用調(diào)心滾子軸承限制軸向位移，使離心制管機(jī)能夠正常工作。永磁懸浮離心制管機(jī)結(jié)構(gòu)如圖1所示。

永磁懸浮離心制管機(jī)主要包括圍繞管樁的轉(zhuǎn)子永磁環(huán)和其下方的定子，轉(zhuǎn)子永磁環(huán)與定子永磁體磁性相反，二者之間的斥力使管樁懸浮。設(shè)備工作時(shí)，管樁和磁環(huán)繞x軸方向做旋轉(zhuǎn)運(yùn)動(dòng)，轉(zhuǎn)速最高可達(dá)800 r/min。

2 永磁軸承數(shù)學(xué)建模

永磁軸承磁力的常用計(jì)算方法有等效磁荷法、分子電流法和有限元法等。分子電流法分析結(jié)果較準(zhǔn)確，與試驗(yàn)數(shù)據(jù)非常吻合［10］，但建立半定子環(huán)永磁軸承模型困難；等效磁荷法原理簡(jiǎn)單，建立的磁力解析模型比較完善，是最常用的磁力計(jì)算方法［11］。

根據(jù)等效磁荷理論，將徑向充磁永磁環(huán)視為外表面充滿類似正負(fù)電荷的磁荷，將磁環(huán)內(nèi)部的磁荷和磁場(chǎng)視為零，磁荷產(chǎn)生的磁場(chǎng)都在永磁環(huán)外部，再通過(guò)庫(kù)侖定律計(jì)算磁環(huán)之間的磁力。半定子環(huán)徑向充磁的永磁軸承數(shù)學(xué)模型如圖2 所示，Oxy，O′x′y′分別為外磁環(huán)和內(nèi)磁環(huán)的坐標(biāo)系；R1，R2分別為內(nèi)磁環(huán)內(nèi)、外環(huán)面的半徑，R3，R4分別為外磁環(huán)內(nèi)、外環(huán)面的半徑；L1為內(nèi)磁環(huán)厚度，L2為外磁環(huán)厚度；α為點(diǎn)B在O′x′y′坐標(biāo)平面的 角 度，β為 點(diǎn)A在Oxy坐標(biāo)平 面的角 度，θ為OO′在xOy平面的投影相對(duì)于x軸的角度，即內(nèi)外磁環(huán)的偏心角度；e為內(nèi)磁環(huán)相對(duì)外磁環(huán)在xOy平面上的徑向偏移距離，即OO′在xOy平面的投影長(zhǎng)度，z為內(nèi)磁環(huán)相對(duì)外磁環(huán)在z軸方向上的位移。

圖2 永磁軸承數(shù)學(xué)模型Fig.2 Mathematical model of permanent magnet bearing

在外磁環(huán)與內(nèi)磁環(huán)的內(nèi)側(cè)面分別取任意點(diǎn)A和B，求解相應(yīng)的等效磁荷MA和MB分別為

式中：Br1，Br2分別為外磁環(huán)和內(nèi)磁環(huán)的剩余磁通密度；z1，z2分別為內(nèi)磁環(huán)和外磁環(huán)內(nèi)環(huán)面上磁荷的軸向位置。

徑向磁化的永磁環(huán)產(chǎn)生的磁力F［12］由外磁環(huán)內(nèi)表面對(duì)內(nèi)磁環(huán)內(nèi)外表面產(chǎn)生的磁力、外磁環(huán)外表面對(duì)內(nèi)磁環(huán)內(nèi)外表面產(chǎn)生的磁力組成，即

式中：μ0為真空磁導(dǎo)率，μ0= 4π × 10-7H/m；r為點(diǎn)B相對(duì)于點(diǎn)A的矢量位置；i，j，k分別為x，y，z軸的正向單位矢量；下標(biāo)a= 1，2；b= 3，4。

將磁力分別向x，y，z方向投影，可得磁力F在各個(gè)方向分量

3 蒙特卡洛法求解磁力

磁力計(jì)算是永磁軸承參數(shù)設(shè)計(jì)的重要環(huán)節(jié)，通過(guò)等效磁荷法建立磁力解析模型，得到關(guān)于偏移位置的四重積分。利用MATLAB 的積分函數(shù)（nIntegrate）求解四重積分時(shí)周期長(zhǎng)，甚至不能獲得解析解。蒙特卡洛法以概率統(tǒng)計(jì)理論為基礎(chǔ)，使用隨機(jī)數(shù)解決計(jì)算方面比較復(fù)雜的問(wèn)題，算法簡(jiǎn)單且適應(yīng)性強(qiáng)，目前在自然科學(xué)和社會(huì)科學(xué)的各個(gè)領(lǐng)域中廣泛利用。通過(guò)蒙特卡洛法近似求解四重積分，可以簡(jiǎn)化磁力求解過(guò)程［13］。在文獻(xiàn)［14］中，當(dāng)隨機(jī)變量數(shù)N=5.0×106時(shí)，蒙特卡洛法計(jì)算結(jié)果與for 循環(huán)計(jì)算結(jié)果（穩(wěn)定值）的差值小于0.185%，但蒙特卡洛法計(jì)算效率更高。蒙特卡洛法可以將系統(tǒng)屬性轉(zhuǎn)化為求定積分I=(x)dx，其中D為高維空間中的區(qū)域， （fx）為被積目標(biāo)函數(shù)。

定積分I為某個(gè)隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望，可改寫為

式中：g(x)為概率密度函數(shù)。

一般g（x）在區(qū)域D內(nèi)均勻分布，即

對(duì)于區(qū)域D上的n重積分，從D中均勻產(chǎn)生N個(gè)點(diǎn)表示區(qū)域D的體積，則D上n重積分的近似值為

將（8）式用于等效磁荷法中四重積分得到磁力為

4 算例分析

4.1 蒙特卡洛法結(jié)果分析

基于半定子環(huán)永磁軸承的結(jié)構(gòu)，文中計(jì)算的永磁軸承尺寸和永磁體性能參數(shù)見表1，永磁軸承氣隙10 mm，內(nèi)外磁環(huán)充磁方向相反。將參數(shù)代入蒙特卡洛法編制的程序中求解。

表1 永磁軸承尺寸和永磁體性能參數(shù)Tab.1 Size of permanent magnet bearing and performance parameters of permanent magnet

蒙特卡洛法的隨機(jī)變量數(shù)量不同，計(jì)算的積分值一般不同。通過(guò)定義不同N值（N=1 000 000，10 000 000，100 000 000），得到在不同樣本數(shù)量下軸承徑向懸浮力隨偏移距離的變化曲線，如圖3所示：隨著N值的增大，軸承徑向懸浮力波動(dòng)幅度越小，曲線越平滑，近似于直線。在偏移距離e=4 mm時(shí)分別運(yùn)行10次，得出永磁軸承懸浮力計(jì)算結(jié)果，如圖4所示：N值越大，可重復(fù)性越高。但隨著N值的增大，計(jì)算時(shí)間也會(huì)增加。工程實(shí)踐中N的取值要合適。

圖3 偏移距離對(duì)永磁軸承徑向懸浮力的影響Fig.3 Effect of offset distance on radial suspension force of permanent magnet bearing

圖4 不同N值時(shí)e=4 mm處的永磁軸承徑向懸浮力Fig.4 Radial suspension force of permanent magnet bearing at e=4 mm for different N values

4.2 蒙特卡洛法與有限元法對(duì)比

文獻(xiàn)［15］指出，在永磁軸承結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)初期無(wú)具體尺寸的情況下很難進(jìn)行數(shù)值模擬，因此許多學(xué)者采用比理論計(jì)算更精確的有限元仿真設(shè)計(jì)永磁軸承結(jié)構(gòu)［16-17］，文獻(xiàn)［18-19］的研究結(jié)果也表明有限元仿真的結(jié)果較準(zhǔn)確。本文三維電磁場(chǎng)使用有限元分析軟件ANSYS Maxwell 3D 進(jìn)行仿真分析，建立模型如圖5所示。

圖5 半定子環(huán)永磁軸承三維有限元模型Fig.5 Three - dimensional finite element model of permanent magnet bearing with half - stator ring

內(nèi)磁環(huán)的懸浮力與偏移距離（偏心角度θ為90°）、偏心角度（偏心距離為3 mm）的關(guān)系如圖6所示：2種算法結(jié)果的趨勢(shì)相同，二者相對(duì)誤差Er隨偏移距離和偏心角度的變化基本不變，說(shuō)明理論計(jì)算與有限元結(jié)果之間存在一定的線性誤差。因此可以對(duì)理論計(jì)算結(jié)果進(jìn)行修正，修正系數(shù)K根據(jù)懸浮力仿真值Fy和計(jì)算值F'y進(jìn)行加權(quán)確定，即

圖6 懸浮力與偏移距離、偏心角度的關(guān)系Fig.6 Relationship between suspension force and offset distance or eccentricity angle

修正后的計(jì)算結(jié)果如圖7所示，修正后的理論計(jì)算與有限元結(jié)果的最大誤差僅為1.5%。因此，在設(shè)計(jì)永磁軸承結(jié)構(gòu)時(shí)，可先通過(guò)理論計(jì)算進(jìn)行初步的結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)，但不能保證較高的精度；在基本參數(shù)初步確定后仍需對(duì)數(shù)據(jù)進(jìn)行驗(yàn)證和修正以得到較優(yōu)的結(jié)構(gòu)。

圖7 參數(shù)修正后懸浮力與偏移距離、偏心角度的關(guān)系Fig.7 Relationship between suspension force and offset distance or eccentricity angle after parameter correction

5 永磁體形狀優(yōu)化分析

由于離心機(jī)管樁尺寸巨大，能適配于管樁外徑的大型磁環(huán)難以制造且價(jià)格昂貴，在工程實(shí)踐中一般采用將若干塊永磁體拼接組成磁環(huán)，導(dǎo)致表面的磁感應(yīng)強(qiáng)度不均勻，特別是兩磁體間隙附近磁感應(yīng)強(qiáng)度下降很多，在離心機(jī)旋轉(zhuǎn)時(shí)會(huì)產(chǎn)生不利的影響。為降低磁場(chǎng)的不均勻性對(duì)拼接式磁環(huán)懸浮力的影響，采用有限元分析軟件對(duì)矩形、梯形、徑向充磁扇形永磁體和平行充磁永磁體拼接的磁環(huán)進(jìn)行分析計(jì)算，尋找拼接式永磁軸承的合理設(shè)計(jì)方案。

將永磁體分成20 塊，由于2 個(gè)相鄰的磁體之間存在很強(qiáng)的排斥力，導(dǎo)致安裝困難，因此在相鄰磁體之間留有間隙以減少排斥力。

靜磁場(chǎng)時(shí)拼接磁環(huán)受到的懸浮力與偏移距離的關(guān)系如圖8 所示，4 種拼接方式對(duì)懸浮力的影響不大。拼接磁環(huán)以600 r/min 的轉(zhuǎn)速運(yùn)轉(zhuǎn)時(shí)受到的懸浮力和扭矩如圖9 所示：每種拼接方式對(duì)中時(shí)懸浮力最大，且矩形永磁體拼接時(shí)懸浮力波動(dòng)最大，即峰值取決于轉(zhuǎn)子與永磁體邊緣位置的接近程度［20］；扇形永磁體拼接時(shí)的扭矩最小，梯形永磁體次之，矩形永磁體最大。因此，在具體工程實(shí)踐中可根據(jù)需求選擇扇形或矩形永磁體拼接磁環(huán)。

圖8 拼接磁環(huán)懸浮力與偏移距離的關(guān)系Fig.8 Relationship between suspension force of spliced magnetic ring and offset distance

圖9 拼接磁環(huán)的懸浮力和扭矩Fig.9 Suspension force and torque of spliced magnetic ring

6 結(jié)論

為解決離心制管機(jī)磨損問(wèn)題，基于等效磁荷法建立了半定子環(huán)永磁軸承數(shù)學(xué)模型，采用蒙特卡洛法近似計(jì)算軸承懸浮力，在本文條件下得到以下結(jié)論：

1）運(yùn)用蒙特卡洛法求解方程，合理選取隨機(jī)變量N的個(gè)數(shù)，能達(dá)到較高的計(jì)算精度，理論計(jì)算與有限元結(jié)果的最大誤差為1.5%。

2）扇形和梯形永磁體拼接磁環(huán)懸浮力波動(dòng)較??；扇形永磁體拼接磁環(huán)在運(yùn)行中具有很小的扭矩，梯形永磁體次之。