聚焦立體幾何與其他知識(shí)的交會(huì)

張立芳

(貴州省都勻第一中學(xué))

在知識(shí)點(diǎn)交會(huì)處命題,是近年各類數(shù)學(xué)試題設(shè)計(jì)的特色,有利于考查學(xué)生對(duì)相關(guān)知識(shí)的綜合運(yùn)用能力.基于此,本文著重通過歸類舉例的方式,具體說明立體幾何與其他知識(shí)常見的交會(huì)問題,旨在進(jìn)一步提高學(xué)生的空間想象能力以及綜合運(yùn)用能力.

1 立體幾何與歸納推理的交會(huì)

例1 已知ABCD-A1B1C1D1為單位正方體,黑、白兩只螞蟻從點(diǎn)A出發(fā)沿棱向前爬行,每走完一條棱稱為“走完一段”,白螞蟻爬行的路線是AA1→A1D1→…,黑螞蟻爬行的路線是AB→BB1→…,它們都遵循如下規(guī)則:所爬行的第i＋2段與第i段所在直線必須是異面直線(i∈N?).設(shè)黑、白螞蟻都走完2020段后各自停止在正方體的某個(gè)頂點(diǎn)處,這時(shí)黑、白兩只螞蟻的距離是________.

如圖1 所示,由題意知白螞蟻爬行的路線 為AA1→A1D1→D1C1→C1C→CB→BA,即過6 段后又回到起點(diǎn),可看作以6為周期,由2020÷6＝336…4,白螞蟻爬完2020 段后回到點(diǎn)C.同理,黑螞蟻爬行的路線為AB→BB1→B1C1→C1D1→D1D→DA,黑 螞 蟻 爬 完2020 段 后 回 到點(diǎn)D1.

圖1

綜上,黑、白兩只螞蟻的距離是2.

本題設(shè)計(jì)比較好,具有較強(qiáng)的創(chuàng)新性.試題以熟悉的正方體為載體,側(cè)重考查了異面直線與歸納推理的綜合運(yùn)用,解題關(guān)鍵是先根據(jù)圖形獲得黑、白螞蟻爬行的路線具有周期性,再利用周期性簡捷求解目標(biāo)問題.

2 立體幾何與古代數(shù)學(xué)文化的交會(huì)

例2 如圖2所示,埃及胡夫金字塔是古代世界建筑奇跡之一,它的形狀可視為一個(gè)正四棱錐,以該四棱錐的高為邊長的正方形面積等于該四棱錐一個(gè)側(cè)面三角形的面積,則其側(cè)面三角形底邊上的高與底面正方形的邊長的比值為________.

圖2

圖3

本題將金字塔中所蘊(yùn)含的空間幾何關(guān)系進(jìn)行恰當(dāng)挖掘,充分彰顯了古埃及數(shù)學(xué)文化的源遠(yuǎn)流長,展示了巧奪天工的古代建筑,試題能夠讓廣大考生進(jìn)一步體會(huì)到古代埃及文明的無比璀璨.

3 立體幾何與基本不等式的交會(huì)

易知圓錐側(cè)面積最小時(shí),圓錐的側(cè)面和底面都與球相切.如圖4所示,過球心作截面,設(shè)圓錐的底面半徑CD＝R,母線長AC＝l,內(nèi)切球的半徑OE＝r.根據(jù)小球的體積為,可得其半徑r＝1.因?yàn)椤鰽BC的內(nèi)切圓的半徑

圖4

本題對(duì)空間想象能力的考查較強(qiáng),為了保證圓錐側(cè)面積取得最小值,首先要滿足圓錐的側(cè)面和底面都與球相切,據(jù)此數(shù)形結(jié)合可獲得等量關(guān)系式,然后進(jìn)行適當(dāng)換元,再運(yùn)用基本不等式,巧求目標(biāo)最小值.

4 立體幾何與函數(shù)圖像的交會(huì)

例4 如圖5所示,在棱長為1的正方體中,E,F,G,H分別為A1B1,C1D1,AB,CD的中點(diǎn),點(diǎn)P從G出發(fā),沿折線GBCH勻速運(yùn)動(dòng),點(diǎn)Q從H出 發(fā),沿 折 線HDAG勻速運(yùn)動(dòng),且點(diǎn)P與點(diǎn)Q運(yùn)動(dòng)的速度相等,記以E,F,P,Q四點(diǎn)為頂點(diǎn)的三棱錐的體積為V,點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)的路程為x,在0≤x≤2時(shí),V與x的圖像應(yīng)為( ).

圖5

圖6

本題設(shè)計(jì)比較創(chuàng)新,具有一定的難度,試題將有關(guān)立體幾何知識(shí)與分段函數(shù)的圖像進(jìn)行了有機(jī)融合,側(cè)重考查了“數(shù)形結(jié)合思想”“分類與整合思想”在解題中的靈活應(yīng)用.

(完)