探究立體幾何最值問題的常用求解策略

桓 坤

(江蘇省沛縣中學(xué))

以立體幾何圖形為載體,考查有關(guān)最小值或最大值問題,能夠較好地考查學(xué)生的綜合運用能力,進一步提高空間想象能力、邏輯推理論證能力以及運算求解能力,同時能夠拓寬學(xué)生的解題思維,積累解題經(jīng)驗.

1 考慮側(cè)面展開圖,巧解有關(guān)最小值問題

求解立體幾何表面上兩點間的最短距離或立體幾何表面上幾條線段長度之和的最小值時,往往需要先畫出該幾何體的側(cè)面展開圖,這樣有利于將立體幾何問題轉(zhuǎn)化為平面幾何問題,從而從平面幾何的角度去探求最小值,進而順利解決目標(biāo)問題.

例1 在長方體ABCD-A1B1C1D1中,AB＝1,AD＝AA1＝2,點E是棱AA1上的一個動點,設(shè)平面BED1與棱CC1交于點F,則四邊形BED1F周長的最小值為( ).

為了便于分析,先畫出長方體ABCDA1B1C1D1,如圖1所示,再畫出其側(cè)面展開圖,如圖2所示.由圖易知,當(dāng)BD1∩AA1＝E,BD1∩CC1＝F時,截面四邊形BED1F的周長取得最小值.

圖1

圖2

求解的關(guān)鍵是考慮幾何體的側(cè)面展開圖,將立體幾何問題轉(zhuǎn)化為平面幾何問題,從而有利于具體分析最小值,然后借助有關(guān)平面幾何知識加以求解計算.

2 利用不等式的性質(zhì),巧解有關(guān)最值問題

求解有關(guān)幾何體體積的最值或有關(guān)空間角的某個三角函數(shù)值的最值時,往往需要借助圖形進行適當(dāng)分析,再靈活運用重要不等式a2＋b2≥2ab(其中a,b∈R,當(dāng)且僅當(dāng)a＝b時,等號成立)或基本不等式(其中a≥0,b≥0,當(dāng)且僅當(dāng)a＝b時,等號成立)巧妙求解目標(biāo)最值問題.

例2 如圖3 所示,四棱錐P-ABCD的底面ABCD是正方形,PD⊥底面ABCD,點Q在平面PAD與平面PBC的交線上,且已知PD＝AD＝1,則直線PB與平面QCD所成角的正弦值的最大值為_________.

圖3

設(shè)平面PAD與平面PBC的交線為直線l,先證明直線l⊥平面PCD.

由四邊形ABCD為正方形,得AD//BC,又因為AD?平面PBC,BC?平面PBC,所以根據(jù)線面平行的判定定理可得AD//平面PBC.

于是,結(jié)合AD?平面PAD,且平面PAD與平面PBC的交線為直線l,根據(jù)線面平行的性質(zhì)定理可得AD//l.由于四邊形ABCD是正方形,則AD⊥CD,由PD⊥底 面ABCD,得PD⊥AD,又PD∩CD＝D,所以根據(jù)線面垂直的判定定理,可得AD⊥平面PCD.因此,直線l⊥平面PCD.

如圖4所示,建立空間直角坐標(biāo)系D-xyz,可得點P(0,0,1),B(1,1,0),C(0,1,0),D(0,0,0).因為直線l⊥平面PCD,且點Q∈l,所以可設(shè)點Q(m,0,1),其中m＞0,則

圖4

題目設(shè)計比較新穎(沒有具體給出兩面的交線),需要先探究圖形特征(兩面的交線垂直平面PCD),再利用空間向量法,求解線面所成角的正弦值的代數(shù)式,最后在適當(dāng)變形的基礎(chǔ)上,活用基本不等式的變形式a＋b≥2ab順利求解問題.

3 利用函數(shù)的單調(diào)性,巧解最值問題

求解有關(guān)簡單幾何體體積的最值時,往往需要在“設(shè)元”分析的基礎(chǔ)上,先獲得該幾何體體積的函數(shù)表達式,再通過構(gòu)造函數(shù),借助導(dǎo)數(shù)分析函數(shù)的單調(diào)性,進而利用函數(shù)的單調(diào)性順利求解目標(biāo)最值問題.該求解策略充分體現(xiàn)了“數(shù)形結(jié)合思想”“等價轉(zhuǎn)化思想”以及“函數(shù)與方程思想”在解題中的綜合運用,有利于較好地培養(yǎng)學(xué)生的綜合素養(yǎng).

例3 在三棱錐P-ABC中,已知平面PBC⊥平面ABC,且∠ACB＝90°,BC＝PC＝2,若AC＝PB,則三棱錐P-ABC的體積的最大值為________.

如圖5 所示,為了便于分析、求解,先畫出對應(yīng)的三棱錐.設(shè)PB＝AC＝x,則易知0＜x＜4.因為∠ACB＝90°,即AC⊥BC,又 平 面PBC⊥平 面ABC,AC?平面ABC,且平面PBC∩平面ABC＝BC,所以根據(jù)面面垂直的性質(zhì)定理,可得AC⊥平面PBC.于是,有.在△PBC中,由余弦定理得

圖5

所以

從而,可知

于是,根據(jù)式①②可以解得VP-ABC的最大值為

本題具有一定的綜合性,需要先根據(jù)“等積法”和解三角形知識獲得三棱錐P-ABC體積的函數(shù)表達式,再靈活運用構(gòu)造函數(shù)的思想巧妙求解目標(biāo)最大值.△PBC面積的求解,還可以運用等腰三角形“三線合一”的性質(zhì)簡捷獲解,易知PB邊上的高為,所以

總之,關(guān)注立體幾何中有關(guān)最值問題的常用求解策略,可幫助我們熟知常見題型、常用解題方法,有利于較好地提升學(xué)生在直觀想象、數(shù)學(xué)抽象、邏輯推理以及數(shù)學(xué)運算等方面的核心素養(yǎng).

(完)