源于教材 凸顯素養(yǎng)
——一道立體幾何模擬試題的命制與思考

劉 臻 喻瑞明

(1.江西省南昌市第二中學(xué) 2.江西省南昌市第一中學(xué))

筆者多次參與了模擬試題的命制工作,對(duì)試題的命制有一些思考,現(xiàn)以一道立體幾何模擬試題為例,探析考查學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)試題的命題思路.試題命制靈感源于教材,卻高于教材,極具創(chuàng)新性,凸顯數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng).本文將試題的命制與思考過(guò)程整理成文,與各位讀者分享.

1 試題呈現(xiàn)

引例 如圖1 所示,在直三棱柱ABC-A1B1C1中,AB＝AC＝2,AA1＝1,AB⊥AC,點(diǎn)E,E1分別是棱BC,B1C1的中點(diǎn),點(diǎn)G在棱A1B1上,且GB1＝2,截 面AA1E1E內(nèi) 的 動(dòng) 點(diǎn)P滿 足GB⊥PE1,則PE＋PB1的最小值是( ).

分析 這是一道以三棱柱為背景的立體幾何題,在考查立體幾何核心知識(shí)的同時(shí),凸顯探究意識(shí),考查學(xué)生的邏輯推理、直觀想象等數(shù)學(xué)核心素養(yǎng).

2 命題立意

命題時(shí)既要立足教材,又要適度提高,既要注重基礎(chǔ)知識(shí)的應(yīng)用,又要有一定的創(chuàng)新性,指向數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的考查.立體幾何試題考查的核心是借助幾何直觀,將空間幾何問(wèn)題轉(zhuǎn)化為平面幾何問(wèn)題,把握?qǐng)D形之間的關(guān)系,揭示數(shù)學(xué)問(wèn)題的本質(zhì),對(duì)提升學(xué)生的直觀想象、數(shù)學(xué)抽象與邏輯推理等數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)大有幫助.因此,以簡(jiǎn)單、熟悉的幾何體為背景,以動(dòng)態(tài)問(wèn)題為載體,考查立體幾何問(wèn)題的平面化思想.

3 命制歷程

3.1 基于教材,初次嘗試

例1 (北師大版數(shù)學(xué)必修第二冊(cè)第115頁(yè)的例2)圖2是古希臘數(shù)學(xué)家特埃特圖斯(Theaeteus,約前417—前369)用來(lái)構(gòu)造無(wú)理數(shù)2,3,5,…的圖形.試計(jì)算圖中線段BD的長(zhǎng)度及∠DAB的大小(長(zhǎng)度精確到0.1,角度精確到1°).

圖2

這是一道可以運(yùn)用余弦定理求解的平面幾何問(wèn)題,我們將△ABC沿著AC折疊,就可以將平面幾何問(wèn)題轉(zhuǎn)化為立體幾何問(wèn)題,于是將例1改編為例2.

例2 如圖3所示,在三棱錐A-BCD中,AB＝AC＝CD＝1,AB⊥AC,DC⊥CB,點(diǎn)P在線段BC上運(yùn)動(dòng),則BP＋PD的 最 小 值為_________.

圖3

考慮到上述問(wèn)題比較常見,立體幾何模型過(guò)于直接,因此嘗試將三棱錐隱藏到三棱柱中,如圖4所示.

圖4

3.2 線面關(guān)系,動(dòng)態(tài)探究

若把注意力放在幾何體中的線面關(guān)系,則結(jié)合線面的平行關(guān)系可將例2改編為例3,結(jié)合線面的垂直關(guān)系可將例2改編為例4.

例3 如圖5所示,在直三棱柱ABE-CFD中,AB⊥AE,AB＝AE＝BF＝1,G,H分別為BE,DF的中點(diǎn),點(diǎn)P在四邊形ABFC內(nèi)運(yùn)動(dòng),若HP//平面ADG,則AP＋PD的最小值為________.

圖5

例4 如圖6 所示,在直三棱柱ABE-CFD中,AB⊥AE,AB＝AE＝BF＝1,點(diǎn)P在四邊形ABFC內(nèi) 運(yùn) 動(dòng),若PF⊥DB,則BP＋PE的最小值為_________.

圖6

例3和例4是可行的,不見波瀾、中規(guī)中矩,但稍作思考總感覺(jué)例2和例3略顯平庸,“味道”不夠,那么該怎么改呢?

3.3 隱藏探究,降維變換

例3和例4的創(chuàng)新度稍微欠缺,如果能在幾何體中增加一些探究就可謂更上一層樓了.此時(shí)筆者突發(fā)閃念,若能將立體幾何模型的“探索”元素進(jìn)一步隱藏,那就可謂是錦上添花了.

例5 如圖7所示,在三棱柱ABC-A1B1C1中,AB＝BC＝AA1＝1,AB⊥BC,D,E分別為A1B1,A1C1的中點(diǎn),點(diǎn)P在三棱柱ABC-A1B1C1內(nèi),若AD⊥EP,則A1P＋PC的最小值為_________.

圖7

在本題的基礎(chǔ)上,增設(shè)棱的長(zhǎng)度和相應(yīng)的角度,依托線面垂直進(jìn)行探究,這樣就滲透了空間問(wèn)題平面化的思想,既體現(xiàn)了化歸與轉(zhuǎn)化思想的考查,也增加了命題的新穎性,吸引、激發(fā)考生解題的興致,于是確定了最后的定稿.

4 試題解析

解 如圖8 所示,過(guò)點(diǎn)G作GM//BC交A1C1于點(diǎn)M,交A1E1于點(diǎn)H,連接MC,EH,因?yàn)锽C⊥平面AA1E1E,截面AA1E1E內(nèi)的動(dòng)點(diǎn)P滿足GB⊥PE1,所以EH⊥PE1.

圖8

如圖9所示,經(jīng)計(jì)算可知四邊形EE1HN為正方形,則點(diǎn)P在線段E1N上(E1除外).如圖10所示,進(jìn)一步探究PE＋B1P的最小值,只需將△ENE1沿著E1N折疊,使得△ENE1與平面B1E1N在同一個(gè)平面.如圖11所示,連接B1E交NE1于點(diǎn)P,點(diǎn)P即為滿足題意的點(diǎn),此時(shí),經(jīng)計(jì)算可知PE＋PB1的最小值為5,故選C.

圖9

在解答立體幾何問(wèn)題時(shí),要先從幾何體的結(jié)構(gòu)特征出發(fā),增強(qiáng)對(duì)幾何體“形”的判斷和識(shí)別能力,即“形定而后動(dòng)”,再結(jié)合已掌握的解題思想進(jìn)行深入分析,把化歸與轉(zhuǎn)化及數(shù)形結(jié)合的思想運(yùn)用得淋漓盡致.

5 命題思考

命題實(shí)踐是一項(xiàng)具有創(chuàng)新意義的活動(dòng),不僅能加強(qiáng)數(shù)學(xué)教學(xué)的針對(duì)性,科學(xué)合理地檢測(cè)學(xué)生學(xué)習(xí)的狀況和水平,更是能促進(jìn)教師專業(yè)發(fā)展的有效路徑.

教師應(yīng)潛心鉆研教材,充分挖掘教材中習(xí)題和例題的潛在功能,基于教材進(jìn)行原創(chuàng)試題命制,有利于拓展學(xué)生的數(shù)學(xué)思維.在教學(xué)與評(píng)價(jià)中,要關(guān)注學(xué)生對(duì)具體內(nèi)容的掌握,更要關(guān)注學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)水平的表現(xiàn).因此,數(shù)學(xué)題的命制既要基于基礎(chǔ)知識(shí),尊重教材,又要突破、創(chuàng)新,凸顯數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng).

(完)