空間中以平行關(guān)系為背景的題型及求解策略

張 平

(廣東省珠海市實(shí)驗(yàn)中學(xué))

空間中的平行關(guān)系是立體幾何中重要的位置關(guān)系,是“線線平行”“線面平行”“面面平行”三種關(guān)系的統(tǒng)稱,是高考考查的熱點(diǎn).試題呈現(xiàn)方式主要有兩類:一是旗幟鮮明地證明平行關(guān)系;二是以平行關(guān)系為背景進(jìn)行綜合考查.本文針對第二類問題結(jié)合具體題目進(jìn)行剖析,以期幫助讀者突破思維難點(diǎn),提升抽象思維能力.

1 客觀性試題賞析

1.1 以線線平行為背景

例1 在棱長為10的正方體ABCD-A1B1C1D1中,一條平行于A1C的直線與正方體的表面交于P,Q兩點(diǎn),其中P在側(cè)面ADD1A1上,且到A1D1的距離為3,到AA1的距離為2,則點(diǎn)Q所在的面是( ).

A.平面ABCDB.平面ABB1A1

C.平面BCC1B1D.平面CDD1C1

方法1 如圖1所示,連接A1P并延長與線段AD交于點(diǎn)E,則平面A1PC∩平面ABCD＝EC.又PQ//A1C,P在平面A1PC上,則PQ?平 面A1PC,所 以Q在EC上,即點(diǎn)Q在平面ABCD上,故選A.

圖1

圖2

10時(shí),t＝－8或2;當(dāng)－t＝0或10時(shí),t＝0或－10;當(dāng)t＋7＝0或10時(shí),t＝－7或3.只有t＝－7滿足題意,此時(shí)點(diǎn)Q(1,7,0)在平面ABCD內(nèi),故選A.

本題命題視角比較新穎,方法1通過作圖將問題轉(zhuǎn)化為平面問題,方法2則通過坐標(biāo)法及點(diǎn)在平面內(nèi)的坐標(biāo)要求進(jìn)行定性求解,突出空間問題平面化的處理方法.

1.2 以線面平行為背景

例2 在棱長為2的正方體ABCD-A1B1C1D1中,點(diǎn)M是該正方體表面及其內(nèi)部的一動(dòng)點(diǎn),且BM//平面AD1C,則動(dòng)點(diǎn)M的軌跡所形成區(qū)域的面積是_____.

如圖3所示,在棱長為 2 的 正 方 體ABCD-A1B1C1D1中,動(dòng) 點(diǎn)M滿足BM//平面AD1C,由面面平行的性質(zhì)可得當(dāng)BM始終在一個(gè)與平面AD1C平行的面內(nèi)時(shí)滿足題意.連接A1B,BC1,A1C1,則平面A1BC1//平面AD1C,所以平面A1BC1滿足題意,且△A1BC1是邊長為2 2的等邊三角形,則

例3 已知正方體ABCD-A1B1C1D1的棱長為1,點(diǎn)E,F分別是線段AB,BD1上的動(dòng)點(diǎn),若EF//平面ADD1A1,則三棱錐A-EFB1體積的最大值為( ).

如圖4 所示,由題意得DD1⊥平面ABCD,則 平 面BDD1⊥平面ABCD.在平面BDD1內(nèi)過F作FG⊥DB于G,則FG⊥平 面ABCD,從 而FG//DD1,則FG//平 面ADD1A1.又EF//平 面ADD1A1,EF∩FG＝F,則 平 面EFG//平 面ADD1A1,從而EG//AD,所以EG⊥平面AEB1.又FG//DD1//AA1,FG?平 面AEB1,則FG//平 面AEB1,所以點(diǎn)F到平面AEB1的距離等于點(diǎn)G到平面AEB1的距離.設(shè)BE＝x(0＜x＜1),則GE＝BE＝x,即點(diǎn)F到平面AEB1的距離等于x,且,所以

圖4

例4 已知正四面體ABCD的棱長為1,棱AB//平面α,則正四面體上所有點(diǎn)在平面α內(nèi)的射影構(gòu)成的圖形面積的取值范圍是_________.

根據(jù)正四面體的特性,易知AB⊥CD且異面直線AB與CD之間的距離為.將正四面體ABCD繞棱AB旋轉(zhuǎn),當(dāng)棱CD//平面α?xí)r,CD在平面α內(nèi)的射影最長,記為GH,此時(shí)正四面體上所有點(diǎn)在平面α內(nèi)射影構(gòu)成的圖形面積最大,且

在CD繞AB旋轉(zhuǎn)的過程中,CD在平面α內(nèi)的射影越來越短,當(dāng)CD⊥平面α?xí)r,C,D在平面α內(nèi)的射影重合,所得的射影圖形是以AB為底,異面直線AB與CD之間的距離為高的三角形,此時(shí)射影構(gòu)成的圖形面積最小,即,所以此正四面體上所有點(diǎn)在平面α內(nèi)的射影構(gòu)成的圖形面積的取值范圍是

動(dòng)態(tài)問題是立體幾何中的一個(gè)難點(diǎn),關(guān)鍵是要挖掘“運(yùn)動(dòng)中的不變量”,求解例2的關(guān)鍵是通過定點(diǎn)B作平面AD1C的平行平面來確定點(diǎn)M的軌跡;例3則通過三棱錐的等體積轉(zhuǎn)化將突破點(diǎn)調(diào)整為求點(diǎn)F到平面ABB1A1的距離;例4則將AB,CD之間在“運(yùn)動(dòng)中的不變量”體現(xiàn)得淋漓盡致.

1.3 以面面平行為背景

例5 (2016年全國Ⅰ卷文理11)平面α過正方體ABCD-A1B1C1D1的頂點(diǎn)A,α//平面CB1D1,α∩平面ABCD＝m,α∩平面ABB1A1＝n,則m,n所成角的正弦值為( ).

如圖5 所示,設(shè)平面CB1D1∩平面ABCD＝m′,平面CB1D1∩平面ABB1A1＝n′,由α//平面CB1D1,可得m//m′,n//n′,則m,n所成角等于m′,n′所 成 角.過 點(diǎn)D1作D1E//B1C交AD的延長線于點(diǎn)E,連接CE,則直線CE即為m′.連接A1B,過點(diǎn)B1作B1F1//A1B交AA1的延長線于點(diǎn)F1,則直線B1F1即為n′.連接BD,則BD//CE,B1F1//A1B,則m′,n′所成角即為A1B與BD所成角,即m,n所成角為60°,其正弦值為,故選A.

圖5

例6 (2018年全國Ⅰ卷理12)已知正方體的棱長為1,每條棱所在直線與平面α所成的角都相等,則α截此正方體所得截面面積的最大值為( ).

方法1 平面α與正方體的每條棱所在直線所成的角都相等,只需與過同一頂點(diǎn)的三條棱所成的角相等即可.如圖6所示,若AP＝AR＝AQ,則平面PQR與正方體過點(diǎn)A的三條棱所成的角相等.若點(diǎn)E,F,G,H,M,N分別為相應(yīng)棱的中點(diǎn),易證得平面EFGHMN平行于平面PQR,且六邊形EFGHMN為正六邊形.因?yàn)檎襟w的棱長為1,所以正六邊形EFGHMN的邊長為,可得此正六邊形的面積為,從而所求截面的最大面積為,故選A.

圖6

圖7

圖8

圖9

方法2 由方法1易知平面PQR與平面ABCD的夾角為定值α且tanα＝2.設(shè)截面的面積為S,截面在平面ABCD內(nèi)的射影圖形面積為S′,則由,可知S′越大,則S越大.

例6的兩種方法體現(xiàn)了選擇題的兩種思路,方法1是從截面的特殊位置出發(fā)去計(jì)算結(jié)果得到答案,方法2則是從解答題的角度給出了嚴(yán)格的計(jì)算及推理,具有嚴(yán)密性.實(shí)質(zhì)上還可以將六邊形EFGHMN分成兩個(gè)等腰梯形求解面積.

2 綜合試題賞析

2.1 以線線平行為背景

例7 已知正三棱柱ABC-A1B1C1的底面面積為S,高為h,過點(diǎn)C作與三棱柱的底面ABC成α)角的截面MNC,使MN//AB,求截面的面積.

2.2 以線面平行為背景

例8 (2019年北京卷文18)如圖10所示,在四棱錐P-ABCD中,PA⊥平面ABCD,底部ABCD為菱形,E為CD的中點(diǎn).

圖10

(1)求 證:BD⊥平面PAC;

(2)若∠ABC＝60°,求 證:平 面PAB⊥平面PAE;

(3)棱PB上 是 否 存在點(diǎn)F,使得CF//平面PAE? 說明理由.

(1)(2)求解過程略.

(3)方法1 (先猜后證)存在點(diǎn)F為PB的中點(diǎn)時(shí),滿足CF//平面PAE.

如圖11所示,分別取PB,PA的中點(diǎn)F,G,連接CF,FG,EG, 在△PAB中,FG//AB且;在菱形ABCD中,E為CD的中點(diǎn),所以CE//AB且CE＝,則CE//FG且CE＝FG,即四邊形CEGF為平行四邊形,所以CF//EG.又CF?平面PAE,EG?平面PAE,所以CF//平面PAE.

圖11

方法2 (轉(zhuǎn)化為面面平行)假設(shè)棱PB上存在點(diǎn)F,使得CF//平面PAE.如 圖12 所 示,過 點(diǎn)F作FH⊥AB于H,連接CH,易證FH//PA,從而FH//平面PAE,由CF∩FH＝F,知平面FHC//平面PAE.又平面FHC∩平面ABCD＝CH,平面PAE∩平面ABCD＝AE,則CH//AE.又AH//CE,從而四邊形AECH為平行四邊形,由E為CD的中點(diǎn),可知點(diǎn)H為AB的中點(diǎn),從而點(diǎn)F為PB的中點(diǎn),即存在點(diǎn)F為PB的中點(diǎn)時(shí),滿足CF//平面PAE.

圖12

方法3 (轉(zhuǎn)化為線線平行)假設(shè)棱PB上存在點(diǎn)F,使 得CF//平 面PAE.如 圖13 所 示,過 點(diǎn)F作FM⊥PA于M,連接EM.易證FM//AB//CE,從而F,M,C,E四 點(diǎn) 共 面.由CF//平 面PAE及 平 面FMEC∩平面PAE＝ME,可得CF//ME,從而四邊形FMEC為平行四邊形,則FM＝CE.由E為CD的中點(diǎn),知,從而點(diǎn)F為PB的中點(diǎn),即存在點(diǎn)F為PB的中點(diǎn)時(shí),滿足CF//平面PAE.

圖13

圖14

方法5 (坐標(biāo)法)假設(shè)棱PB上存在點(diǎn)F,使得CF//平面PAE.設(shè)AC與BD相交于O,由四邊形ABCD為菱形,可得AC⊥BD且點(diǎn)O為AC與BD的中點(diǎn).

例7的特點(diǎn)在于對問題的分類討論,例8則是借助于一題多解對此類問題的解決策略進(jìn)行了全方面總結(jié)與呈現(xiàn),完善與豐富了此類問題思考途徑.

限于篇幅,此處省略了對以面面平行為背景的試題剖析.從上述試題可以看出:對空間中平行關(guān)系的考查是全方位的,試題形式靈活,方法多樣,在復(fù)習(xí)過程中,要及時(shí)進(jìn)行題型與解題策略的歸納總結(jié),充分發(fā)揮“微專題”的優(yōu)勢,幫助并引導(dǎo)學(xué)生形成知識(shí)網(wǎng)絡(luò)與框架,提升數(shù)學(xué)素養(yǎng).

(完)