例析立體幾何中的四種圖形變換

趙榮華

(吉林省四平市教育學(xué)院)

立體幾何的研究對象是空間幾何體,在研究空間幾何的有關(guān)問題時,我們經(jīng)常要對它的圖形進行一些變換,如展開、折疊、割補、還原等.本文舉例說明.

1 折疊變換

將平面圖形按照一定的要求進行折疊,得到空間幾何體,研究幾何體的性質(zhì),或計算幾何體的體積與表面積是一種常見的題型.解決這類問題的關(guān)鍵是要分清折疊前后位置關(guān)系和數(shù)量關(guān)系中的變與不變.

例1 如圖1所示,在直角梯形ABCD中,AB//DC,∠BAD＝90°,AB＝4,AD＝2,DC＝3,點E在CD上,且DE＝2,將△ADE沿AE折起,使得平面ADE⊥平面ABCE,G為AE的中點.

圖1

(1)求證:DG⊥平面ABCE;

(2)求四棱錐D-ABCE的體積;

(3)在線段BD上是否存在點P,使得CP//平面ADE? 若存在,求的值;若不存在,請說明理由.

(1)因為G為AE的中點,AD＝DE＝2,所以DG⊥AE.因為平面ADE⊥平面ABCE,平面ADE∩平面ABCE＝AE,DG?平面ADE,所以DG⊥平面ABCE.

(3)如圖2所示,過點C作CF//AE交AB于點F,則AF∶FB＝1∶3.過點F作FP//AD交DB于點P,連接PC,則DP∶PB＝1∶3.又CF//AE,AE?平面ADE,CF?平面ADE,所以CF//平面ADE.

圖2

同理,FP//平面ADE.又CF∩PF＝F,CF?平 面PFC,PF?平面PFC,所以平面PFC//平面ADE.因為CP?平面PFC,所以CP//平面ADE,則在BD上存在點P,使得CP//平面ADE,且

本題已經(jīng)給出圖形,解答時只需抓住兩個關(guān)鍵點:一是圖形翻折前后哪些數(shù)量關(guān)系和位置關(guān)系發(fā)生了變化,哪些沒有發(fā)生變化;二是對照翻折后的圖形,按照一般的立體幾何問題加以解答.

2 展平變換

將空間圖形問題轉(zhuǎn)化為平面圖形問題,是解決立體幾何問題基本的、常用的方法.將空間圖形展開成平面圖形后,弄清幾何體中相應(yīng)點和線在展開圖中的相應(yīng)的位置關(guān)系是解題的關(guān)鍵.

例2 如圖3 所示,已知在圓錐SO中,底面半徑r＝1,母線長l＝4,M為母線SA上的一個點,且SM＝x,從點M拉一根繩子,圍繞圓錐側(cè)面轉(zhuǎn)到點A,則當(dāng)繩子最短時,頂點到繩子的最短距離為_________(用x表示).

圖3

因為底面半徑r＝1,母線長l＝4,所以側(cè)面展開圖的弧長為2πr＝2π,則側(cè)面展開扇形的圓心角,因此,將圓錐側(cè)面展開成一個扇形(如圖4),從點M拉一繩子圍繞圓錐側(cè)面轉(zhuǎn)到點A,最短距離為Rt△ASM1中斜邊AM1的長度.因為SM1＝x,SA＝4,所以繩子的最短長度的平方為f(x)＝AM21＝x2＋16(0≤x≤4).設(shè)繩子最短時,頂點S到繩子的最短距離等于d,則

圖4

本題要求曲面上兩點間的最小距離,依據(jù)平面上兩點之間線段最短的性質(zhì)將曲面展平成平面,把立體幾何問題轉(zhuǎn)化為平面幾何問題.立體幾何中側(cè)面上兩點最短路程問題,一般都采用一個思路.

3 割補變換

對于不規(guī)則的幾何體,通過“割”或“補”的方法可以將其變?yōu)橐?guī)則的幾何體,這就是割補變換法,割補變換常常用于求解體積問題.

例3 圖5中的多面體的底面是邊長為a的正方形,上面的棱平行于底面,其長為2a,其余的棱長都是a.已知,則這個多面體的體積是________.

圖5

如圖6所示,在線段PQ上分別取C,C1兩點,使得平面ABC⊥平面AA1B1B,平面A1B1C1⊥平面AA1B1B,AB的中點為M,連接CM,則又,所以

圖6

綜上,這個多面體的體積為

“割”與“補”是解決立體幾何問題的常用方法,通過割補變換可化復(fù)雜的幾何體為已熟知的簡單幾何體,從而較快地找出解決問題的突破口.本題將多面體分割成三個可求體積的幾何體:一個棱柱和兩個棱錐.

4 還原變換

有些立體幾何問題給出的圖形是三視圖或空間幾何體展開的平面圖,解答時往往要將這些圖形還原成直觀圖,最后利用直觀圖來解決問題.

例4 (多選題)如圖7所示,這是一個正方體的展開圖,若將它還原為正方體,則以下正確的是( ).

圖7

A.AB//CD

B.CD//EF

C.DF//EG

D.HG//EF

由展開圖可得幾何體的直觀圖如圖8所示,所以AB與CD為異面直線,HG與EF為異面直線,故A 和D 錯 誤.由 正方體的性質(zhì)可得DF//EG,DF//CE,DF＝CE,所以四邊形CDFE為平行四邊形,則EF//CD,故B和C正確.

圖8

綜上,選BC.

本題考查空間兩條直線的位置關(guān)系,必須先把平面展開圖還原成立體直觀圖.

折疊、展開、割補和還原是立體幾何基本的圖形變換,也是高考常考題型.從以上四個例題可以看出,解決這類問題的方法主要有兩種:一種是直觀想象,借助空間想象來解決問題;另一種是實地實驗,通過折紙實驗等直觀解決問題.

(完)