立體幾何解答題中體積的求解策略

馬文明

(山東省郯城縣美澳學(xué)校)

立體幾何中空間幾何體的體積求解,是高考中的重點與難點,或利用公式直接運算求解,或作為媒介交會知識應(yīng)用,或創(chuàng)設(shè)場景融入實際問題,成為高考中的一個熱點問題.涉及立體幾何解答題中體積的求解策略主要有兩種:

1)利用等體積思維,比如,求三棱錐的體積常用換頂點法;

2)利用化整為零思維,比如,求多面體的體積常用切割法.

1 換頂點法

使用場景:三棱錐體積的求解與應(yīng)用問題.

第一步:觀察三棱錐的4個頂點的情況;

第二步:尋找易求高的頂點的三棱錐,經(jīng)常利用平行、相似或全等技巧等價轉(zhuǎn)化頂點;

第三步:根據(jù)體積公式求得結(jié)果.

例1 如圖1所示,在三棱柱ABC-A1B1C1中,AB＝AC＝AA1＝3,AB⊥AC,∠A1AB＝∠A1AC,D是棱B1C1的中點.

圖1

(1)證明:BC⊥平面A1AD;

(2)若三棱錐B1-A1BD的體積為,求平面A1BD與平面CBB1C1的夾角θ.

(1)如圖2所示,取BC的中點O,連接AO,A1O,A1C,CD,因為AB＝AC,所以AO⊥BC.因 為∠A1AB＝∠A1AC,AB＝AC,所 以△A1AB≌△A1AC,則A1B＝A1C,即A1O⊥BC.

圖2

因為AO∩A1O＝O,AO?平面A1AOD,A1O?平面A1AOD,所以BC⊥平面A1AOD,即BC⊥平面A1AD.

(2)如圖3所示,連接OD,由(1)可知BC⊥平面AA1DO,因 為BC?平 面ABC,且BC?平 面BCC1B1,故 平 面AA1DO⊥平 面ABC,平 面AA1DO⊥平面BCC1B1.

圖3

過H作HE⊥BD,連接A1E,因為A1H⊥平面BCC1B1,BD?平面BCC1B1,所以A1H⊥BD,又因為A1H∩HE＝H,A1H?平面A1HE,HE?平面A1HE,所以DB⊥平面A1HE.

又A1E?平 面A1HE,所 以A1E⊥BD,則∠A1EH即為所求二面角的平面角.在Rt△A1DH

采用換頂點法求解空間幾何體的體積,主要是針對三棱錐這一比較常見的幾何體,利用換頂點可以轉(zhuǎn)換視角,改變對應(yīng)圖形的底與高之間的相對關(guān)系,進(jìn)而達(dá)到巧妙解決問題的目的.

2 切割法

使用場景:多面體體積的求解與應(yīng)用問題.

第一步:觀察空間幾何體特征,將多面體切割成其他錐體或進(jìn)行合理補形;

第二步:分別求出各部分幾何體的體積;

第三步:根據(jù)切割或組合求解問題.

例2 如圖4所示,已知兩個四棱錐P1-ABCD與P2-ABCD的公共底面是邊長為a的正方形,頂點P1,P2在底面的同側(cè),棱錐的高P1O1＝P2O2＝h,O1,O2分別為AB,CD的中點,P1D與P2A交于點E,P1C與P2B交于點F.

圖4

(1)求證:點E為線段P2A的中點;

(2)求這兩個棱錐的公共部分的體積.

(1)已知兩個四棱錐P1-ABCD與P2-ABCD的公共底面是邊長為a的正方形,連接P1P2,O1O2,如圖5所示.因為P1O1⊥平面ABCD,P2O2⊥平面ABCD,所以P1O1//P2O2,又P1O1＝P2O2＝h,所以四邊形P1O1O2P2是矩形,所以P1P2//O1O2,且P1P2＝O1O2.

圖5

又O1,O2分別為AB,CD的中點,所以O(shè)1O2//AD,且O1O2＝AD,所 以P1P2//AD,且P1P2＝AD,所以四邊形P1P2DA是平行四邊形,又P2A∩DP1＝E,所以點E為線段P2A的中點.

(2)連接P2O1交EF于點N,過點P1作P1M⊥P2O1于M,由題意知P2A＝P2B,故P2O1⊥AB.又P1O1⊥AB,P2O1∩P1O1＝O1,P2O1?平 面P2P1O1,P1O1?平 面P2P1O1,所 以AB⊥平 面P2P1O1,故AB⊥P1M.又P2O1∩AB＝O1,P2O1?平面P2AB,AB?平面P2AB,所以P1M⊥平面P2AB,即P1M是四棱錐P1-ABFE的高.由(1)同理可得點F為線段P2B的中點,所以

在Rt△P2O2O1中,,則

而P1M＝P1O1sin∠P1O1M＝hcos∠P2O1O2＝,所以

切割法主要用于求解比較復(fù)雜或沒有特殊規(guī)律的空間幾何體中的體積問題.通過切割處理,化整為零,或通過補形思想,化缺為整,將不熟悉的幾何圖形轉(zhuǎn)化為常規(guī)且可以利用體積公式來處理的空間幾何體問題,進(jìn)而通過合理的組合來達(dá)到解題的目的.

其實,在解決空間幾何體的體積問題時,有時可以將一些復(fù)雜的、不規(guī)則的空間幾何體進(jìn)行必要的轉(zhuǎn)化,如通過切割、組合、拼接、增減等技巧處理,轉(zhuǎn)換視角,變成一個或幾個相對規(guī)則的空間幾何體,進(jìn)而簡單快捷地來求解相應(yīng)的體積,或借助體積來轉(zhuǎn)化與應(yīng)用,巧妙化歸與轉(zhuǎn)化,快速變形與破解.

(完)