空間幾何體外接球問題的四種常見類型

蔡志山

(福建省莆田市媽祖中學(xué))

空間幾何體的外接球問題作為高中數(shù)學(xué)立體幾何模塊中的一類重點問題,是高考中的熱點.求解空間幾何體外接球問題的關(guān)鍵是正確尋找外接球的球心或確定外接球的半徑.空間幾何體的形式多樣,題目類型變化多端,給尋找外接球的球心或確定外接球的半徑等造成很大的困難.本文結(jié)合空間幾何體的不同結(jié)構(gòu)特征加以合理歸類,總結(jié)空間幾何體外接球問題的四種基本模型.

1 墻角模型

墻角模型是指三棱錐的三條棱兩兩垂直或三個平面兩兩垂直,將該三棱錐放入長方體中,把該三棱錐的外接球轉(zhuǎn)化為該長方體的外接球,不用找出球心的具體位置,即可求出該球的半徑.圖1給出三種不同情況的三棱錐P-ABC的墻角模型.

圖1

例1 在三棱錐P-ABC中,已知PA,PB,PC兩兩垂直,且PA＝1,PB＝2,PC＝3,則三棱 錐P-ABC的外接球的表面積為( ).

A.13π B.14π C.56π D.64π_____

把三棱錐P-ABC放置在一個長方體中,如圖2所示,則該長方體的外接球即為三棱錐P-ABC的外接球,其外接球的半徑為

圖2

所以三棱錐P-ABC外接球的表面積為S＝4πR2＝14π,故選B.

求解此類墻角模型問題的關(guān)鍵:一是“見數(shù)思形”,需在草稿紙上畫出三棱錐的草圖,判斷是否有兩兩垂直的三條棱;二是“會構(gòu)圖形”,即靈活構(gòu)造長方體;三是“會用公式”,4R2＝a2＋b2＋c2(其中R為該三棱錐的外接球的半徑,a,b,c為兩兩垂直的三條棱的長).

2 對棱相等模型

對棱相等模型是指三棱錐的相對的兩條棱相等,可以通過構(gòu)建長方體,將該三棱錐放入該長方體中,使三棱錐的頂點與長方體的頂點重合,進(jìn)而將該三棱錐的外接球轉(zhuǎn)化為該長方體的外接球,從而求出該外接球的半徑.圖3 是四面體ABCD的對棱相等的模型.

圖3

圖4

例2 在平行四邊形ABCD中,AB＝2 2,BC＝3,且,沿BD將△BDC折起,使點C到達(dá)點E處,且滿足AE＝AD,則三棱錐E-ABD的外接球的表面積為_________.

E-ABD的外接球相同,所以三棱錐E-ABD的外接球的表面積為S＝4πR2＝13π.

求解此類對棱相等模型問題的關(guān)鍵:一是通過翻折,明確不變與變化的量;二是構(gòu)造,即根據(jù)所給的相等對棱的長度,構(gòu)造符合條件的長方體;三是列出方程組,即設(shè)出長方體的長、寬、高,根據(jù)三棱錐的三組對棱的長度,列出方程組,解方程組即可求出所構(gòu)造的長方體的共頂點的相鄰的三條棱的長;四是用公式,利用長方體的體對角線長等于該三棱錐的外接球的直徑,求出該三棱錐的外接球半徑,最后利用球的表面積與體積公式即可得到外接球的表面積與體積.

3 “心有所依”模型

“心有所依”模型是指對于圓錐、圓臺及側(cè)棱相等的棱錐等幾何體,可得球心必在該幾何體的高所在的直線上,或者在棱錐一個底面的高所在直線上,由此可把相關(guān)信息集中到某一個直角三角形內(nèi),利用勾股定理求解.圖5 是三棱錐P-ABC的“心有所依”模型.

圖5

例3 已知三棱錐M-ABC的四個頂點均在表面積為32π 的球面上,,AC＝4,則三棱錐M-ABC的體積的最大值為( ).

根據(jù)題意可知△ABC是一個直角三角形,其面積為4,其外接圓的圓心在斜邊AC的中點上.設(shè)外接圓的圓心為Q,當(dāng)MQ⊥平面ABC時,三棱錐M-ABC的體積最大(如圖6),設(shè)球心為O,半徑為R,則有4πR2＝32π,解得R＝2 2,而點O到平面ABC的距離為,所以三棱錐M-ABC的體積的最大值為,故選C.

圖6

求解此類“心有所依”模型問題的關(guān)鍵:一是確定球心O的位置,先確定底面三角形的外接圓的圓心;二是計算出三棱錐底面外接圓的半徑;三是利用勾股定理,即可求出球心到底面的距離,從而求出三棱錐的高.

4 “雙心”模型

“雙心”模型是指可利用球心、三角形(或四邊形等)外接圓的圓心,以及外接圓與球的交點所構(gòu)成的直角三角形進(jìn)行求解.圖7是三棱錐P-ABC的“雙心”模型.

圖7

圖8

例4 在四棱錐P-ABCD中,PA⊥底 面ABCD,PA＝AB＝AD＝1,BC＝CD＝BD＝3,則該四棱錐的外接球的表面積為__________.

求解此類“雙心”模型問題時,外接球球心到各頂點的距離相等,因此可以先考慮到三個頂點的距離相等的點是三角形的外心,球心一定在過此點與此平面垂直的直線上.