一道向量數(shù)量積取值范圍問題的多角度探究

陳輝坤 毋曉迪 鞠騰基

(廣西民族大學(xué)數(shù)學(xué)與物理學(xué)院)

求解兩個向量數(shù)量積取值范圍問題,往往會涉及動態(tài)幾何問題,需要采取“動”與“靜”相結(jié)合的解題思路,解題難度較大,可以采取向量問題坐標化、基底化思想,或構(gòu)造圖形使其更直觀,體會解決向量數(shù)量積取值范圍問題的基本方法.

題目 已知AB是半圓O的直徑,AB＝2,等腰△OCD的頂點C,D在半圓弧AB上運動,且∠COD＝120°,點P是半圓弧AB上的動點,求的取值范圍.

分析1 固定△OCD的位置,采取“以靜制動”的方法,使點C與點B重合,不影響最值的結(jié)果,隨之,點D的位置就能固定下來.通過建立平面直角坐標系,可直接寫出C,D兩點的坐標,同時得到半圓O的方程,根據(jù)圓的參數(shù)方程,寫出點P的坐標,再通過向量數(shù)量積坐標運算,把求解的取值范圍問題轉(zhuǎn)化為求三角函數(shù)的取值范圍問題.

方法1 如圖1所示,使點C與點B重合,以AB所在直線為x軸,以線段AB的中垂線為y軸,建立平面直角坐標系,則半圓O的方程為x2＋y2＝1(y≥0),則點C(1,0),由于∠COD＝120°,則點

圖1

設(shè)P(cosθ,sinθ)(θ∈[0,π]),則

所以

將幾何圖形放置于平面直角坐標系中,易求得半圓的一般方程,并利用其參數(shù)方程,順利得到半圓上動點的坐標,最后運用坐標法計算出向量數(shù)量積的表達式,彰顯用坐標法解決問題的優(yōu)越性.此外,學(xué)生有必要掌握運用三角函數(shù)的有界性求解向量數(shù)量積取值范圍問題的解題方法.

方法3 如圖3 所示,取線段CD的中點M,連接OM,OP,PM,即由極化恒等式得

圖3

圖5

下同方法2.

該方法的切入點是探尋點M的運動軌跡,進而剖析線段PM的最大值和最小值.學(xué)生在解決此類問題時,需要聯(lián)想到:若某線段的長度是定值,該線段的某一端點為固定的點時,另一端點的運動軌跡是圓(或一段圓弧).

分析5 構(gòu)造圓內(nèi)接四邊形,觀察并分析出點P可以在線段OD兩側(cè)運動,弧CD對應(yīng)的圓心角為120°,則弧CD對應(yīng)的圓周角為60°,點P在弧AB上的運動情況可分為在

弦CD兩側(cè)兩種位置,根據(jù)圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì),得到與的 夾 角 為∠CPD＝120°或60°,結(jié)合余弦定理和基本不等式,可分別求解出|PC|?|PD|的最大值和最小值,實現(xiàn)問題的解決.

方法5 如圖6所示,固定點C,使其與點B重合,由圓周角定理知:當點P在弧AD上運動時,記為點P2,此時∠CP2D＝60°,即

圖6

該方法的關(guān)鍵點是從構(gòu)造圓內(nèi)接四邊形出發(fā),厘清點P在圓弧上的運動位置可以細分為兩類,這種思路能全面分析動態(tài)幾何問題,雖然過程稍顯復(fù)雜,但其中所體現(xiàn)出的研究問題路徑值得大家借鑒.

分析6 受方法5的啟發(fā),從向量數(shù)量積的幾何意義出發(fā),基于點P在弧AD和在弧CD運動時的兩種情形,分別作投影向量.根據(jù)已知的線段長和特殊角的大小,計算出向量數(shù)量積的最大值和最小值.

方法6 如圖7 所 示,過 點D作DE⊥P2B于E,過C作CF⊥P1D于F,即

圖7

該方法利用向量數(shù)量積的幾何意義,把兩個向量數(shù)量積的運算轉(zhuǎn)化為一個向量的模乘另一個向量在其方向上的投影.雖然使用此方法對思維要求較高,但是其中所蘊含的數(shù)學(xué)思想值得大家思考.另外,此種方法計算量小,不容易出錯,若在考試中能將該方法應(yīng)用到求向量數(shù)量積問題中,可能會收獲意想不到的效果.

(完)