從結(jié)構(gòu)尋解法 用思維提素養(yǎng)
——一道解斜三角形統(tǒng)測題的解與思

王 凱 金建軍

(1.浙江杭州市源清中學(xué) 2.浙江金華第一中學(xué))

解三角形問題是高中數(shù)學(xué)的一類常見問題,它是初中數(shù)學(xué)解直角三角形問題的繼承和發(fā)展,在解題時常結(jié)合高中的代數(shù)工具(如正弦定理、余弦定理、平面向量等),以解決復(fù)雜幾何圖形中的定量問題.本文以浙江省杭州市2022屆高三下學(xué)期4月數(shù)學(xué)質(zhì)量檢測(二模)第16題為例簡談在解三角形問題時學(xué)生如何培養(yǎng)和落實自己的數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng).

題目 在Rt△ABC中,∠C＝90°,點D在邊BC上,3CD＝BD.若,求sin∠ABC.

本題的題干簡潔,既有幾何關(guān)系,又有數(shù)量關(guān)系.在畫出草圖后,可以從幾何構(gòu)造、代數(shù)運算和數(shù)形互助的層面來對問題進(jìn)行解法建構(gòu),在解決問題的過程中提高解題能力,培養(yǎng)思維品質(zhì),提升核心素養(yǎng).

分析1 題目沒有直接給出圖,所以解題時先要根據(jù)題意構(gòu)圖.題干中有一個條件:一個角的正弦值是,根據(jù)這個熟悉的值聯(lián)想到“勾三股四弦五”的直角三角形.因此求解問題的關(guān)鍵在于能否看出數(shù)據(jù)背后的秘密.

解法1 根據(jù)題意,畫出圖1,因為三角形相似不改變角度大小,不妨設(shè)CD＝1,BD＝3(下同).過點D作DH⊥AB,交AB與點H,那么有

在 Rt △ADH中, 因 為,所 以AH＝4sin∠ABC,AD＝5sin∠ABC,則AB＝4sin∠ABC＋3cos∠ABC.因為Rt△BDH∽Rt△BAC,所以,即

化簡可得

如果沒有想到三角形相似,算“兩次”也可以是我們解決此類問題的常用方法,如解法2.

解法2 在圖1中,設(shè)DH＝3k,AH＝4k,AD＝5k,則在Rt△ABC中,有

又因為

所以

解法提煉 “能夠在熟悉的數(shù)學(xué)情境中,借助圖形的性質(zhì)和變換(平移、對稱、旋轉(zhuǎn))發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)規(guī)律”是?普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)(2017 年版2020 年修訂)?(以下簡稱?課標(biāo)?)對直觀想象素養(yǎng)水平一的要求.歐幾里得幾何是學(xué)生在初中階段的一個重要學(xué)習(xí)內(nèi)容,通過一些常見的幾何圖形,建立直觀想象思維,為后續(xù)用代數(shù)予以表達(dá)提供基礎(chǔ).學(xué)習(xí)時需要在基本圖形中識別常見的圖形,利用關(guān)聯(lián)的情境,把問題變回到熟悉的數(shù)學(xué)情境中,然后利用合適的工具進(jìn)行求解.

分析2 這個問題還可以借助高中數(shù)學(xué)中解三角形問題的兩大工具——余弦定理和正弦定理,通過代數(shù)運算巧妙地替代添加幾何輔助線.

由余弦定理,得

即

解得t＝2,則

把邊長用變量t進(jìn)行表示,借助余弦定理這一代數(shù)工具,把幾何運算轉(zhuǎn)化成了代數(shù)運算.同理,也可以用正弦定理解決,如解法4.

解法4 在△ABD中,由正弦定理,得

即AD＝5sin∠ABC.在Rt△ADC中,得

故有

解法提煉 “能夠在關(guān)聯(lián)的情境中確定運算對象,提出運算問題”是?課標(biāo)?對數(shù)學(xué)運算水平二的要求.事實上,在情境中理解運算是一種演繹推理,若能學(xué)會用程序化策略,將會有利于解決數(shù)學(xué)運算的問題.

分析3 在前面的解法中,利用了幾何構(gòu)圖的“巧”和數(shù)學(xué)運算的“繁”,我們還可以從數(shù)形結(jié)合的角度,通過形看出一些關(guān)系,再用簡單的運算得出結(jié)論,提升邏輯推理能力.

解法5 由題可知∠BAD＝∠BAC－∠DAC,因為∠BAC在Rt△ABC中,∠DAC在Rt△ADC中,所以這兩個角的三角函數(shù)值非常容易算出,結(jié)合差角公式(在等號兩邊取正弦,直接用題中的正弦值;因為斜邊結(jié)構(gòu)比較復(fù)雜,可以在等號兩邊取正切值,這樣計算更為簡單),就能很快的建立等量關(guān)系,解得t＝2,則

如果采用這個解法,這個問題就可以看作是人教A 版必修第二冊50頁例10(如圖2所示,AB是底部B不可到達(dá)的一座建筑物,A為建筑物的最高點.設(shè)計一種測量建筑物高度AB的方法,并求出建筑物的高度)的一個改編題.教材中并沒有把解三角形作為一個單獨的章節(jié),而是作為平面向量的應(yīng)用,這也說明我們可以用向量的視角去審視問題,如解法6.

圖2

圖3

解得t＝2,則

解法提煉 “能夠在綜合的情境中,用數(shù)學(xué)的眼光找到合適的研究對象,提出有意義的數(shù)學(xué)問題”是?課標(biāo)?對邏輯推理水平三的要求.從問題表征找到數(shù)量關(guān)系,培養(yǎng)從方法層面考慮問題,提升邏輯推理能力.

在日常解題中,既要重視通性通法,同時還要會從不同角度來思考問題,充分解讀數(shù)學(xué)學(xué)科知識,挖掘數(shù)學(xué)知識背后的思維,不斷提高自己的數(shù)學(xué)能力,以實現(xiàn)數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)的提升.

(完)