從表征到深層理解 從思維到方法建構(gòu)
——多視角破解幾何體體積問題

林永強(qiáng) 巨小鵬

(1.甘肅省天水市第一中學(xué) 2.四川師范大學(xué)實(shí)驗(yàn)外國語學(xué)校)

本文對(duì)2021年全國乙卷文科第18題進(jìn)行了多角度分析,并以此為契機(jī)對(duì)近幾年?？嫉膸缀误w體積問題進(jìn)行了例析,從公式法、等體積法、分割法、補(bǔ)形法和向量法等幾個(gè)方面進(jìn)行歸納總結(jié),旨在提升學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)科素養(yǎng).

1 試題引入

題目 (2021年全國乙卷文18)如圖1所示,四棱錐P-ABCD的底面是矩形,PD⊥底面ABCD,M為BC的中點(diǎn),且PB⊥AM.

圖1

(1)證明:平面PAM⊥平面PBD;

(2)若PD＝DC＝1,求四棱錐P-ABCD的體積.

2 解法探析

第(1)問要求證明平面PAM⊥平面PBD,比較簡單,本文著重分析第(2)問.

方法2 (平面直角坐標(biāo)系視角)由(1)可知AM⊥DB,所以kAM?kBD＝－1.建 立 如 圖2 所 示的平面直角坐標(biāo)系,設(shè)BC＝2a(a＞0).因?yàn)镈C＝1,所以A(0,0),B(1,0),D(0,2a),M(1,a),從而

圖3

BC＝2.下同方法1.

求解本題的關(guān)鍵是求出矩形ABCD的邊長BC,方法1利用相似三角形求出矩形ABCD的邊長BC,從而求得該四棱錐的體積;方法2建立平面直角坐標(biāo)系,利用直線垂直的條件得到矩形ABCD的邊長BC,從而求得該四棱錐的體積;方法3直接利用空間直角坐標(biāo)系和空間向量垂直的坐標(biāo)運(yùn)算求得矩形ABCD的邊長BC;方法4利用空間向量轉(zhuǎn)化求得矩形的邊長BC,所有解法中方法3最為簡捷,可見空間向量法在解決立體幾何問題中的優(yōu)越性;方法5直接利用四點(diǎn)向量定理結(jié)論得出BC的長度,此定理在解決線線角、線面角和二面角問題都有其優(yōu)越性,但需要有足夠的知識(shí)儲(chǔ)備.

3 求體積問題方法歸納與剖析

例1 在三棱錐P-ABC中,PA＝a,AB＝AC＝2a,,求三棱錐P-ABC的體積.

方法1 (體積公式視角)如圖4所示,由題意可知P在平面ABC上的投影在∠BAC的角平分線AD上,記其為O,即OP為三棱錐P-ABC的高,在平面ABC內(nèi),過O作OE⊥AB于E,則AB⊥PE,即所以

圖4

圖5

圖6

本題考查三棱錐的幾何特征和體積,考查了問題分析求解能力.以往高考直接考查公式的試題居多,比如2021年全國甲卷第11題,全國Ⅱ卷第5題,2020年海南卷第13題,2018年全國Ⅰ卷第18題,天津卷文科第11題,2017年全國Ⅰ卷文科第18題,新高考Ⅱ卷文科第18題等.

方法2 (等體積視角)在△PAB中,根據(jù)余弦定理可 得PB＝ 3a,則,同理,可得,所以AP⊥平面PBC,則

若直接求體積不好求,則可以轉(zhuǎn)變角度利用等體積法求解.等體積法常用于解決點(diǎn)到平面的距離問題,是文科卷中?？疾榈姆椒?

通過分析題中幾何體的特征,方法3將三棱錐P-AMN分割成以a為棱長的正四面體,根據(jù)底面面積之比得出體積.方法4根據(jù)三棱錐幾何特征,將三棱錐平分,進(jìn)而利用分割思想解決問題.

方法5 (補(bǔ)成正四面體視角)延長AP到Q使得AQ＝2a,連接QB,QC,則三棱錐Q-ABC是以2a為棱長的正四面體,所以Q到平面ABC的距離是P到平面ABC的距離的2倍,則

方法5相當(dāng)于對(duì)方法3的一種優(yōu)化處理,計(jì)算更加簡單.割補(bǔ)同屬于一種思想,分割是向內(nèi)視角,補(bǔ)全是向外視角,但是大多數(shù)時(shí)候?qū)W生首先想到的是分割處理,向外的補(bǔ)全視角不易想到,為了強(qiáng)化此種意識(shí),應(yīng)將割補(bǔ)分為兩類進(jìn)行歸納總結(jié).

例2 (2018年江蘇卷10)如圖7所示,正方體的棱長為2,以其所有面的中心為頂點(diǎn)的多面體的體積為_________.

圖7

由圖可知該多面體為兩個(gè)全等正四棱錐的組合體,正四棱錐的高為1,底面正方形的邊長等于2,所以所求多面體的體積為

解決此類問題的關(guān)鍵是準(zhǔn)確理解幾何體的結(jié)構(gòu)特征,可以判斷所求幾何體可以分割為兩個(gè)全等的四棱錐,因此考慮采用割補(bǔ)法求解.

例3 (2019 年全國Ⅰ卷理12)已知三棱錐P-ABC的四個(gè)頂點(diǎn)在球O的球面上,PA＝PB＝PC,△ABC是邊長為2 的正三角形,E,F分別是PA,AB的 中 點(diǎn),∠CEF＝90°,則 球O的 體 積 為( ).

方法1 如圖8所示,因 為PA＝PB＝PC,△ABC是 邊 長為2 的正三角形,所以P-ABC為 正 三 棱 錐,則PB⊥AC.又E,F分別為PA,AB的中點(diǎn),所以EF//PB,故EF⊥AC,而EF⊥CE,CE∩AC＝C,所以EF⊥平面PAC,PB⊥平面PAC,則∠APB＝90°,因此PA＝PB＝PC＝2,結(jié)合勾股定理易知PA,PB,PC兩兩相互垂直,故P-ABC為正方體一部分,,故,所以選D.

圖8

方法2 如圖9所示,設(shè)PA＝PB＝PC＝2x,因?yàn)镋,F分別為PA,AB的中點(diǎn),所以EF//PB,且

圖9

本題考查學(xué)生的空間想象力,可通過線面垂直定理得到三棱兩兩相互垂直的關(guān)系,進(jìn)而利用補(bǔ)全法解決問題.求體積問題并非只考查一種方法,有可能綜合考查公式法、等體積法以及割補(bǔ)法,需要綜合分析問題.常見的補(bǔ)全法有將正六邊形放在正方形中,將三棱柱補(bǔ)成平行六面體,三棱錐補(bǔ)成四棱錐、三棱柱或平行六面體,將圓錐放在圓柱中,從而利用整體和全局意識(shí)解決問題.

當(dāng)然解決此類問題的方法遠(yuǎn)不止于此,還有平移法、相似比法、祖暅原理法和積分法等.建構(gòu)主義認(rèn)為,學(xué)生學(xué)習(xí)從簡單階段出發(fā),通過逐步滲透,創(chuàng)造出復(fù)雜規(guī)則或高級(jí)規(guī)則,目的是解決一個(gè)或一類實(shí)際問題,然后進(jìn)入結(jié)構(gòu)化階段,將離散的圖式變得連續(xù)起來,最后進(jìn)入遷移階段,達(dá)到更為抽象的思維水平,呈現(xiàn)出豐富性、特殊性和發(fā)展性的特點(diǎn).通過認(rèn)知分析,找到合適的方法,甚至對(duì)比分析在不同的方法,進(jìn)而形成解決此類問題的解題思維體系.

(完)