基于慕課的“信號(hào)與系統(tǒng)”教學(xué)實(shí)踐

金 林 萬(wàn)麗娟 江勝利 衛(wèi) 寧 劉暢詠

(合肥師范學(xué)院 電子信息工程學(xué)院,合肥 230601)

“信號(hào)與系統(tǒng)”是一門(mén)承上啟下的專(zhuān)業(yè)基礎(chǔ)課程,一方面需要“高等數(shù)學(xué)”“復(fù)變函數(shù)”“電路分析”等知識(shí),另一方面又是“數(shù)字信號(hào)處理”“通信原理”等課程的基礎(chǔ)。先修課程的掌握程度會(huì)影響該課程的學(xué)習(xí),而該課程的學(xué)習(xí)又對(duì)后續(xù)課程影響很大。提高該課程的教學(xué)質(zhì)量對(duì)于提升電子相關(guān)專(zhuān)業(yè)學(xué)生的專(zhuān)業(yè)能力有重要的意義[1]。該課程的知識(shí)點(diǎn)多且環(huán)環(huán)相扣,想學(xué)好這門(mén)課程,學(xué)生需要扎實(shí)地理解每個(gè)知識(shí)點(diǎn)的物理意義。而合肥師范學(xué)院電子信息類(lèi)專(zhuān)業(yè)的學(xué)生數(shù)理能力和基礎(chǔ)相對(duì)薄弱,當(dāng)所教內(nèi)容涉及較為復(fù)雜的數(shù)學(xué)計(jì)算和物理概念時(shí),學(xué)生往往感到難以理解、缺乏學(xué)習(xí)興趣。

結(jié)合課程的特點(diǎn)和地方院校的實(shí)際情況,針對(duì)現(xiàn)存的教學(xué)問(wèn)題,對(duì)課程進(jìn)行教學(xué)改革,充分利用精品慕課資源,理解“信號(hào)與系統(tǒng)”的教學(xué)內(nèi)涵,透徹講解物理概念,采用線上線下協(xié)同教學(xué),激發(fā)學(xué)生自主學(xué)習(xí)興趣。

1 教學(xué)現(xiàn)狀

“信號(hào)與系統(tǒng)”的優(yōu)秀教材較多,這些教材各有特色,適用的教學(xué)對(duì)象有所差別,應(yīng)根據(jù)學(xué)生的學(xué)情合理選擇相應(yīng)教材[2-4]。合肥師范學(xué)院選用教材為鄭君里著第三版《信號(hào)與系統(tǒng)》,其上冊(cè)內(nèi)容主要是連續(xù)系統(tǒng)時(shí)域和變換域分析,也是教學(xué)的重點(diǎn)章節(jié)?！靶盘?hào)與系統(tǒng)”課程概念多、公式多,地方院校的學(xué)生普遍反映學(xué)習(xí)難度大。主講教師和學(xué)生探討后,總結(jié)分析學(xué)習(xí)難度大的可能因素來(lái)自于以下幾個(gè)方面。

(1)高等數(shù)學(xué)等知識(shí)儲(chǔ)備不夠。課程必然會(huì)涉及高數(shù)一些關(guān)于微分、積分的概念,以及復(fù)變函數(shù)的極坐標(biāo)系等知識(shí)。如果學(xué)生對(duì)此部分內(nèi)容生疏,整個(gè)課程就完全無(wú)法進(jìn)行下去。

(2)概念抽象,理解困難。教材內(nèi)容嚴(yán)謹(jǐn),概念解釋精簡(jiǎn),學(xué)生難以掌握知識(shí)點(diǎn)。比如,“1.5信號(hào)的分解”僅脈沖分量這一部分就有8個(gè)公式,如果不理解分解的含義,光背公式是沒(méi)有意義的。而此部分內(nèi)容又是第二章“2.6沖激響應(yīng)與階躍響應(yīng)”“2.7卷積”等的基礎(chǔ)。

(3)答疑不夠仔細(xì)。學(xué)生前面一個(gè)知識(shí)點(diǎn)沒(méi)有很好地掌握,會(huì)影響后一個(gè)知識(shí)點(diǎn)的吸收。

2 課堂教學(xué)改革

為了解決以上幾個(gè)問(wèn)題,重新設(shè)計(jì)教學(xué)活動(dòng)和配置教學(xué)資源,基于“信號(hào)與系統(tǒng)”的慕課資源,開(kāi)展25%學(xué)時(shí)的線上教學(xué)與線下面授有機(jī)結(jié)合。本課程共64個(gè)課時(shí),其中16課時(shí)用于線上教學(xué),48課時(shí)用于線下。

2.1 知識(shí)點(diǎn)回顧

關(guān)于第一個(gè)問(wèn)題,教學(xué)改進(jìn)措施是在相關(guān)章節(jié)授課時(shí),會(huì)首先回顧高數(shù)等知識(shí)點(diǎn),如表1所示。雖然回顧舊知識(shí)點(diǎn)占用少量課時(shí),但是,學(xué)生基于回顧的內(nèi)容,能夠快速領(lǐng)會(huì)本課程新的知識(shí)點(diǎn)。

表1 高數(shù)等知識(shí)點(diǎn)回顧和對(duì)應(yīng)的信號(hào)與系統(tǒng)章節(jié)

線下教學(xué)時(shí),具體采用的授課方式是從高數(shù)等教材中截圖,在課堂上帶學(xué)生回顧導(dǎo)數(shù)和積分等的準(zhǔn)確定義,或畫(huà)簡(jiǎn)圖來(lái)輔助理解,如圖1所示。

圖1 高數(shù)等知識(shí)點(diǎn)回顧

比如,3.2節(jié)偶函數(shù)傅里葉系數(shù)的正弦分量,見(jiàn)公式(1),看起來(lái)形式復(fù)雜。但是,學(xué)生如果理解在一個(gè)周期內(nèi),該奇函數(shù)曲線下面積的正值和負(fù)值相等,那么直觀得到正弦分量值為0。又如,理清極坐標(biāo)和直角坐標(biāo)系的關(guān)系,是掌握第3章和第4章各種運(yùn)算的前提。

(1)

復(fù)習(xí)數(shù)學(xué)概念可輔助本課程的學(xué)習(xí)。但更為重要的是,“信號(hào)與系統(tǒng)”課程的教學(xué)內(nèi)涵是信號(hào)分析與系統(tǒng)分析的原理和概念,也不能將該課程變?yōu)椤皵?shù)學(xué)”課,大量地講解如何計(jì)算卷積,如何計(jì)算系統(tǒng)響應(yīng),如何求信號(hào)的變換。這是普遍存在的誤區(qū),造成學(xué)生陷入計(jì)算細(xì)節(jié)和公式。

2.2 借鑒慕課資源

關(guān)于第二個(gè)問(wèn)題,教學(xué)改進(jìn)措施是通過(guò)線上精品慕課資源提煉出信號(hào)與系統(tǒng)的難點(diǎn),用于線下教學(xué)。線下教學(xué)能夠與學(xué)生互動(dòng),及時(shí)掌握學(xué)生學(xué)習(xí)情況,比學(xué)生僅觀看慕課視頻的線上教學(xué)效果好[5-6]。主講教師在線下教學(xué)時(shí),引用了“學(xué)堂在線”的清華大學(xué)宮琴,“中國(guó)大學(xué)MOOC”的北郵尹霄麗、北交大陳后金、東南大學(xué)孟橋、西電郭寶龍、華中科技大學(xué)宋琪等教師及團(tuán)隊(duì)慕課視頻和課件[7-10]。從不同的慕課資源中,一線教師既能學(xué)習(xí)如何系統(tǒng)把握教學(xué)內(nèi)涵,又能學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)和物理概念的引申,從而提升教學(xué)效果。

北交大陳后金老師在慕課章節(jié)“信號(hào)與系統(tǒng)課程總結(jié)”中,清晰地梳理了信號(hào)與系統(tǒng)的基本原理和基本分析方法。“信號(hào)與系統(tǒng)”不是講“求解系統(tǒng)響應(yīng)”,更不是講“信號(hào)的變換”?！扒蠼庀到y(tǒng)響應(yīng)”是途徑,通過(guò)求解系統(tǒng)響應(yīng)揭示信號(hào)與系統(tǒng)的作用機(jī)理;“信號(hào)變換”是工具,目的是為信號(hào)分析和系統(tǒng)描述提供不同的方法?；诖私虒W(xué)內(nèi)涵,再結(jié)合一些計(jì)算難點(diǎn)的細(xì)節(jié)推導(dǎo),進(jìn)行線下教學(xué),能讓學(xué)生透徹掌握信號(hào)表示與系統(tǒng)描述的基本思想,為進(jìn)一步學(xué)習(xí)后續(xù)課程奠定堅(jiān)實(shí)的理論基礎(chǔ)。

以下的慕課示例主要用于引導(dǎo)學(xué)生注重原理和概念理解,以及分析方法的應(yīng)用。除教材章節(jié)外,章節(jié)標(biāo)號(hào)均指慕課的章節(jié)。第一章的重點(diǎn)是常見(jiàn)信號(hào)和信號(hào)的運(yùn)算,難點(diǎn)是脈沖分量的分解和沖激信號(hào)的性質(zhì)。線上教學(xué)1課時(shí),線下分配8課時(shí)。

信號(hào)的分解教學(xué)引用宮琴老師的慕課。信號(hào)可表示為δ信號(hào)是時(shí)域分析的要點(diǎn)。宮老師利用公式和動(dòng)畫(huà)清晰的演示了教材1.5節(jié)信號(hào)分解成脈沖分量的過(guò)程,并指出信號(hào)分解為δ(t)的物理意義和實(shí)際應(yīng)用(1.5節(jié))。

信號(hào)的表示教學(xué)引用宋琪老師“調(diào)幅廣播系統(tǒng)”的例子(1.1節(jié))、陳后金老師的“開(kāi)關(guān)電路與階躍信號(hào)”(2.2節(jié))、郭寶龍老師“學(xué)好確定信號(hào)是基礎(chǔ),今后的隨機(jī)信號(hào)分析方法與確定信號(hào)分析方法一致,只要把輸入、輸出換成統(tǒng)計(jì)量(V1.01節(jié))”。

信號(hào)的運(yùn)算教學(xué)時(shí),可以加入口訣,幫助學(xué)生記憶。比如移位是“左加右減”,反褶是“照鏡子”,尺度變換是“磁帶的慢放快放”。尺度變換難點(diǎn)在于變換時(shí),要抓住函數(shù)值不變,針對(duì)自變量t,如f(2t)變換為f(2t-1),t的變化是從t變換到t-1/2。

在該章的學(xué)習(xí)中,基本信號(hào)、基本運(yùn)算與基本分解都是為了對(duì)復(fù)雜信號(hào)的分析轉(zhuǎn)化為對(duì)基本信號(hào)的分析,這是信號(hào)分析與處理的基本思想。

第二章的重點(diǎn)是卷積,其次雙零法,難點(diǎn)是卷積公式法中積分限的確定、卷積圖解法,0+狀態(tài)的初始條件。該部分線上教學(xué)分配5課時(shí),線下分配8課時(shí)。

卷積的物理意義、卷積公式法和圖解法引用宮老師(2.6節(jié))和尹老師(2.6節(jié))慕課。尤其,卷積的圖解法中,理解f2(t-τ)的移位是難點(diǎn),但是很少有網(wǎng)課給出詳細(xì)的過(guò)程。宮老師指出,以t表示移動(dòng)的距離,那么“t=0,f2(t-τ)未移動(dòng)”“t>0,f2(t-τ)右移”“t<0,f2(t-τ)左移”,因此,“t從-∞到+∞,對(duì)應(yīng)f2(t-τ)從左向右移動(dòng)”。線下教學(xué)時(shí),主講教師結(jié)合慕課,板書(shū)給出某個(gè)f2(t-τ)函數(shù)的移位示意圖,如圖2所示。另外,陳老師(3.5節(jié))提到卷積公式法的計(jì)算結(jié)果等于0的區(qū)間也要標(biāo)注,不然學(xué)生有時(shí)候不太理解為什么要加上u(t),并且還板書(shū)給出了兩個(gè)矩形脈沖的快速卷積運(yùn)算示例。

圖2 某f2(-τ)函數(shù)的移位

線上發(fā)布卷積拓展內(nèi)容供學(xué)生課后思考。該拓展內(nèi)容引自孟橋老師舉了方波和折線構(gòu)成的信號(hào)相卷積的例子。該例子綜合運(yùn)用了信號(hào)移位、卷積的微分性質(zhì)和結(jié)合律,將信號(hào)轉(zhuǎn)換成方波信號(hào)相卷積后再求積分,并引出思考“如果不是有始信號(hào)進(jìn)行微積分,會(huì)出現(xiàn)什么問(wèn)題”。孟老師還提到了杜阿梅爾積分(2.6.1節(jié))、轉(zhuǎn)移算子(2.2和2.9節(jié))。

該章的學(xué)習(xí)中,卷積積分不僅僅是個(gè)計(jì)算,更重要的是揭示了它們?cè)跁r(shí)域相互作用的機(jī)理,即輸入信號(hào)、輸出信號(hào)和系統(tǒng)三者的關(guān)系。單位沖激響應(yīng)h(t)盡管是個(gè)信號(hào),但是它是在時(shí)域用來(lái)描述系統(tǒng)的。時(shí)域分析是基礎(chǔ),后面頻域或復(fù)頻域分析需要回望時(shí)域分析。

第三章重點(diǎn)是傅里葉變換和采樣定理,難點(diǎn)是周期信號(hào)的傅里葉級(jí)數(shù)和頻譜、抽樣信號(hào)的傅里葉變換。該部分線上教學(xué)分配6課時(shí),線下分配14課時(shí)。

信號(hào)的頻域分析為信號(hào)分析與處理提供了一種新的途徑。陳老師通過(guò)“男女生聲音”“濾除噪聲”和“識(shí)別數(shù)字鍵”三個(gè)小例子直觀地解釋了在信號(hào)的分析時(shí),為什么要引入頻域分析(4.1節(jié))。理解頻譜的概念,是從時(shí)域分析轉(zhuǎn)向變換域分析的前提。結(jié)合圖3和尹老師的“頻率特性與頻譜”(3.1節(jié)),學(xué)生可直觀理解信號(hào)時(shí)域表達(dá)和頻譜之間的對(duì)應(yīng)關(guān)系。

圖3 頻率特性與頻譜

為什么信號(hào)能分解成傅里葉級(jí)數(shù),傅里葉系數(shù)怎么求,孟老師和尹老師也對(duì)此展開(kāi)講述(3.2節(jié))。先引入信號(hào)正交函數(shù)分解和完備正交函數(shù)集的概念,以矢量正交分解類(lèi)比,兩個(gè)矢量正交時(shí),誤差分量最小,因此,信號(hào)分解時(shí)采用正交分解。再根據(jù)方均誤差最小原則來(lái)求最佳系數(shù)c12。在正交分解的概念講清楚后,再引入三角函數(shù)形式的傅里葉級(jí)數(shù)的系數(shù)的求法。三角函數(shù)是個(gè)完備正交函數(shù)集,滿足Dirichlet條件的信號(hào)可基于三角函數(shù)集分解,其系數(shù)是按求最佳系數(shù)c12的方法得到。這樣,學(xué)生就理解了傅里葉系數(shù)的由來(lái)。

(2)

信號(hào)展開(kāi)成傅里葉級(jí)數(shù)時(shí)的吉布斯現(xiàn)象,孟老師指出其與Dirichlet條件并不矛盾(3.3.7節(jié))。極限情況下的相等,公式(3)左右兩邊的函數(shù)誤差是方均誤差。函數(shù)的傅里葉級(jí)數(shù)不是逐點(diǎn)收斂,個(gè)別點(diǎn)出現(xiàn)過(guò)沖,但跳變點(diǎn)寬度為0,所以仍是方均收斂。

(3)

周期信號(hào)的傅里葉變換是教學(xué)難點(diǎn)。尹老師的計(jì)算推導(dǎo)清晰易記,單位沖激序列和它的傅里葉變換被形象地稱(chēng)為“兩把梳子”,非常方便學(xué)生們記憶;f(t)和δ(t-T)的卷積式(4)被稱(chēng)為“復(fù)制”,引申到3.10節(jié)抽樣信號(hào)的傅里葉變換中,信號(hào)的頻譜和沖激序列的頻譜相卷積式(5),被形象地稱(chēng)為“復(fù)制”多份頻譜。

f(t)*δ(t-nT)=f(t-nT)

(4)

(5)

陳老師從物理概念的角度更深層次地解釋了周期信號(hào)的傅里葉變換。周期信號(hào)的頻譜和頻譜密度函數(shù)本質(zhì)上一致,在某些情況下,要同時(shí)處理周期信號(hào)和非周期信號(hào),便于分析和處理(4.6節(jié))。抽樣定理的本質(zhì)是信號(hào)時(shí)域的離散化導(dǎo)致其頻域的周期化(4.17節(jié))。時(shí)域周期化對(duì)應(yīng)頻域離散化。信號(hào)在時(shí)域中的相移,對(duì)應(yīng)頻譜函數(shù)在頻域中的頻域(4.7節(jié))。學(xué)生理解這些概念,再去記公式,事半功倍。

該章的學(xué)習(xí)中,信號(hào)的變換是把一個(gè)信號(hào)表示成另一類(lèi)信號(hào),它前面的加權(quán)系數(shù)稱(chēng)之為相應(yīng)的變換。周期信號(hào)和非周期信號(hào)傅里葉變換的聯(lián)系都是將時(shí)域信號(hào)表現(xiàn)成虛指數(shù)信號(hào)。

第四、五章的重點(diǎn)是復(fù)頻域的拉氏變換、拉氏變換法分析電路、H(s)求響應(yīng)和模擬濾波器,難點(diǎn)是系統(tǒng)的頻率響應(yīng)和系統(tǒng)的物理可實(shí)現(xiàn)性。該部分線上教學(xué)分配4課時(shí),線下分配12課時(shí)。

由于時(shí)域描述和頻域描述有一定的局限性,所以引入復(fù)頻域分析。復(fù)頻域的信號(hào)表示和分解的物理概念與時(shí)域和頻域是一脈相承的,復(fù)頻域的信號(hào)運(yùn)算主要是拉氏變換和反變換的運(yùn)算、系統(tǒng)函數(shù)求響應(yīng)。

教材4.5節(jié)用拉氏變換方法求解電路響應(yīng)時(shí),需特別注意的是,畫(huà)0-等效電路,用來(lái)求解儲(chǔ)能元件起始值;但是,列s域方程時(shí),畫(huà)t>0的s域等效模型,比如,電源0-時(shí)刻是-E,0+時(shí)刻是+E,那么電源的單邊拉氏變換是E/s。

教材4.7節(jié)和4.8節(jié)系統(tǒng)函數(shù)零極點(diǎn)分布決定時(shí)域和頻響特性引用宮老師慕課,其利用矢量圖演示了零極點(diǎn)分布,分析了低通、高通、帶通濾波器的頻響特性。孟老師指出對(duì)于很難求根的式子,系統(tǒng)的穩(wěn)定性用羅斯-霍維斯序列判斷(6.6節(jié))。陳老師給出了具有多級(jí)反饋的系統(tǒng)函數(shù)表達(dá)式,指出級(jí)聯(lián)型或并聯(lián)型框圖比直接型更容易看出系統(tǒng)故障,復(fù)雜系統(tǒng)變?yōu)樽酉到y(tǒng),便于分析和實(shí)現(xiàn)。(6.9節(jié))。

系統(tǒng)的頻率響應(yīng)反映系統(tǒng)的物理量只與系統(tǒng)有關(guān),輸入是ejωt,輸出也是它本身,改變的只是幅度加權(quán)或者相位。陳老師以“周期為4的矩形波通過(guò)不同RC參數(shù)系統(tǒng)的頻率響應(yīng)和時(shí)域波形”的簡(jiǎn)單示例,直觀地將信號(hào)經(jīng)過(guò)系統(tǒng)的時(shí)域和頻域的表現(xiàn)統(tǒng)一聯(lián)系起來(lái)(5.3節(jié))。濾波器濾除的是頻率分量,所以頻域上描述濾波器,濾波器的概念非常清晰(5.4節(jié))。不要以為相位失真是無(wú)關(guān)緊要的,相位響應(yīng)的斜率反映了系統(tǒng)的延時(shí)特性(5.5節(jié))。這些概念理清,就很容易理解連續(xù)時(shí)間信號(hào)的幅度調(diào)制與解調(diào)的一些示例(5.9節(jié))。

該章學(xué)習(xí)中,復(fù)頻域的信號(hào)表示和信號(hào)分解,與時(shí)域和頻域分析本質(zhì)相同,也是將信號(hào)表示成另一類(lèi)信號(hào)。拉氏變換將信號(hào)表現(xiàn)成復(fù)指數(shù)信號(hào)。

總之,“信號(hào)與系統(tǒng)”這門(mén)課程主要學(xué)習(xí)信號(hào)表示、系統(tǒng)描述和分析方法,而不是特別側(cè)重于計(jì)算。因?yàn)楣こ讨?很多問(wèn)題沒(méi)有數(shù)學(xué)表達(dá)式,更主要的是通過(guò)基本信號(hào)來(lái)建立時(shí)域和頻域?qū)?yīng)關(guān)系和感性認(rèn)識(shí),進(jìn)而解決實(shí)際問(wèn)題。

2.3 協(xié)同教學(xué)

關(guān)于第三個(gè)問(wèn)題,改進(jìn)措施是采用翻轉(zhuǎn)課堂的形式。傳統(tǒng)教學(xué)中,通常以任務(wù)點(diǎn)的形式在學(xué)習(xí)視頻中設(shè)置問(wèn)題,要求學(xué)生作答。而本課程通過(guò)反向操作,將不帶問(wèn)題的慕課視頻發(fā)給學(xué)生,再讓每位學(xué)生看完視頻后,在線上討論區(qū)發(fā)表一句話,可以是問(wèn)題,也可以是對(duì)視頻內(nèi)容的理解。通過(guò)這個(gè)方式,主講教師能全面掌握學(xué)情。之后,教師再將學(xué)生提出的問(wèn)題匯總和分類(lèi),線下教學(xué)時(shí)統(tǒng)一解答。

另外,由于不同專(zhuān)業(yè)的學(xué)生,信號(hào)與系統(tǒng)的后續(xù)課程不同,那么,可以有針對(duì)性地根據(jù)專(zhuān)業(yè)設(shè)置結(jié)合后續(xù)課程進(jìn)行授課。比如,在對(duì)微電子專(zhuān)業(yè)進(jìn)行4.6節(jié)系統(tǒng)函數(shù)、4.7節(jié)和4.8節(jié)系統(tǒng)函數(shù)零、極點(diǎn)分布授課時(shí),可以結(jié)合后續(xù)課程“集成電路原理”的放大器頻率響應(yīng)和負(fù)反饋進(jìn)行講解。

3 結(jié)語(yǔ)

“信號(hào)與系統(tǒng)”課程以學(xué)生為中心,重視概念理解,參考國(guó)內(nèi)慕課精品課程,針對(duì)某些教學(xué)難點(diǎn),探討了對(duì)于數(shù)理基礎(chǔ)較弱學(xué)生的教學(xué)方法。該課程獲得2020年“省級(jí)線上優(yōu)秀課堂”稱(chēng)號(hào)。在后續(xù)課程改革推進(jìn)中,將探討如何與專(zhuān)業(yè)結(jié)合更緊密,以提高學(xué)生的工程應(yīng)用能力。