基于Mathematica的物理教學(xué)資源開發(fā)
--以波動現(xiàn)象的動態(tài)模擬為例

張斯博,劉思雨,宋思盈,洪許海,周興玉

(遼寧師范大學(xué) 物理與電子技術(shù)學(xué)院,遼寧 大連 116029)

中共中央、國務(wù)院印發(fā)《中國教育現(xiàn)代化2035》指出:“信息技術(shù)促進(jìn)了教育的發(fā)展,計(jì)算機(jī)輔助教學(xué)是信息化時代的必然產(chǎn)物”。新時代的物理教師在掌握傳統(tǒng)教學(xué)技能的基礎(chǔ)上,也要掌握現(xiàn)代化的計(jì)算機(jī)工具,大力開發(fā)數(shù)字資源,推進(jìn)物理教學(xué)改革與創(chuàng)新,使學(xué)生切實(shí)受益。當(dāng)代大學(xué)生成長于信息時代,運(yùn)用計(jì)算機(jī)輔助學(xué)習(xí)已是一項(xiàng)基本技能。在計(jì)算物理日益重要的今天,物理學(xué)專業(yè)的大學(xué)生更要充分利用先進(jìn)的計(jì)算機(jī)軟件促進(jìn)自己的學(xué)習(xí),為自己將來的職業(yè)發(fā)展打下基礎(chǔ)[1,2]。

Mathematica[3]作為一款功能強(qiáng)大、用法簡單、語法優(yōu)雅的數(shù)學(xué)軟件,在理工科教學(xué)方面,特別是物理教學(xué)方面,有著廣闊的應(yīng)用空間[4-8]。在物理學(xué)中,有些現(xiàn)象比較抽象,僅依靠傳統(tǒng)教材中的文字、公式和圖片,學(xué)習(xí)者難以在腦海中構(gòu)建出具體的圖像,而利用Mathematica軟件強(qiáng)大的圖形繪制功能和便捷的動畫合成功能將抽象枯燥的公式轉(zhuǎn)化為形象直觀的動畫,則可以很好地解決這一問題。而且,這種方法不受實(shí)驗(yàn)儀器及其精度的限制,可以有效地節(jié)約成本。

波動現(xiàn)象是一類重要的物理現(xiàn)象,是大學(xué)物理教學(xué)內(nèi)容的重要組成部分[9]。本文以經(jīng)典物理學(xué)中幾種典型波動現(xiàn)象的動態(tài)模擬為例,來介紹基于Mathematica的物理教學(xué)資源開發(fā)。具體而言,本研究使用Mathematica軟件對聲波的行波和駐波,簡諧水波在多視角下的三維圖像,通過單縫和雙縫的光波在傳播空間中的強(qiáng)度分布圖像,以及平面電磁波的傳播做動態(tài)模擬,以期得到直觀形象的動態(tài)效果圖,幫助學(xué)習(xí)者更好地認(rèn)識波動現(xiàn)象和理解波動規(guī)律。

在精確模擬這些波動現(xiàn)象的過程中,本研究充分利用了Mathematica強(qiáng)大的內(nèi)置函數(shù),特別是以下五種繪圖函數(shù):ListPlot(繪制點(diǎn)集)、Plot3D(繪制三維圖形)、DensityPlot(繪制密度圖)、Graphics3D(繪制三維形狀)、ParametircPlot3D(繪制三維參數(shù)圖)。創(chuàng)作相應(yīng)的動態(tài)效果圖時,本文采用的一般步驟如下:首先,使用ListPlot等函數(shù)繪制某個波動現(xiàn)象的靜態(tài)圖;然后,通過Table(表格)函數(shù)控制變量生成一系列漸進(jìn)變化的靜態(tài)圖;最后,使用Export(導(dǎo)出)函數(shù)將該系列靜態(tài)圖按順序合成并輸出為一個動態(tài)圖。

1 聲波的行波和駐波

根據(jù)傳播方向與振動方向的關(guān)系,波可以分為橫波和縱波。相比于橫波,縱波的物理圖像更難想象。聲波是一類典型的縱波。在聲速測量實(shí)驗(yàn)[10]中,行波法(相位比較法)和駐波法(振幅極值法)被用來測量超聲波的速度。在教學(xué)過程中可以發(fā)現(xiàn),對于聲波之行波和駐波的傳播形態(tài),很多同學(xué)的認(rèn)識比較模糊。為了幫助同學(xué)們建立清晰的物理圖像,本節(jié)使用Mathematica軟件對聲波的行波和駐波做動態(tài)模擬,其中用到的行波和駐波的波動公式分別為

x(x0,t)=x0+Acos(ωt±kx0+φ) ,

(1)

x(x0,t)=x0+Acos(ωt±kx0+φ1)+Acos(ωt?kx0+φ2) ,

(2)

其中,x0為質(zhì)點(diǎn)的平衡位置,x為質(zhì)點(diǎn)在t時刻所處的位置,A代表振幅,ω代表圓頻率(ω=2πf,f為頻率),k代表波數(shù)(k=2π/λ,λ為波長),φ、φ1、φ2代表相位。在此值得說明的是,本文所研究的波動現(xiàn)象并不局限于某一特定的時空尺度,相關(guān)物理量的絕對數(shù)值及具體單位不是影響仿真效果的核心要素,為表述方便,對于這些物理量本文采用相對數(shù)值的表達(dá)方式并省略了它們的單位。

基于波動公式(1),在Mathematica中輸入并執(zhí)行如下語句

A=1;ω=1;k=1;φ=0;φ1=0;φ2=0;m=270;n=20;

Table[{x0[i]+A*Cos[ω*t-k*x0[i]+φ],y0[[i]][[j]]},{i,m},{j,n}],1],

PlotRange→{{-1,6π+1},{-1.25,1.25}},

PlotMarkers→{Automatic,Tiny},PlotStyle→Black,Axes→False];

images=Table[image[t],{t,0,2π,2π/180}];

Export[“聲波之行波.gif”,images,“DisplayDurations”→0.05,

ImageSize→{720,360},“Animation Repetitions”→6]

程序運(yùn)行界面如圖1所示,Mahtematica軟件會自動顯示代碼中關(guān)鍵詞的漢語翻譯。輸入代碼后,按Shift+Enter鍵或直接按小鍵盤Enter鍵執(zhí)行該程序,即可在當(dāng)前工作目錄(Windows系統(tǒng)中默認(rèn)為“文檔”文件夾)下生成gif格式的動態(tài)效果圖文件:聲波之行波.gif,如支持信息中動態(tài)圖S1(a)所示,這里使用點(diǎn)集運(yùn)動來表現(xiàn)聲波之行波的運(yùn)動形態(tài),其中的“點(diǎn)”代表組成介質(zhì)的微粒。

圖1 程序運(yùn)行界面

這段程序分為三個步驟。第一步的image函數(shù)定義分為三層。其中,最內(nèi)一層的Table函數(shù),用來產(chǎn)生圖中點(diǎn)的集合,該函數(shù)包含以下三個參數(shù):(1){x0[i]+A*Cos[ω*t-k*x0[i]+φ],y0[[i]][[j]]}是點(diǎn)的坐標(biāo)表達(dá)式,其中x0[i]和y0[[i]][[j]]是第(i,j)個點(diǎn)的平衡位置的橫縱坐標(biāo),A*Cos[ω*t-k*x0[i]+φ]是該點(diǎn)相對于平衡位置的振動位移;(2-3){i,m},{j,n}指定點(diǎn)的索引i和j的取值范圍分別為1到m和1到n。中間一層是Flatten(展平)函數(shù),用來將其第一個參數(shù)即最內(nèi)一層Table函數(shù)產(chǎn)生的二維列表展平為一維列表,它的第二個參數(shù)指定展平層數(shù)為1。最外一層是ListPlot函數(shù),用來生成聲波之行波的一個靜態(tài)圖,該函數(shù)包含四個參數(shù):(1)PlotRange→{{-1,6π+1},{-1.25,1.25}}指定橫縱坐標(biāo)軸的顯示范圍分別是[-1,6π+1]和[-1.25,1.25];(2)PlotMarkers→{Automatic,Tiny}使用默認(rèn)的、微小的形狀來繪制點(diǎn)的標(biāo)記;(3)PlotStyle→Black指定繪圖顏色為黑色;(4)Axes→False用來隱藏圖中的坐標(biāo)軸。

第二步使用Table函數(shù)產(chǎn)生一系列循序漸進(jìn)的靜態(tài)圖(images)。這里的Table函數(shù)有兩個參數(shù):(1)image[t];(2){t,0,2π,2π/180}用來指定目標(biāo)函數(shù)中自變量t的取值列表,其起始值為0,終止值為2π,步長為2π/180。第三步運(yùn)用Export函數(shù)將系列靜態(tài)圖images按順序合成并輸出為一個動態(tài)圖,它有五個參數(shù):(1)“聲波之行波.gif”是輸出文件的名字;(2)images;(3)“DisplayDurations”→0.05指定動態(tài)圖中每幀圖像的顯示時間為0.05秒;(4)ImageSize→{720,360}指定動態(tài)圖中每幀圖像的橫軸像素?cái)?shù)和縱軸像素?cái)?shù)為720和360;(5)“AnimationRepetitions”→6指定動畫重復(fù)播放次數(shù)為6。

根據(jù)波動公式(2),將上段程序代碼中的A*Cos[ω*t-k*x0[i]+φ]替換為A*Cos[ω*t+k*x0[i]+φ1]+A*Cos[ω*t-k*x0[i]+φ2],并令A(yù)=0.5,即可得到聲波的駐波的動態(tài)效果圖,如支持信息中動態(tài)圖S1(b)所示。因文章中不能展示動態(tài)圖,本節(jié)僅在圖2中展示聲波的行波在一個周期內(nèi)四種狀態(tài)的靜態(tài)圖。從支持信息中動態(tài)圖S1(a)和圖2可以看出,行波是在向右“行走”的,而根據(jù)支持信息中動態(tài)圖S1(b),駐波并不“行走”,只是在波腹和波節(jié)之間往復(fù)運(yùn)動。

圖2 聲波的行波

2 簡諧水波

水波是一種復(fù)雜類型的機(jī)械波,在其強(qiáng)度較小、波長較短時,可以近似看成沿平面?zhèn)鞑サ暮喼C波。生活中觀察到的水波,受限于觀測條件和視角,無法看到水波完整的運(yùn)動狀態(tài)。為此,本研究通過Mathematica繪制出多種視角的簡諧水波三維動態(tài)圖,以供學(xué)習(xí)者形象地認(rèn)識和理解水波的運(yùn)動。簡諧水波的波動公式為

(3)

基于波動公式(3),在Mathematica中輸入并執(zhí)行如下語句

A=1;ω=1;k=1;φ=0;

RegionFunction→Function[{x,y},x2+y2<(4π)2],

PlotStyle→Hue[0.58,0.56,0.73],

Boxed→False,Axes→None,Mesh→None];

images=Table[image[t],{t,0,2π,2π/180}];

Export[“水波(45度俯視).gif”,images,“DisplayDurations”→0.05,

ImageSize→{720,360},“Animation Repetitions”→6]

因文章中不能展示動態(tài)圖,本節(jié)僅在圖3中展示三張t=2π時刻的靜態(tài)圖。從支持信息中動態(tài)圖S2(a)～(b)以及圖3(a)和(b)可以看出,水波是一圈一圈向外傳播的,同時從支持信息中動態(tài)圖S2(c)以及圖3(c)可以明顯看到余弦函數(shù)圖像,這是由簡諧水波滿足的波動公式?jīng)Q定的。

圖3 簡諧水波在多視角下的三維圖像

3 通過單縫和雙縫的光波

無論是在教科書上,還是在實(shí)驗(yàn)中,學(xué)生們觀察到的只是通過單縫或雙縫的光波呈現(xiàn)在光屏上的條紋。為了更完整地呈現(xiàn)光波形態(tài),作為示例,本節(jié)通過Mathematica中的DensityPlot函數(shù)繪制了通過無限窄單縫和雙縫的光波在傳播空間中的強(qiáng)度分布圖像。這里所謂的“無限窄”是當(dāng)單縫和雙縫寬度在理論上足夠窄以致光的衍射現(xiàn)象可以忽略時的一種理想近似。在Mathematica中,DensityPlot函數(shù)可用顏色的明暗表達(dá)強(qiáng)度的大小;而在光學(xué)現(xiàn)象中,強(qiáng)度的大小又表現(xiàn)為顏色的明暗。因此,DensityPlot函數(shù)是實(shí)施該部分動態(tài)模擬的理想工具。作圖時使用的通過單縫和雙縫的光波的強(qiáng)度公式分別為

(4)

(5)

這里,單縫與xy平面垂直相交于(0,0)點(diǎn),雙縫與xy平面分別垂直相交于(x1,y1)點(diǎn)和(x2,y2)點(diǎn)。

基于光強(qiáng)公式(4),在Mathematica中輸入并執(zhí)行如下語句

A=1;B=1;x1=0;x2=0;y1=-5π;y2=5π;

ω=1;k=1;φ=0;φ1=0;φ2=0;λ=589.3;

ColorFunction→(Hue[0.7Cos[(λ-400)/170]2,1,#]&),

Frame→None,PlotPoints→100];

images=Table[image[t],{t,0,2π,2π/10}];

Export[“通過單縫的光波.gif”,images,“DisplayDurations”→0.025,

ImageSize→{720,720},“Animation Repetitions”→6]

即可得到通過單縫的光波在傳播空間中的強(qiáng)度分布圖像的動態(tài)效果圖,如支持信息中動態(tài)圖S3(a)所示。在此image函數(shù)的定義中,DensityPlot函數(shù)包含六個參數(shù),上文未介紹過的參數(shù)如下:(1)ColorFunction→(Hue[0.7Cos[(λ-400)/ 170]2,1,#]&)通過Hue函數(shù)配置ColorFunction參數(shù)實(shí)現(xiàn)對光波顏色的精確模擬,程序開頭已指定波長λ=589.3,表示將光波設(shè)置為鈉燈發(fā)出的黃光,更改波長λ的數(shù)值可以得到對不同波長光波的精確仿真;(2)Frame→None用來隱藏默認(rèn)的圖像邊框。

(a) 通過單縫的光波

4 平面電磁波

平面電磁波是麥克斯韋方程組的基礎(chǔ)特解,是交變電磁場的基本形式,清楚地知曉平面電磁波的傳播圖像對于理解電磁波理論具有極其重要的意義。具體而言,平面電磁波是相互垂直且同頻同相振蕩的電場與磁場在空間中的傳播,其電場和磁場分量可以分別表達(dá)為

E(z,t)=E0cos(ωt±kz+φ) ,

(6)

B(z,t)=B0cos(ωt±kz+φ) ,

(7)

關(guān)于平面電磁波的圖像,我們通?？吹降亩际庆o態(tài)圖片,為了讓學(xué)習(xí)者看到更加生動的圖像,本研究使用Mathematica中的三維作圖函數(shù)Graphics3D和ParametricPlot3D繪制了平面電磁波傳播的動態(tài)效果圖。

基于公式(6)和(7),在Mathematica中輸入并執(zhí)行如下語句

E0=π;B0=π;ω=1;k=1;φ=0;n=2;

Emin=-1.25E0;Emax=1.25E0;Bmin=-1.375B0;Bmax=1.375B0;

zmin=-0.5π;zmax=4.25π;

Text[Style[″E″,16,Black,Bold],{0.95*zmax,0,0.2*zmin}],

Text[Style[″B″,16,Black,Bold],{0.1*Emax,0,0.2*zmin}],

Text[Style[″z″,16,Black,Bold],{0,0.2*Bmax,zmax}],

Green,Thick,Arrowheads[0.02],Arrow[{{0,Bmin,0},{0,Bmax,0}}],

Green,Thick,Arrowheads[0.02],Arrow[{{0,0,zmin},{0,0,zmax}}],

Green,Thick,Arrowheads[0.02],Arrow[{{Emin,0,0},{Emax,0,0}}],

Table[{Thin,Lighter[Red,0.2],Line[{{0,0,z},

{E0*Cos[ω*t-k*z+φ],0,z}}]},{z,0,n*2π,n*2π/100}],

Table[{Thin,Lighter[Blue,0.2],Line[{{0,0,z},

{0,B0*Cos[ω*t-k*z+φ],z}}]},{z,0,n*2π,n*2π/100}]},

PlotRange→{{Emin,Emax},{Bmin,Bmax},{zmin,zmax}},

PlotLabel→Row[{Style[“-電場分量”,20,Red,Bold],“ ”,

Style[“-磁場分量”,20,Blue,Bold]}],ViewVertical→{1,0,0},ViewPoint→{6,2,2},

Boxed→Flase,Axes→True,Ticks→None,

AxesOrigin→{0,0,0},AxesStyle→Black],

ParametricPlot3D[

{E0*Cos[ω*t-k*z+φ],0,y},{z,0,n*2π},PlotStyle→{Red,Thick}],

ParametricPlot3D[

{0,B0*Cos[ω*t-k*z+φ],z},{z,0,n*2π},PlotStyle→{Blue,Thick}]];

images=Table[image[t],{t,2π/100,2π,2π/100}];

Export[“平面電磁波.gif”,images,“DisplayDuartions”→0.05,

ImageSize→{720,540},“Animation Repetitions”→6]

即可得到平面電磁波傳播的三維動態(tài)效果圖,如支持信息動態(tài)圖S4所示。在此image函數(shù)的定義中,Show(顯示)函數(shù)用來同時顯示多個由不同繪圖函數(shù)生成的圖像,在這段代碼中它有三個參數(shù):(1)Graphics3D函數(shù)整體,用來繪制坐標(biāo)軸相關(guān)組件和電磁波電場與磁場分量的振動矢量(省略矢量箭頭);(2-3)兩個ParametricPlot3D函數(shù)整體,分別用來繪制電磁波的電場與磁場分量的波動曲線。其中,Graphics3D函數(shù)中的核心元素是運(yùn)用Table函數(shù)、Line函數(shù)以及E0*Cos[ω*t-k*z+φ]和B0*Cos[ω*t-k*z+φ]目標(biāo)函數(shù)繪制電磁波的電場與磁場分量的振動矢量。兩個ParametricPlot3D函數(shù)各自包含三個參數(shù):(1){E0*Cos[ω*t-k*z+φ],0,y}和{0,B0*Cos[ω*t-k*z+φ],z}分別用來指定電場和磁場波動曲線上點(diǎn)的坐標(biāo);(2){z,0,n*2π}指定圖像中電磁波的傳播范圍;(3)PlotStyle→{Red,Thick}和PlotStyle→{Blue,Thick}分別指定用藍(lán)色和紅色的粗線來繪制電場和磁場波動曲線。

從支持信息中動態(tài)圖S4可以看到平面電磁波傳播的清晰圖像:電場分量和磁場分量同頻同相、相互垂直,且沿著與它們都垂直的方向傳播。因文章中不能展示動態(tài)圖,本文僅在圖5中展示其在t=2π時刻的靜態(tài)圖。

圖5 平面電磁波的傳播

5 結(jié) 論

本文基于Mathematica這一功能強(qiáng)大、用法簡單、語法優(yōu)雅的數(shù)學(xué)軟件,動態(tài)模擬了物理學(xué)中多種典型的波動現(xiàn)象,其中包括:(1)聲波的行波和駐波;(2)簡諧水波在多視角下的三維圖像;(3)通過單縫和雙縫的光波在傳播空間中的強(qiáng)度分布圖像;(4)平面電磁波的傳播。經(jīng)過不斷地學(xué)習(xí)、探索與實(shí)踐,基于相關(guān)波動公式,本研究繪制出了以上各種波動現(xiàn)象的動態(tài)效果圖。這些動畫準(zhǔn)確、直觀、形象,非常有助于學(xué)習(xí)者建立清晰的物理圖像,增加對上述波動現(xiàn)象的認(rèn)識,增進(jìn)對相應(yīng)波動規(guī)律的理解,為物理課程增添了豐富多彩的教學(xué)資源。

本文以經(jīng)典物理學(xué)中波動現(xiàn)象的動態(tài)模擬為例介紹了基于Mathematica的物理教學(xué)資源開發(fā),涉及的波動公式比較簡潔,相應(yīng)的物理圖像也較簡單。然而,波動現(xiàn)象不僅是經(jīng)典物理學(xué)的研究對象,考慮到波粒二象性,波動力學(xué)也是量子力學(xué)的主要表現(xiàn)形式之一。相比于經(jīng)典物理學(xué)中的波動公式,量子力學(xué)中的波函數(shù)更加復(fù)雜,相關(guān)的物理圖像更難想象。目前已有不少文獻(xiàn)對量子力學(xué)中的波函數(shù)進(jìn)行可視化研究[11-15],但這些研究主要集中在靜態(tài)可視化方面,鑒于波函數(shù)會隨時間演化,對其進(jìn)行動態(tài)可視化研究,也具有重要意義,可以作為將來進(jìn)行物理教學(xué)資源開發(fā)的一個拓展方向。

此外,本文充分展示了Mathematica軟件強(qiáng)大的圖形繪制功能和便捷的動畫合成功能,反映了其在物理教學(xué)資源開發(fā)方面的廣闊應(yīng)用前景。鑒于Mathematica軟件易于學(xué)習(xí)和使用,教師可以將相關(guān)知識、技能、方法和經(jīng)驗(yàn)講授給感興趣的學(xué)生,使其能夠面向自身學(xué)習(xí)過程中的疑難和困惑,和教師一起進(jìn)行相關(guān)的物理教學(xué)資源開發(fā)。在此師生互動的教學(xué)研究實(shí)踐過程中,學(xué)生能夠深化對知識的理解,增強(qiáng)解決問題的能力,體會思考和探索的樂趣,為其成長為創(chuàng)新型人才奠定基礎(chǔ)。

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