正(余)弦交變電流峰值與有效值關(guān)系教學(xué)探討*

梁沛林

(深圳市西鄉(xiāng)中學(xué) 廣東 深圳 518102)

峰值和有效值是描述交變電流的重要物理量.《普通高中物理課程標(biāo)準(zhǔn)(2020年版)》中對(duì)交流電的教學(xué)內(nèi)容描述為:“通過實(shí)驗(yàn),認(rèn)識(shí)交變電流.”“用示波器或其他設(shè)備觀察交變電流的波形,并測(cè)算其峰值和有效值”[1],其中“通過實(shí)驗(yàn)”是新課標(biāo)對(duì)物理教學(xué)的要求,也是提供的教學(xué)方案.“觀察交變電流的波形”一般采用示波器或者DIS(數(shù)字化信息系統(tǒng))傳感器,而“測(cè)算峰值和有效值”則可以結(jié)合實(shí)驗(yàn)和推導(dǎo)的方法得到交變電流的峰值和有效值的關(guān)系.

正因?yàn)榘ㄈ私贪娴冉滩闹袥]有明確提出教學(xué)方案,不少教師會(huì)以“根據(jù)研究表明”“通過數(shù)值推導(dǎo)”等方式一筆帶過.顯然這種模糊化的處理方式忽略了物理知識(shí)的形成過程,不利于學(xué)生形成嚴(yán)謹(jǐn)?shù)目茖W(xué)態(tài)度,也不利于科學(xué)探究素養(yǎng)的培養(yǎng).

綜合6個(gè)版本新教材的內(nèi)容及積累的教學(xué)經(jīng)驗(yàn),下面以“積分法”“割補(bǔ)法”和“等效法”3種方式對(duì)正(余)弦交變電流峰值和有效值的關(guān)系進(jìn)行理論推導(dǎo).并探討“加熱對(duì)比實(shí)驗(yàn)”“交流電表測(cè)量實(shí)驗(yàn)”和“光照度等效實(shí)驗(yàn)”這3種實(shí)驗(yàn)方案的優(yōu)缺點(diǎn).

1 理論推導(dǎo)

1.1 積分法

設(shè)某表達(dá)式為I=Imsin (ωt)的正(余)弦交變電流通過阻值為R的純電阻,其熱功率隨時(shí)間變化的函數(shù)式為

(1)

交變電流在一個(gè)周期內(nèi)的發(fā)熱量可以通過定積分計(jì)算

(2)

與交流電熱效應(yīng)相等的直流電一個(gè)周期內(nèi)發(fā)熱量的表達(dá)式為

(3)

根據(jù)熱效應(yīng)相等建立方程可以得到

(4)

該方法是最直接的推導(dǎo)方式,同時(shí)也是通用方法,適用于所有交變電流.但由于該學(xué)段學(xué)生還沒有學(xué)習(xí)定積分,故對(duì)高中教學(xué)并不適用.

1.2 割補(bǔ)法

割補(bǔ)法則通過圖像的割補(bǔ)形象地呈現(xiàn)功率的大小,幫助學(xué)生理解其中的發(fā)熱量關(guān)系.通過推導(dǎo)得到正(余)弦交變電流功率的表達(dá)式

(5)

根據(jù)函數(shù)關(guān)系繪制出其熱功率隨時(shí)間變化的圖像如圖1所示.

圖1 正(余)弦交變電流熱功率隨時(shí)間變化的圖像

圖2 割補(bǔ)法求正(余)弦交流電功率

割補(bǔ)法把抽象的函數(shù)形象化,有利于學(xué)生理解.然而復(fù)合三角函數(shù)圖像的繪制對(duì)數(shù)學(xué)要求較高,只適用于數(shù)學(xué)基礎(chǔ)較好的學(xué)生.

1.3 等效法

粵教版新教材給出的推導(dǎo)方案則是根據(jù)正弦電流與余弦電流等效的原理展開證明.設(shè)交變電流通過定值電阻R,峰值為Im的正弦交變電流一個(gè)周期內(nèi)的發(fā)熱量跟峰值相同的余弦交變電流一個(gè)周期內(nèi)的發(fā)熱量相同.如果同時(shí)讓正弦和余弦交變電流通過電阻R,則一個(gè)周期內(nèi)的發(fā)熱量為

(6)

若以兩個(gè)直流電代替交流電,產(chǎn)生同樣的熱量,則該直流電流的電流值為該正(余)弦交流電電流的有效值,即

(7)

解得

(4)

3種方法中積分法的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)是定積分,割補(bǔ)法使用了二倍角公式以及三角函數(shù)圖像,等效法只需要使用同角的三角函數(shù)關(guān)系.相對(duì)而言等效法對(duì)數(shù)學(xué)要求最低,也是最簡(jiǎn)潔的推導(dǎo)方法.積分法超出學(xué)生的能力水平,而割補(bǔ)法和等效法均屬于特殊技巧,不是主干知識(shí)也不具有普遍性,故3種方案均沒有出現(xiàn)在人教版教材中.

2 實(shí)驗(yàn)探究

2.1 加熱對(duì)比實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證正(余)弦交變電流峰值和有效值的關(guān)系

圖3 加熱實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證正(余)弦交變電流峰值與有效值的關(guān)系

由于電熱絲加熱水的過程中,同一個(gè)容器中的水溫并不均勻,靠近電熱絲的部分溫度上升較快,遠(yuǎn)離電熱絲的部分升溫較慢.加上對(duì)流現(xiàn)象又增添了水溫測(cè)量結(jié)果的不確定性,容器越大,實(shí)驗(yàn)誤差越大.另一方面因水的加熱過程緩慢,電流值的改變反映在水溫變化需要經(jīng)歷較長(zhǎng)時(shí)間,如果采用溫度計(jì)每隔1 min人工讀取一次數(shù)據(jù),實(shí)驗(yàn)時(shí)間較長(zhǎng),工作量大.加上溫度無法實(shí)時(shí)調(diào)控,故只能作為檢驗(yàn)實(shí)驗(yàn),無法進(jìn)行探究.

如果使用溫度傳感器進(jìn)行長(zhǎng)時(shí)間的實(shí)時(shí)記錄并繪制出溫度隨時(shí)間變化的圖像,能夠較好地驗(yàn)證正(余)弦交變電流峰值與有效值的關(guān)系.

2.2 交流電表探究正(余)弦交變電流峰值與有效值的關(guān)系

將滑動(dòng)變阻器接在正(余)弦交變電源上,使用示波器觀測(cè)交變電流峰值,并用交流電壓表測(cè)量交變電流的電壓有效值,其實(shí)驗(yàn)電路如圖4所示.改變滑動(dòng)變阻器兩端電壓,測(cè)量多組峰值Um與有效值U,尋找Um與U的關(guān)系.

圖4 交流電表探究正(余)弦交變電流峰值與有效值的關(guān)系

該實(shí)驗(yàn)方法是粵教版新教材提供的實(shí)驗(yàn)方案,是目前探究正(余)弦交變電流峰值與有效值關(guān)系最簡(jiǎn)潔、最準(zhǔn)確的探究實(shí)驗(yàn)方案,而且該方案不但適用于正(余)弦交變電流,還可以于探究所有交變電流峰值和有效值的關(guān)系.

然而探究交變電流峰值和有效值關(guān)系實(shí)驗(yàn)的根本任務(wù)是通過觀測(cè)熱效應(yīng)相同的交變電流和直流電,探究交流電的峰值和有效值的關(guān)系.交流電表雖然能夠準(zhǔn)確測(cè)量出交變電流的有效值,但是學(xué)生并不了解交流電表的內(nèi)部結(jié)構(gòu)或原理,更無法從熱效應(yīng)相等的角度探究交變電流峰值和有效值的關(guān)系.在無法直觀地觀察交流電表測(cè)量原理的情況下,使用交流電表直接測(cè)量有效值跳過了熱效應(yīng)相等的實(shí)驗(yàn)原理,失去了探究實(shí)驗(yàn)原有的價(jià)值.

2.3 DIS光傳感器探究正(余)弦交變電流峰值與有效值的關(guān)系

“加熱對(duì)比實(shí)驗(yàn)”能夠很好地抓住交流電和直流電熱效應(yīng)相等展開實(shí)驗(yàn),實(shí)驗(yàn)過程直觀但存在不能實(shí)時(shí)調(diào)整電流大小,只能做驗(yàn)證實(shí)驗(yàn),不能做探究實(shí)驗(yàn)的問題.如果改變實(shí)驗(yàn)思路,根據(jù)光照度跟電阻絲發(fā)熱量正相關(guān)的特點(diǎn),可以把測(cè)量熱信號(hào)轉(zhuǎn)變?yōu)闇y(cè)量光信號(hào).由于電阻絲的比熱很小,當(dāng)電流改變時(shí)溫度隨即變化,光照度也能夠同步變化.對(duì)同一個(gè)小燈泡分別通過直流電和交流電,如果對(duì)同一個(gè)位置產(chǎn)生的光照度相同,那么就可以間接判斷該直流電和交流電的熱效應(yīng)相同,即該直流電電流值等于該交流電電流的有效值.

為了避免環(huán)境光線影響實(shí)驗(yàn)結(jié)果,實(shí)驗(yàn)時(shí)需要使用遮光箱,可以采用遮光性較好的盒子代替.為了盡可能讓光傳感器接收到的光是由小燈泡直接輻射產(chǎn)生的,故盡可能選用內(nèi)部顏色較暗,表面粗糙的遮光盒,減少反射光線.用螺絲把小燈泡和光傳感器固定在遮光箱內(nèi)部,如圖5所示.

圖5 遮光箱內(nèi)部結(jié)構(gòu)

用導(dǎo)線連接小燈泡、學(xué)生電源、滑動(dòng)變阻器,串聯(lián)形成回路.把電壓傳感器并聯(lián)在小燈泡兩端,光照度傳感器、電壓傳感器連接到數(shù)據(jù)采集器,并連接計(jì)算機(jī).實(shí)驗(yàn)電路圖和實(shí)物圖如圖6所示.

圖6 DIS探究交變電流峰值和有效值實(shí)驗(yàn)裝置

由于光輻射并不是連續(xù)穩(wěn)定發(fā)射的,故光傳感器的采用頻率越高,實(shí)驗(yàn)結(jié)果越準(zhǔn)確.本實(shí)驗(yàn)采用DISLab8.0數(shù)據(jù)采集器,光照度采樣設(shè)置為每秒采樣5 000次.閉合遮光箱,對(duì)光照度傳感器進(jìn)行調(diào)零.

先連接交變電源,閉合開關(guān),調(diào)節(jié)滑動(dòng)變阻器,待光照度數(shù)據(jù)穩(wěn)定在某一數(shù)值后讀取相應(yīng)的光照度并根據(jù)電壓傳感器采集的電壓波形圖讀取小燈泡兩端交變電壓的峰值.斷開交流電源連接直流電源,調(diào)節(jié)滑動(dòng)變阻器,待光照度傳感器與記錄的照度相同時(shí),讀取此時(shí)的電壓傳感器的示數(shù).調(diào)節(jié)滑動(dòng)變阻器改變光照度,重復(fù)上述實(shí)驗(yàn)步驟,獲得多組電壓峰值和有效值數(shù)據(jù)如表1所示.

表1 DIS探究正(余)弦交變電流峰值和有效值關(guān)系實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)

由于影響光照度的因素很多,除了溫度以外還跟輻射距離、輻射光波長(zhǎng)等有關(guān).實(shí)驗(yàn)中可以發(fā)現(xiàn)光照度跟燈泡兩端的電壓并不成正比,電壓較小時(shí)燈泡幾乎不發(fā)光(此時(shí)發(fā)出的光以紅外線為主,光照度傳感器無法檢測(cè)),當(dāng)燈泡電壓達(dá)到一定時(shí)光照度迅速增大,此時(shí)發(fā)出的輻射以可見光為主.因此實(shí)驗(yàn)中采用的電壓值并不是從零開始,而是峰值從2.6 V開始.電壓繼續(xù)增大時(shí)由于輻射量跟溫度呈指數(shù)關(guān)系,故測(cè)量的結(jié)果更準(zhǔn)確,但需要考慮燈泡的額定電壓,故實(shí)驗(yàn)采用的電壓峰值不超過5 V.

3 總結(jié)

正(余)弦交變電流峰值與有效值的關(guān)系教學(xué)方案包括理論推導(dǎo)和實(shí)驗(yàn)探究,理論推導(dǎo)和實(shí)驗(yàn)各3種方案,如表2所示.

表2 正(余)弦交變電流峰值和有效值教學(xué)方案評(píng)價(jià)

在表2中,列出了正(余)弦交變電流峰值和有效值教學(xué)方案的評(píng)價(jià).其中理論推導(dǎo)方法中等效法的數(shù)學(xué)要求最低,運(yùn)算也最簡(jiǎn)單,適合高中生認(rèn)知水平,適用于普通學(xué)校教學(xué).3種實(shí)驗(yàn)方案中光照度等效實(shí)驗(yàn)的實(shí)驗(yàn)原理清晰,效果明顯,且精度高,最適合教學(xué)中推廣使用.