彈簧耦合擺在復(fù)雜情況下的小振動(dòng)解

高金澤 王愛(ài)記

(北京師范大學(xué)物理學(xué)系 北京 100875)

自然界中相互作用的振動(dòng)系統(tǒng)非常普遍,如電學(xué)中電容和電感耦合的振蕩回路[1]、固體晶格中相鄰原子的振動(dòng)模式[2]以及光子和聲子耦合產(chǎn)生的電磁耦合場(chǎng)[3]等.相互作用將使振動(dòng)系統(tǒng)呈現(xiàn)豐富的運(yùn)動(dòng)學(xué)行為,因此對(duì)其研究十分必要.在力學(xué)中,彈簧耦合擺也屬于此類(lèi)系統(tǒng).由兩個(gè)單擺懸掛于同一水平線上,兩擺球以彈簧連接,實(shí)現(xiàn)振動(dòng)的相互耦合.

目前關(guān)于彈簧擺的研究文章中,大多針對(duì)兩擺懸掛點(diǎn)間距離恰好等于彈簧原長(zhǎng)的情況進(jìn)行研究[4-6],具有一定局限性.當(dāng)兩單擺懸掛點(diǎn)間的距離略大于或小于彈簧原長(zhǎng)時(shí),平衡狀態(tài)下單擺在豎直方向的角度偏移使動(dòng)能和勢(shì)能的表達(dá)式更為復(fù)雜,呈現(xiàn)的拍現(xiàn)象也受更多因素的影響.本文從兩擺間距離略大于彈簧原長(zhǎng)的情況入手,在小角度近似的情況下從分析力學(xué)的角度進(jìn)行求解.筆者利用MATLAB計(jì)算了非小角度近似下的數(shù)值解,對(duì)其運(yùn)動(dòng)產(chǎn)生的拍進(jìn)行探究,與兩擺間距離等于彈簧原長(zhǎng)的情況對(duì)比.對(duì)于兩擺間距離略小于彈簧原長(zhǎng)也可以用類(lèi)似的求解方法.

1 模型構(gòu)建

圖1為彈簧擺在靜止?fàn)顟B(tài)下的示意圖.輕質(zhì)彈簧勁度系數(shù)均勻?yàn)棣?輕質(zhì)擺線長(zhǎng)l,小球A,B均視為質(zhì)點(diǎn),質(zhì)量均為m,初始偏角均為θ0,兩擺懸掛點(diǎn)間距離為L(zhǎng),彈簧自然長(zhǎng)度L0,L0略小于L,所需物理量均在圖中標(biāo)出.

假設(shè)不考慮外界空氣阻力等耗散影響,彈簧與小球在豎直平面內(nèi)運(yùn)動(dòng).兩擺的角度取逆時(shí)針為正方向,處于平衡狀態(tài)時(shí),設(shè)彈簧壓縮量為Δx0,小球A的平衡角度為+θ0,小球B的平衡角度為-θ0.

圖1 靜止?fàn)顟B(tài)下系統(tǒng)示意圖

由虛功原理得

mgδy+κΔx0δx=0

(1)

又有

δy=lδcosθ0

Δx0=L-2lsinθ0-L0

δx=lδsinθ0

(2)

聯(lián)立式(1)、(2),設(shè)l0=L-L0,則有

mgtanθ0=κ(l0-2lsinθ0)=κΔx0

(3)

如圖2所示設(shè)擺線偏離平衡位置的角度為θ1、θ2.

圖2 運(yùn)動(dòng)過(guò)程中系統(tǒng)示意圖(圖中兩小球偏離豎直

則小球A的位置坐標(biāo)為

y1=-lcos(θ0+θ1)

B的位置坐標(biāo)為

設(shè)懸掛點(diǎn)所在的水平線為重力勢(shì)能零點(diǎn),系統(tǒng)平衡狀態(tài)下的彈簧彈性勢(shì)能為彈性勢(shì)能零點(diǎn),則系統(tǒng)的動(dòng)能T、重力勢(shì)能Vg和彈性勢(shì)能Vk滿(mǎn)足

(4)

Vg=mg(y1+y2)

(5)

(6)

(7)

Δx,Δy可表示為

(8*)

即

(8)

對(duì)式(5)小量展開(kāi)可得

式(3)、(8)代入式(7)可得

(10)

聯(lián)立式(9)、(10),令V=Vg+Vk,則可得

(11)

其中

(12)

(13)

2 簡(jiǎn)正分析

2.1 求解簡(jiǎn)正頻率

拉格朗日量L中含有關(guān)于坐標(biāo)θ1、θ2的耦合項(xiàng),在求解問(wèn)題時(shí),往往通過(guò)構(gòu)造矩陣V和T求解簡(jiǎn)正頻率進(jìn)而求解簡(jiǎn)正坐標(biāo).

由式(4)、(11),列出勢(shì)能、動(dòng)能對(duì)應(yīng)的矩陣[7]

(14)

并記P=V-ω2T,令det(P)=0,得

解得系統(tǒng)的簡(jiǎn)正頻率

(15)

由于

又C<0,故ω1、ω2均為實(shí)數(shù),且ω1<ω2.

2.2 構(gòu)造簡(jiǎn)正坐標(biāo)

代入簡(jiǎn)正頻率ω后,矩陣P的本征矢量即為原廣義坐標(biāo)線性組合的系數(shù),如此可得到各簡(jiǎn)正頻率ω對(duì)應(yīng)的簡(jiǎn)正坐標(biāo).

當(dāng)ω=ω1時(shí),代入矩陣P得

其特征向量n1=(1,1).

當(dāng)ω=ω2時(shí),代入矩陣P得

其特征向量n2=(1,-1).

所以對(duì)應(yīng)ω1的簡(jiǎn)正坐標(biāo)為ξ1=θ1+θ2,對(duì)應(yīng)ω2的簡(jiǎn)正坐標(biāo)為ξ2=θ1-θ2.

將ξ1、ξ2代入拉格朗日量得

(16)

得到拉格朗日運(yùn)動(dòng)方程

(17-1)

(17-2)

可以通過(guò)求解式(17-1)、(17-2),驗(yàn)證其對(duì)應(yīng)的簡(jiǎn)正頻率正是式(15)中的ω1、ω2.

2.3 近似解與非近似解的對(duì)比

非近似解對(duì)動(dòng)能T、勢(shì)能V中的小量θ1、θ2不做近似處理.

根據(jù)

Vg=mg(y1+y2)

得到拉格朗日量

L=T-(Vg+Vk)

通過(guò)MATLAB中的ode45解拉格朗日運(yùn)動(dòng)方程得到數(shù)值解.

圖3 取時(shí)θ1、θ2的近似解與非近似解

圖4 取時(shí),非小角度情況下近似解與非近似解對(duì)比

3 與擺懸掛點(diǎn)間距等于彈簧原長(zhǎng)情況的對(duì)比

當(dāng)兩單擺懸掛點(diǎn)間距等于彈簧原長(zhǎng)時(shí),彈簧耦合擺的運(yùn)動(dòng)依舊形成拍.擺懸掛點(diǎn)間距等于彈簧原長(zhǎng)時(shí),簡(jiǎn)正頻率[6]為

(18)

由式(21),可以得到拍頻ω0

(19)

當(dāng)2κl?mg時(shí),對(duì)ω0進(jìn)行小量展開(kāi)得到

圖5 取ωp=10 rad/s時(shí),ω0小量展開(kāi)的近似解與標(biāo)準(zhǔn)解對(duì)比

當(dāng)ωs逐漸增大,2κl?mg的條件不再滿(mǎn)足,小量展開(kāi)的近似解與標(biāo)準(zhǔn)解曲線出現(xiàn)偏差.

擺懸掛點(diǎn)間距大于彈簧原長(zhǎng)時(shí),由式(18)得拍頻ω>為

(21)

當(dāng)2κl?mg時(shí),對(duì)ω>進(jìn)行小量展開(kāi)

(22)

故拍頻ω除正比于彈簧的固有頻率ωs的二次方,反比于單擺固有頻率ωp外,還與平衡狀態(tài)時(shí)的偏移角度θ0有關(guān).

圖6 2κl?mg情況下拍頻對(duì)比圖

圖6驗(yàn)證了上述結(jié)論,即在其他條件相同情況下,兩單擺懸掛點(diǎn)間距等于彈簧原長(zhǎng)的情況下,拍頻恒大于懸掛點(diǎn)距離大于彈簧原長(zhǎng)的情況.

4 總結(jié)

在非小角度情況下,將近似解和非近似解的運(yùn)動(dòng)圖像進(jìn)行對(duì)比,發(fā)現(xiàn)近似解的拍頻稍大于非近似解,近似計(jì)算不再合理.

在2κl?mg的條件下,耦合擺運(yùn)動(dòng)的拍頻滿(mǎn)足式(25),即拍頻正比于彈簧的固有頻率ωs的二次方,反比于單擺固有頻率ωp,且與平衡狀態(tài)時(shí)偏移角度θ0有關(guān).兩單擺懸掛點(diǎn)間距等于彈簧原長(zhǎng)系統(tǒng)的拍頻恒大于懸掛點(diǎn)距離大于彈簧原長(zhǎng)的系統(tǒng).