一景兩圖 孰是孰非
——從一道單擺習題談起

郭培東 林曉璐

(漳州臺商區(qū)第一中學 福建 漳州 363107)

單擺是簡諧運動的一個重要應用模型,隨著傳感器在教學中的普及化,通過傳感器顯示出單擺在做簡諧運動過程中的F-t圖像來判斷單擺的相關運動規(guī)律的習題也越來越多,本文對兩道常見的題目進行分析,以期得到更科學的圖像.

1 試題的呈現(xiàn)和分析

【例1】一根輕繩一端系一小球,另一端固定在O點(單擺),在O點有一個能測量繩的拉力大小的力傳感器,讓小球以O點為平衡位置在豎直平面內(nèi)做簡諧運動,由傳感器測出拉力F隨時間t的變化圖像如圖1所示,下列判斷正確的是( )

圖1 拉力F隨時間t的變化圖像

A.小球振動的周期為2 s

B.小球速度變化的周期為4 s

C.小球動能變化的周期為2 s

D.小球重力勢能變化的周期為4 s

分析與解答：小球振動一個周期經(jīng)過最低點兩次,則周期為4 s,A錯誤,B正確;由于動能、重力勢能均是標量,故在單擺一個周期內(nèi)它們經(jīng)過了兩個周期,C正確,D錯誤.

【例2】一單擺做簡諧運動,如圖2所示為擺繩對擺球的拉力大小F隨時間t變化的圖像(重力加速度g取10 m/s2),則該單擺的擺長為( )

圖2 拉力F隨時間t的變化圖像

A.0.4 m B.1.6 m

C.4 m D.16 m

不難看出,以上兩道題的命題情景如出一轍,但所畫的F-t圖像在F最小時卻有本質(zhì)的不同.例1中的F-t圖像在此處還是平滑的,例2中的F-t圖像在此處出現(xiàn)了尖點.F的最大值出現(xiàn)在小球擺到最低點,F的最小值出現(xiàn)在小球擺到最高點,即兩題的命題者在最高點出現(xiàn)了分歧.有些教師認為,圖2是對的,圖1是錯的,理由如下:在小球擺到最高點時,運動狀態(tài)會突變,速度的方向在這一刻突變,因此F在這一刻應該也是會突變的.針對上述觀點,有些教師提出反對意見,他們認為:小球在最高點速度方向會突變,但并不代表運動狀態(tài)會突變,因為這里面速度是減為零再反方向增加,運動狀態(tài)是連續(xù)變化的,因此F在這一刻應該不會突變的.有些教師認為,圖1和圖2都對,只是兩圖的標度選取不同,圖2中相同長度的橫軸,表示比較長的時間,因此在最高點有點像是被“壓縮”了,導致出現(xiàn)了尖點.孰是孰非,針對這些觀點和爭議,有必要進行進一步探討和分析.

2 力傳感器采集數(shù)據(jù) 實時畫圖證明

實驗是最具有說服力的證明,尤其是在現(xiàn)如今傳感器采集數(shù)據(jù),處理數(shù)據(jù)非常便捷的時代.在高中物理規(guī)律的教學中,傳感器相較于傳統(tǒng)實驗器材,具有精度高、誤差小、性能穩(wěn)定、便于展示等特點,更容易實現(xiàn)物理規(guī)律的定量探究[1].準備好一單擺實驗裝置,為了實時顯示出繩子拉力大小及其大小變化,在支架上固定一微力傳感器,如圖3所示.

圖3 力傳感器采集數(shù)據(jù)

這里用老虎夾同時夾住力傳感器測量頭和繩子的一端,保證懸點固定,繩子長度盡量長,固定好鐵架臺的底座,拉開一個小角度,使小球盡量在一個平面內(nèi)擺動(因為地轉(zhuǎn)偏向力的存在,這一點只能近似滿足),采集了一段數(shù)據(jù),為了數(shù)據(jù)連續(xù)變化,采集頻率盡量高,且應該是離散點.這里面點選最細的點,頻率500 Hz比較合適,截取了其中一段較為理想的數(shù)據(jù)如圖4所示.

圖4 傳感器描繪的F-t圖像

需要說明的是由于傳感器的測量頭是豎直固定的,因此拉力傳感器的示數(shù)只是繩子拉力的豎直分力,從傳感器采集的數(shù)據(jù)可以發(fā)現(xiàn)拉力的豎直分力在最高點并沒有發(fā)生突變,也可以定性證明拉力在此處不會出現(xiàn)“尖點”,是平滑變化過去的.

3 數(shù)學推導 Geogebra畫圖證明

如圖5所示單擺.

圖5 單擺示意圖

從最高點開始計時

θ(0)=θ0v(0)=0

設最低點速度為vm

v=vmsinωt

(1)

得

θ=θ0cosωt

(2)

(3)

聯(lián)立式(1)～(3)得

將

代入得

顯然這是一個比較復雜的函數(shù)關系式,我們很難直接畫出它的圖像,為了借用Geogebra的函數(shù)功能直接顯示出它的圖像,各個物理量賦值如下:m=1 kg,g=10 m/s2,θ0=0.01 rad,k=1 N/m,l=1 m,vm=2 m/s(準確的vm應該通過動能定理求解,但vm是一個確定的常數(shù),取2 m/s,不影響F-t圖像的大概形狀),賦值后的圖像如圖6所示.

圖6 F-t理論推導的圖像(Geogebra繪制)

由函數(shù)圖像易得:繩子拉力F在最低點是平滑變化過去的,F-t圖像不應該出現(xiàn)尖點.綜上我們可以知道例1的F-t圖像是比較準確的,例2的圖倒像是人造圖,沒有科學依據(jù).

4 教學啟示

考試命題是對日常教學的檢測評估,物理教學需要考慮到考試評價的指導作用,考場上一道好的試題既是檢驗教師的“教”和學生的“學”的良好載體,更是學生煉化核心素養(yǎng)的重要素材.綜合分析,有以下收獲和啟示.

第一,創(chuàng)設情境,既是考試命題的操作核心,也是物理教學的重要策略,物理學科核心素養(yǎng)的培養(yǎng),都離不開情境的創(chuàng)設[2].但是“科學性”是試題的生命.有違“科學性”原則的試題是試題命制行為最為尷尬的[3].創(chuàng)設情境最起碼要滿足“科學性”原則,以免適得其反.

第二,數(shù)學方法是物理學最重要的語言,數(shù)學不僅為物理學的研究提供了簡明、精確的科學通用語言,大大簡化、純化并加速了人們的思維過程,而且還為物理學提供了定量的計算方法,使物理學得以從定性分析的學科發(fā)展成為定量分析的精密科學[4].教師在平常教學中遇到的很多疑問都需要用數(shù)學方法定量分析給學生一個嚴謹?shù)淖C明,甚至需要較高層次的高等數(shù)學.

第三,本文通過傳感器實時采集數(shù)據(jù)并畫圖和通過Geogebra畫出復雜的函數(shù)圖像說明了信息技術可以創(chuàng)設可視化的物理教學情境,培養(yǎng)學生的認知能力,增強學生學習物理的興趣[5].當然,傳感器、Geogebra等信息技術融入教學的功能遠不僅于此,教師掌握一定的信息技術可以明顯提高教學的便捷性和有效性.