例談桿球問題中機(jī)械能守恒的判定*

譚小虎 李秋明 韓小雪 馬 穎

(廣州大學(xué)物理與材料科學(xué)學(xué)院 廣東 廣州 510006)

機(jī)械能守恒定律是高中物理的重要內(nèi)容,課標(biāo)明確要求學(xué)生要理解機(jī)械能守恒定律,能用機(jī)械能守恒定律分析生產(chǎn)生活中的有關(guān)問題[1].

桿球問題是高中物理教學(xué)中常見的習(xí)題類型,該模型中桿的彈力是否做功無(wú)法直觀判斷,導(dǎo)致學(xué)生在判定桿球系統(tǒng)機(jī)械能是否守恒時(shí)存在一定的困難.此外,在桿球問題的處理中,常常會(huì)默認(rèn)桿球系統(tǒng)機(jī)械能守恒,而后對(duì)其他問題進(jìn)行求解[2],并不從學(xué)生對(duì)機(jī)械能守恒條件的基本認(rèn)識(shí)出發(fā),對(duì)系統(tǒng)機(jī)械能是否守恒展開討論并予以嚴(yán)謹(jǐn)證明.綜上,桿球問題在一定程度上成了學(xué)生學(xué)習(xí)和理解機(jī)械能及其守恒定律的障礙.

本文以兩個(gè)典型的桿球問題為例,針對(duì)常見的桿球問題情境,先運(yùn)用剛體力學(xué)知識(shí)對(duì)問題進(jìn)行分析和研究[2],明確問題情境中各個(gè)力做功的情況,據(jù)此判定桿球系統(tǒng)機(jī)械能守恒,而后嘗試從高中物理的角度給予嚴(yán)謹(jǐn)證明,深化學(xué)生對(duì)機(jī)械能守恒定律和桿球問題的理解.

1 機(jī)械能守恒的條件

在慣性參考系中,質(zhì)點(diǎn)系所受外力做的功與系統(tǒng)內(nèi)非保守力做的功的總和等于質(zhì)點(diǎn)系機(jī)械能的增量[3],即當(dāng)質(zhì)點(diǎn)系所受外力和非保守內(nèi)力做功為零時(shí),其機(jī)械能的增量為零,此時(shí)機(jī)械能守恒,因此明確何種力為非保守力是判定機(jī)械能是否守恒的基礎(chǔ).為了可以簡(jiǎn)易地判斷常見的力是否為非保守力,趙凱華編著的《新概念物理教程:力學(xué)》[4]給出了保守力的一些充分條件:

(1)對(duì)于一維運(yùn)動(dòng),位置x單值函數(shù)的力是保守力,例如服從胡克定律的彈性力;

(2)對(duì)于一維以上的運(yùn)動(dòng),大小和方向都與位置無(wú)關(guān)的力是保守力,例如重力;

(3)凡是有心力都是保守力.

普通高中物理教科書中關(guān)于機(jī)械能守恒有如下敘述,在只有重力或彈力做功的物體系統(tǒng)內(nèi),動(dòng)能與勢(shì)能可以相互轉(zhuǎn)化,而總的機(jī)械能保持不變[5].

綜上,本文研究對(duì)象是一個(gè)不包含彈簧的桿球系統(tǒng),該系統(tǒng)機(jī)械能守恒的條件可以認(rèn)為是只有重力做功.下文將以此條件作為機(jī)械能守恒的判定依據(jù).

2 桿球問題中機(jī)械能守恒的判定

【例1】如圖1所示,長(zhǎng)為2L的質(zhì)量不計(jì)的輕桿,一端與O點(diǎn)鉸接,輕桿可繞著O點(diǎn)在豎直平面內(nèi)無(wú)摩擦轉(zhuǎn)動(dòng),桿的中點(diǎn)和另一端均固定有質(zhì)量為m的可視為質(zhì)點(diǎn)的小球,將桿分為L(zhǎng)1和L2兩部分.現(xiàn)將桿拉至水平位置并無(wú)初速度釋放,忽略空氣阻力.問:從輕桿開始下擺到下擺至豎直位置的過(guò)程中,輕桿和小球組成的系統(tǒng)機(jī)械能是否守恒?

圖1 例1示意圖

在下擺的過(guò)程中,若輕桿對(duì)小球的彈力方向始終沿桿,一直與小球速度方向垂直,則輕桿彈力不做功,桿球系統(tǒng)中只有重力做功,該系統(tǒng)機(jī)械能守恒.但輕桿彈力是否沿桿還有待分析.

在高中階段,認(rèn)為帶有鉸鏈的可以在一定范圍內(nèi)自由轉(zhuǎn)動(dòng)的輕桿,其彈力方向一般沿桿[6].顯然,圖1中輕桿的轉(zhuǎn)動(dòng)并不完全自由,L1桿的運(yùn)動(dòng)除受鉸鏈約束外,還受到小球和L2桿的約束,同樣,L2桿也受到了L1桿和小球的約束,若僅僅因?yàn)長(zhǎng)1桿鉸接于O點(diǎn)便認(rèn)定L1桿和L2桿彈力的方向均沿桿,未免過(guò)于牽強(qiáng).下面,將分別從剛體力學(xué)和高中物理兩個(gè)角度對(duì)上述問題展開分析.

(1)剛體力學(xué)角度分析

桿球系統(tǒng)的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為

J=mL2+m(2L)2=5mL2

(1)

設(shè)某時(shí)刻,輕桿與小球已經(jīng)下擺了θ的角度,此時(shí)系統(tǒng)的角加速度為α,由轉(zhuǎn)動(dòng)定律得到此時(shí)的角加速度

mgLcosθ+mg·2Lcosθ=5mL2α

(2)

(3)

擺角θ的取值范圍為0～90°,可知α>0,兩小球處于加速的狀態(tài).

由于不確定兩桿彈力方向是否沿桿,即不確定兩桿彈力是否存在切向分量,故假設(shè)L1桿對(duì)球1存在切向彈力F1,L2桿對(duì)球1和球2存在切向彈力分別為F2和F3.其中L2桿質(zhì)量不計(jì),可認(rèn)為它不具有加速度而處于受力平衡狀態(tài),因此假設(shè)F2和F3方向相反、大小相等,即

F2=F3

(4)

系統(tǒng)所受切向力的示意圖如圖2所示,其中3個(gè)切向彈力的方向均為假設(shè).

圖2 例1切向受力示意圖

設(shè)球1和球2的切向加速度分別為a1和a2,兩球正在加速,因此它們的切向加速度均垂直于輕桿向下.結(jié)合式(3)對(duì)球1和球2切向受力由牛頓第二定律得

mgcosθ-F1-F2=ma1=

(5)

mgcosθ+F3=ma2=m·2Lα=

(6)

聯(lián)立式(4)～(6)得

(7)

3個(gè)切向彈力均為正值,可知圖2中切向彈力方向假設(shè)正確.

由圖2可知,F1和F2始終與球1運(yùn)動(dòng)方向相反,F3始終與球2運(yùn)動(dòng)方向相同.設(shè)3個(gè)切向彈力在此運(yùn)動(dòng)過(guò)程中的總功為W,該總功計(jì)算如下

(8)

可見輕桿切向彈力對(duì)兩球所做的總功為零,即在此過(guò)程系統(tǒng)中只有重力做功,該系統(tǒng)機(jī)械能守恒.

(2)高中物理角度分析

設(shè)某時(shí)刻,桿球系統(tǒng)下擺了θ的角度,其中θ為微小角度,可得桿球系統(tǒng)在此過(guò)程中處于加速的狀態(tài),即兩球此時(shí)的切向加速度均垂直于輕桿向下.

設(shè)球1和球2的切向加速度分別為a1和a2,利用微元法對(duì)a1和a2的大小關(guān)系展開分析,兩球做圓周運(yùn)動(dòng)的過(guò)程中,球2線速度大小始終是球1線速度大小的兩倍,在極短時(shí)間內(nèi),可認(rèn)為兩球均做勻加速直線運(yùn)動(dòng),得到

a2=2a1

(9)

切向受力示意圖如圖2所示,其中3個(gè)切向彈力的方向均為假設(shè).

為分析3個(gè)切向彈力之間的關(guān)系,將L1桿和L2桿視為整體進(jìn)行分析.忽略它們的質(zhì)量,可知它們不具有加速度,因此它們?cè)谛∏蚯邢驈椓Φ淖饔孟绿幱诟軛U平衡狀態(tài),由杠桿平衡原理及牛頓第三定律可得

(F1+F2)L=F3·2L

(10)

聯(lián)立式(4)和式(10)得

F1=F2=F3

(11)

對(duì)球1和球2切向受力由牛頓第二定律得

mgcosθ-F1-F2=ma1

(12)

mgcosθ+F3=ma2

(13)

聯(lián)立式(9)、(11)、(12)、(13)得

(14)

由于θ的取值范圍為0～90°,可知cosθ>0,即3個(gè)切向彈力均為正值,圖2中切向彈力方向假設(shè)正確.

觀察圖2可知,F1和F2始終與球1的運(yùn)動(dòng)方向相反,F3始終與球2運(yùn)動(dòng)方向相同.利用微元法展開分析,以Δs表示球1在極短時(shí)間內(nèi)的位移,則球2的位移為2Δs,設(shè)3個(gè)切向彈力在極短時(shí)間內(nèi)的總功為W,該總功計(jì)算如下

W=-F1Δs-F2Δs+F3·2Δs=

(15)

在極短時(shí)間內(nèi),輕桿切向彈力對(duì)兩球所做總功為零,由微元法可知在運(yùn)動(dòng)全過(guò)程中輕桿切向彈力的總功也為零,系統(tǒng)中只有重力做功,該系統(tǒng)機(jī)械能守恒.

【例2】如圖3所示,質(zhì)量不計(jì)的直角形支架兩端分別連接著可視為質(zhì)點(diǎn)的質(zhì)量為m和2m的小球1和2,支架的兩直角邊長(zhǎng)度分別為2L和L,支架可繞著O點(diǎn)在豎直平面內(nèi)無(wú)摩擦轉(zhuǎn)動(dòng),開始時(shí),長(zhǎng)度為2L的直角邊位于水平位置,由靜止釋放,忽略空氣阻力.問:從支架開始轉(zhuǎn)動(dòng)到轉(zhuǎn)動(dòng)90°的過(guò)程中,支架與小球組成的系統(tǒng)機(jī)械能是否守恒?

圖3 例2示意圖

(1)剛體力學(xué)角度分析

支架與小球組成的系統(tǒng)的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為

J=m(2L)2+2mL2=6mL2

(16)

設(shè)某時(shí)刻,系統(tǒng)已經(jīng)下擺了θ的角度,此時(shí)系統(tǒng)的角加速度為α,由轉(zhuǎn)動(dòng)定律得到此時(shí)的角加速度

mg·2Lcosθ-2mgLsinθ=6mL2α

(17)

(18)

假設(shè)支架施加給球1的切向彈力為F1,施加給球2的切向彈力為F2.切向受力示意圖如圖4所示,其中切向彈力的方向均為假設(shè).

圖4 例2切向受力示意圖

設(shè)球1和球2的切向加速度分別為a1和a2,對(duì)球1和球2切向受力由牛頓第二定律得

mgcosθ-F1=ma1=

(19)

F2-2mgsinθ=2ma2=

(20)

由式(19)和式(20)得

(21)

(22)

由于θ的取值范圍為0～90°,得兩個(gè)切向彈力均為正值,圖4切向彈力方向假設(shè)正確.

由圖4可知,F1始終與球1的運(yùn)動(dòng)方向相反,F2始終與球2運(yùn)動(dòng)方向相同.設(shè)兩個(gè)切向彈力在此運(yùn)動(dòng)過(guò)程中的總功為W,總功的計(jì)算如下

(23)

可見支架切向彈力對(duì)兩小球所做的總功為零,即在此過(guò)程系統(tǒng)中只有重力做功,該系統(tǒng)機(jī)械能守恒.

(2)高中物理角度分析

設(shè)某時(shí)刻,支架與小球已經(jīng)下擺了θ的角度,其中θ為微小角度,可得桿球系統(tǒng)在此過(guò)程中處于加速的狀態(tài),即兩球此時(shí)的切向加速度均垂直于輕桿向下.

以a1和a2分別表示球1和球2的切向加速度.利用微元法對(duì)a1和a2的大小關(guān)系展開分析,兩球做圓周運(yùn)動(dòng)的過(guò)程中,球1線速度大小始終是球2線速度大小的兩倍,在極短的時(shí)間內(nèi),可認(rèn)為兩球做勻加速直線運(yùn)動(dòng),可得

a1=2a2

(24)

切向受力示意圖如圖4所示,切向彈力的方向均為假設(shè).對(duì)球1和球2切向受力由牛頓第二定律得

mgcosθ-F1=ma1

(25)

F2-2mgsinθ=2ma2

(26)

聯(lián)立式(25)和式(26)得

F1+F2=mg(cosθ+2sinθ)

(27)

為分析兩個(gè)切向彈力之間的關(guān)系,隔離支架進(jìn)行分析.忽略支架質(zhì)量,可知它不具有加速度,因此它在小球切向彈力作用下處于杠桿平衡狀態(tài),由杠桿平衡原理及牛頓第三定律可得

F1·2L=F2L

(28)

聯(lián)立式(27)和式(28)可得

(29)

(30)

由于θ的取值范圍為0～90°,得兩個(gè)切向彈力均為正值,圖4切向彈力方向假設(shè)正確.

由圖4可知,F1始終與球1的運(yùn)動(dòng)方向相反,F2始終與球2運(yùn)動(dòng)方向相同.利用微元法展開分析,以2Δs表示球1在極短時(shí)間內(nèi)的位移,則球2的位移為Δs,設(shè)兩個(gè)切向彈力在極短時(shí)間內(nèi)的總功為W,總功計(jì)算如下

W=-F1·2Δs+F2Δs=

(31)

可見在極短時(shí)間內(nèi),支架切向彈力對(duì)兩小球所做總功為零,由微元法可知在運(yùn)動(dòng)全過(guò)程中支架切向彈力的總功也為零,系統(tǒng)中只有重力做功,該系統(tǒng)機(jī)械能守恒.

誠(chéng)然,在學(xué)生經(jīng)歷除機(jī)械能以外的諸如電能、內(nèi)能等其他形式能量知識(shí)的學(xué)習(xí)以后,他們能夠判斷本文的桿球情境中不存在非機(jī)械能的能量轉(zhuǎn)化,可從能量守恒的角度直接判定系統(tǒng)機(jī)械能守恒,但桿球系統(tǒng)機(jī)械能守恒的判定問題不應(yīng)留待后期解決.高中物理教學(xué)中的每一階段都有其階段性的教學(xué)和培養(yǎng)目標(biāo),桿球問題出現(xiàn)在學(xué)生只掌握牛頓運(yùn)動(dòng)定律和機(jī)械能相關(guān)知識(shí)的階段,教師就應(yīng)當(dāng)從學(xué)生的現(xiàn)有知識(shí)基礎(chǔ)出發(fā)尋求合適的教學(xué)思路.

3 結(jié)束語(yǔ)

本文先運(yùn)用基礎(chǔ)較好的學(xué)生能夠理解的剛體力學(xué)知識(shí)分析、解決桿球系統(tǒng)中機(jī)械能守恒的判定問題,雖然剛體力學(xué)角度的分析難度較大,但為高中物理角度分析的展開提供了思路.而后從所有學(xué)生的知識(shí)基礎(chǔ)出發(fā),從高中物理的角度重新分析并解決桿球系統(tǒng)中機(jī)械能守恒的判定問題,整個(gè)分析過(guò)程僅使用微元法、杠桿平衡原理和牛頓運(yùn)動(dòng)定律等知識(shí),比較適合高中教學(xué),有利于鞏固學(xué)生已學(xué)知識(shí),培養(yǎng)科學(xué)思維.希望本文的分析過(guò)程能夠?yàn)闂U球問題的教學(xué)提供一定的參考.