整體化歸思想在初中數(shù)學(xué)解題中的妙用

肖 凡

(三明市第八中學(xué),福建 三明 365000)

初中數(shù)學(xué)是培養(yǎng)學(xué)生邏輯思維能力和解決問題能力的重要階段.在解題中,一些思想方法的應(yīng)用,能夠幫助學(xué)生更好地理解和解決各類數(shù)學(xué)問題,而整體化歸思想就是其中一種重要的思想方法[1].本文旨在探討整體化歸思想在初中數(shù)學(xué)解題中的妙用,通過具體例題的分析和研究,總結(jié)出整體化歸思想在簡化計(jì)算、提高解題速度和解題正確率等方面的作用,以期為初中數(shù)學(xué)解題教學(xué)提供一些有益的思路和方法.

1 化簡代數(shù)式類問題

整體化歸思想在代數(shù)式的化簡中有著重要的應(yīng)用.通過將代數(shù)式看作一個(gè)整體,我們可以更好地理解這個(gè)整體與已知量之間的關(guān)系,從而更加靈活地運(yùn)用各種代數(shù)技巧,如合并同類項(xiàng)、提取公因式、配方等,將復(fù)雜的代數(shù)式化簡為更加簡單的形式[2].這種思想可以大大簡化計(jì)算過程,提高解題效率.

利用整體化歸思想化簡代數(shù)式主要包含以下幾個(gè)步驟:首先,分析代數(shù)式結(jié)構(gòu),觀察代數(shù)式的特點(diǎn),將其分解成多個(gè)部分,并確定各部分之間的關(guān)系.其次,提取公因式或“已知條件整式”(已知條件中給出的整式,一般會(huì)給出該整式的具體值或代數(shù)值,如整式2x2+3y=5,或2x2+3y=a),將代數(shù)式中的公因式提取出來,以簡化代數(shù)式.然后通過變形和化簡,將代數(shù)式轉(zhuǎn)化為更加簡單和易于計(jì)算的形式,計(jì)算過程中可以通過各種代數(shù)技巧,如乘法分配律、結(jié)合律等來實(shí)現(xiàn)[3].最后,將代數(shù)式中的各項(xiàng)進(jìn)行運(yùn)算和化簡,得出化簡后的結(jié)果.

整體化歸思想在代數(shù)式的化簡中有著廣泛的應(yīng)用,它可以幫助學(xué)生更加靈活地運(yùn)用各種代數(shù)技巧,提高解題速度和準(zhǔn)確率.同時(shí),這種思想也可以培養(yǎng)學(xué)生的思維能力和創(chuàng)新能力,幫助他們更好地解決各種數(shù)學(xué)問題.

例1 提示“用整體思想解題:為了簡化問題,我們往往把一個(gè)式子看成一個(gè)數(shù)(整體).”試按提示解答下面問題.

(1)若代數(shù)式2x2+3y的值為-5,求代數(shù)式6x2+9y+8的值.

(2)已知A+B=3x2-5x+1,A-C=-2x+3x2-5,求當(dāng)x=2時(shí)B+C的值.

解析(1)設(shè)m=2x2+3y=-5,所以6x2+9y+8=3m+8=3×(-5)+8=-7,即所求式的值為-7.

(2)由已知條件,可以進(jìn)行整體配湊B+C=(A+B)-(A-C).

代入已知條件得到(3x2-5x+1)-(-2x+3x2-5)=-3x+6=-3×2+6=0,因此,當(dāng)x=2時(shí),B+C=0.

點(diǎn)評(píng)整體化歸思想可以幫助學(xué)生將復(fù)雜的代數(shù)式或幾何問題簡化,從而更容易地找到問題的答案.本題難度略低,是一道培養(yǎng)整體思想在初中數(shù)學(xué)解題中應(yīng)用的題目.先給出整體化歸思想的條件,奠定解題思路,然后由易到難設(shè)計(jì)兩個(gè)題目進(jìn)行整體化歸思想的鍛煉.可根據(jù)已知條件直接進(jìn)行整式配湊,最后將整式具體值代入配湊好的部分進(jìn)行“整式消去”,從而得到最終答案.

2 解方程類問題

在解方程時(shí),有時(shí)直接入手比較困難,這時(shí)可以使用整體化歸的思想.將方程的某部分看作一個(gè)整體,通過轉(zhuǎn)化和變形,便可以將這個(gè)整體用已知量表示出來.整體化歸的思想在解決方程問題時(shí)非常重要,通過將方程的解看作一個(gè)整體,我們可以更好地理解方程的解和已知量之間的關(guān)系[4].這種思想可以幫助我們更加靈活地運(yùn)用方程的變形和化簡方法,從而更容易找到方程的解.同時(shí),整體化歸的思想也可以培養(yǎng)我們的數(shù)學(xué)思維和解決問題的能力,使我們能夠更好地應(yīng)對(duì)各種復(fù)雜的數(shù)學(xué)問題.

第二問中:

在方法一中,通過利用第一問的結(jié)論,將x+y,x-y看作整體,使用整體化歸思想解題,大大簡化了計(jì)算過程.

方法二同樣是利用整體化歸的思想,只是沒有結(jié)合第一問的結(jié)論.該方法較方法一稍顯復(fù)雜,但該方法是整體化歸思想的通用思想,可以推廣使用.

方法三整理原方程組,

方法三沒有用整體化歸的思想,在計(jì)算方面考查細(xì)致度,計(jì)算過程需要精確拆括號(hào),變換正負(fù)號(hào).

點(diǎn)評(píng)本題考查了二元一次方程組的解法,解二元一次方程組的基本思想是消元,加減消元法和代入消元法是常用的方法.運(yùn)用整體思想,把第二問中的方程組轉(zhuǎn)化成第一問的方程組,簡化了計(jì)算.方法三沒有明顯地運(yùn)用整體化歸的思想,而是更注重于計(jì)算方面的考查.在具體操作中,需要精確地拆括號(hào)和變換正負(fù)號(hào),這需要一定的細(xì)心和耐心.比較這三種解法,我們可以發(fā)現(xiàn)方法一最為簡單,方法二次之,而方法三則相對(duì)較為繁瑣.整體化歸思想在數(shù)學(xué)中有著廣泛的應(yīng)用,它可以幫助我們將復(fù)雜的問題化整為零,將未知轉(zhuǎn)化為已知,從而使問題更易于解決.從這三種解法中,我們可以看出方法一和方法二都運(yùn)用了整體化歸的思想,將問題進(jìn)行了整體把握和轉(zhuǎn)化,從而使問題的解決更為簡潔和高效.因此,在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中,要注重培養(yǎng)自己的整體化歸思想,學(xué)會(huì)將問題進(jìn)行整體把握和轉(zhuǎn)化,從而更好地解決數(shù)學(xué)問題.同時(shí),也需要注重計(jì)算的訓(xùn)練和提高,以更好地運(yùn)用整體化歸思想來解決數(shù)學(xué)問題.

令①-②,得x2-3xy+4y2=11.所以x2+xy+4y2=11+4xy,所以,把xy=2代入得x2+4y2+xy=11+8=19,即整式x2+4y2+xy的值為19.

點(diǎn)評(píng)本題考查了整體化歸思想的應(yīng)用,這種方法在處理復(fù)雜問題時(shí)具有很大的優(yōu)勢,可以大大簡化計(jì)算過程,提高解題速度和正確率.對(duì)于問題一,由于已知條件和所求結(jié)果之間存在明顯的整體代入關(guān)系,因此只需要直接將所給的整體代入到結(jié)果中即可求出答案.對(duì)于問題二,需要先將原式進(jìn)行適當(dāng)?shù)恼砗妥冃?找出已知條件中的某些量的關(guān)系,并將它們分別代入到計(jì)算公式中.在進(jìn)行整體代入時(shí),需要注意兩點(diǎn):首先,要認(rèn)真分析問題中各個(gè)量之間的關(guān)系,確定哪些量是相互獨(dú)立的,哪些量之間存在某種比例關(guān)系;其次,在將已知條件中的式子進(jìn)行“配湊”時(shí),要盡可能地使代入后的式子保持對(duì)稱性或規(guī)律性,以便于計(jì)算和分析.因此,整體化歸思想在初中數(shù)學(xué)解題中具有廣泛的應(yīng)用價(jià)值,通過培養(yǎng)學(xué)生的整體化歸意識(shí),可以提高學(xué)生的解題能力和數(shù)學(xué)素養(yǎng).