考慮尺寸誤差與徑向載荷的雙螺母滾珠絲杠靜剛度分析

陳光宇 翁直威 張 松

1.山東大學(xué)機(jī)械工程學(xué)院,濟(jì)南,250061 2.高效潔凈機(jī)械制造教育部重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室,濟(jì)南,250061 3.山東普魯特機(jī)床有限公司,滕州,277500

0 引言

滾珠絲杠作為一種精密傳動功能部件,具有傳動精度高、使用壽命長[1]的優(yōu)點(diǎn),廣泛應(yīng)用于高端加工中心、智能設(shè)備和其他工業(yè)領(lǐng)域[2]。實(shí)際應(yīng)用中,因端部裝配不當(dāng)引起的徑向偏心使得滾珠絲杠承受額外的徑向載荷,直接影響著其機(jī)械性能,如軸向靜剛度和位置精度[3-4]。同時,滾珠絲杠制造過程中產(chǎn)生的尺寸誤差對其承載性能造成的影響也不容忽視。因此,準(zhǔn)確地描述滾珠絲杠服役過程中相關(guān)尺寸誤差和徑向載荷對其承載性能影響的內(nèi)在規(guī)律,建立準(zhǔn)確的滾珠絲杠軸向變形位移和軸向靜剛度計算模型,對滾珠絲杠的精密裝配和高端應(yīng)用具有重要的指導(dǎo)意義。

全滾珠的載荷分布顯著影響滾珠絲杠的機(jī)械性能[5]。ZHOU等[6]、王恒等[7]、WEI等[8]分別描述了滾珠絲杠的預(yù)緊力與空載阻力扭矩之間的關(guān)系,提出了計算滾珠絲杠摩擦扭矩的理論模型,建立了滾珠絲杠的動力學(xué)模型,然而他們假設(shè)所有的滾珠都承受均等的載荷,存在一定的局限性。MEI等[9]分析了幾何誤差對單螺母滾珠絲杠滾珠載荷分布的影響,對相關(guān)研究產(chǎn)生了深遠(yuǎn)的影響。LIN等[10]提出了一個外部軸向載荷下考慮橫向變形和幾何誤差的低階靜載荷分布模型,并進(jìn)行了相關(guān)有限元分析計算。BERTOLASO等[11]采用應(yīng)力場的光彈性法和位移場的標(biāo)記跟蹤方法測量了滾珠接觸載荷和接觸角的分布。ZHAO等[12]使用運(yùn)動學(xué)方法分析了引入的變形系數(shù)與定義的幾何誤差系數(shù)之間的關(guān)系。

滾珠本身存在的尺寸誤差[13]所造成的滾珠接觸載荷分布不均影響著軸向靜剛度,進(jìn)而使得定位精度降低。程強(qiáng)等[14]、趙佳佳等[15]分別提出了考慮滾珠幾何誤差的滾珠載荷分布模型,通過計算傳動過程中的行程變動量,可以較好地預(yù)測滾珠絲杠的位置精度。TAKAFUJI等[16]指出應(yīng)考慮螺紋軸、螺母本身和螺紋的彈性變形來完善模型。KAMALZADEH等[17]分析了彈性接觸變形對傳動誤差的影響,并提出補(bǔ)償接觸變形以提高滾珠絲杠的定位精度。XU等[18]指出,螺距與絲杠直徑之比越大,載荷分布的均勻性就越差,滾珠絲杠的剛度性能也越低。

目前,關(guān)于雙螺母滾珠絲杠軸向變形和靜剛度的研究主要集中在僅承受外部軸向載荷的情況下,對同時承受軸向和徑向復(fù)合載荷下軸向靜剛度的研究相對較少。本文基于ZHEN等[19]和LIU等[20]進(jìn)行的部分理論分析,主要建立了考慮尺寸誤差和徑向載荷的預(yù)緊雙螺母滾珠絲杠軸向靜剛度模型,揭示了尺寸誤差、外部復(fù)合載荷、滾珠載荷分布和軸向靜剛度的內(nèi)在聯(lián)系,并且在自主研制的滾珠絲杠加載試驗(yàn)臺上進(jìn)行了加載變形試驗(yàn),驗(yàn)證了模型的正確性。最后,基于模型數(shù)值分析了外部徑向載荷和尺寸誤差對預(yù)緊雙螺母滾珠絲杠軸向變形與靜剛度的影響。

1 預(yù)緊雙螺母滾珠絲杠的軸向靜剛度模型

與單螺母滾珠絲杠相比,為了消除軸向間隙,提高軸向接觸剛度,現(xiàn)代滾珠絲杠通常采用雙螺母預(yù)緊結(jié)構(gòu)。以廣泛使用的雙螺母墊片預(yù)緊式為例,首先需要準(zhǔn)確計算出工作螺母與預(yù)緊螺母之間的軸向載荷分配。圍繞工作螺母的載荷狀態(tài),通過描述全滾珠載荷分布計算出整個螺母的軸向變形位移,進(jìn)一步可以獲得軸向靜剛度。在建立軸向靜剛度模型時,本文同時考慮了尺寸誤差和外部徑向載荷的影響,并做出如下假設(shè):①滾珠、絲杠滾道和螺母滾道之間的接觸變形均在彈性范圍內(nèi);②滾珠中心與絲杠滾道、螺母滾道的曲率中心在同一條線上;③滾珠與螺母滾道、絲杠滾道的接觸角相同;④每個滾珠只承受絲杠、螺母接觸區(qū)域的法向接觸載荷,忽略相鄰滾珠之間的相互作用。

1.1 預(yù)緊雙螺母滾珠絲杠的復(fù)合受載狀態(tài)

實(shí)際工程應(yīng)用中,滾珠絲杠的安裝不同于理想狀態(tài),往往存在著不同程度的徑向偏心。這使得滾珠絲杠承受額外的徑向載荷,螺母軸線相對于絲杠軸線產(chǎn)生偏移,絲杠和螺母之間全滾珠的載荷分布將不同于理想均勻狀態(tài)而呈現(xiàn)出顯著的不均勻性,進(jìn)而影響軸向變形位移和靜剛度。

在機(jī)床進(jìn)給軸的傳動結(jié)構(gòu)中,螺母通過法蘭固定在工作臺下方,絲杠軸的兩端安裝在基體的軸承座內(nèi),其安裝方式為一端固定一端支撐。當(dāng)機(jī)床運(yùn)行時,絲杠在伺服電機(jī)的驅(qū)動下通過滾珠將驅(qū)動力傳遞給螺母。螺母將通過連接法蘭的螺栓承受作用在工作臺上的復(fù)合載荷,主要包括外部軸向載荷Fa和徑向載荷Fr,如圖1所示。滾珠將在復(fù)合載荷的影響下產(chǎn)生相應(yīng)變形,使得螺母相對于絲杠分別產(chǎn)生軸向變形位移δa和徑向變形位移δr。

圖1 預(yù)緊雙螺母滾珠絲杠受載變形Fig.1 Load deformation of preloaded double-nut ball screw

如圖2所示,在雙螺母滾珠絲杠承受外部載荷之前,螺母A和螺母B將在預(yù)緊墊片的作用下發(fā)生一定量的初始變形,承受外部載荷后,工作螺母A的實(shí)際軸向載荷將相對于預(yù)緊力增大,而預(yù)緊螺母B的實(shí)際軸向載荷將減小。圖2中,QAni、QBni(i=1,2,…,Z)分別為螺母A和螺母B中第i個滾珠與螺母滾道接觸點(diǎn)處的法向載荷,Z為單個螺母中的滾珠數(shù);βAi、βBi分別為螺母A和螺母B中第i個滾珠與螺母滾道接觸點(diǎn)處的接觸角。

圖2 預(yù)緊雙螺母滾珠絲杠的多向受載Fig.2 Multi-directional load state of preloaded double-nut ball screw

在這種情況下,工作螺母A的實(shí)際載荷為FA,相對于預(yù)緊力FP的增量為F1,預(yù)緊螺母B的實(shí)際載荷為FB,相對于預(yù)緊的減小量為F2,可分別表示為

(1)

各參數(shù)之間的關(guān)系為

Fa=FA-FB=FP+F1-(FP-F2)=F1+F2

(2)

在外部載荷作用下,螺母A和螺母B的載荷狀態(tài)發(fā)生變化,相應(yīng)的軸向變形也會發(fā)生變化。工作螺母A將產(chǎn)生額外的軸向壓縮變形,預(yù)緊螺母B將產(chǎn)生相應(yīng)的恢復(fù)變形。當(dāng)預(yù)緊墊圈被視為剛體時,它們的變形量應(yīng)相等,可以表示為

δA-δP=δP-δB

(3)

式中,δP為僅預(yù)緊作用下螺母的軸向變形位移;δA、δB分別為預(yù)緊力和外部載荷共同作用下工作螺母A和預(yù)緊螺母B的軸向變形位移。

基于Hertz接觸理論,δA、δB可以表示為

(4)

式中,K1為軸向接觸變形系數(shù)。

聯(lián)立式(3)、式(4),兩螺母變形位移之間的關(guān)系可以表示為

(5)

因此,式(1)、式(2)、式(5)建立了求解兩個螺母在預(yù)緊力和外載荷共同作用下各自軸向載荷分配的模型,其中F1值可以通過數(shù)值迭代法求解,進(jìn)而得到FA和FB。

所有滾珠的法向接觸載荷與工作螺母A的實(shí)際軸向載荷之間的關(guān)系可以表示為

(6)

式中,λ為滾珠絲杠的導(dǎo)程角。

圖3展示了滾珠在滾道中的空間分布,其中rm為絲杠公稱半徑。每個滾珠的法向接觸變形與螺母A相對于絲杠的徑向接觸位移之間的關(guān)系可以表示為

圖3 滾珠在滾道中的空間分布Fig.3 Spatial distribution of balls in the raceway

δri=δrcosψi

(7)

式中,ψi為第i個滾珠在滾道中的位置角;σ為首個滾珠在滾道中的位置角;δr為絲杠軸線沿Fr方向產(chǎn)生的位移;δri為第i個滾珠沿徑向的位移;φ為兩個相鄰滾珠中心的位置角;N為單個螺母中的滾珠列數(shù)。

根據(jù)徑向載荷平衡條件,螺母A中所有滾珠的法向接觸載荷與外部徑向載荷Fr之間的關(guān)系可以表示為

(8)

1.2 理想情況下全滾珠載荷分布模型

根據(jù)上述分析,工作螺母A的實(shí)際載荷將隨著外部軸向載荷的增大而增大。而外部徑向載荷和尺寸誤差的存在將使螺母中每個滾珠的法向載荷出現(xiàn)巨大差異,因此,有必要對螺母中所有滾珠的載荷分布狀態(tài)進(jìn)行分析和建模。

圖4顯示了螺母A中單個滾珠的初始接觸狀態(tài)。絲杠和螺母滾道的法向截面為雙圓弧形狀,其中β0為變形前的初始接觸角,QAsi為螺母A中第i個滾珠與絲杠滾道接觸點(diǎn)處的法向載荷。

圖4 螺母A中的初始接觸角Fig.4 Initial contact angle in nut A

圖5 位置點(diǎn)的變形關(guān)系Fig.5 Displacement relation of position points

對于變形前的初始狀態(tài),絲杠滾道和螺母滾道的曲率中心之間的距離可以表示為

D=OnOs=rn+rs-db

(9)

式中,rs、rn分別為絲杠滾道法向截面半徑和螺母滾道法向截面半徑;db為滾珠的公稱直徑。

變形后,根據(jù)圖5所示的空間關(guān)系,絲杠滾道中心在法向接觸平面內(nèi)的橫向位移可表示為

(10)

其中,δAi為螺母A中第i個滾珠滾道法向截面內(nèi)相關(guān)幾何圓心的相對位移。同時,變形后絲杠和螺母滾道的曲率中心距離可以表示為

(11)

則螺母A中第i號滾珠與滾道之間的接觸變形可以表示為

(12)

螺母A中第i個滾珠變形后滾珠滾道接觸點(diǎn)處的接觸角為

(13)

基于Hertz接觸理論,接觸變形與接觸載荷之間的關(guān)系為

QAi=Kδ3/2

(14)

K=

式中,ks(e)、kn(e)分別為滾珠與絲杠、螺母之間接觸點(diǎn)處的第一橢圓積分,e為中間參數(shù);mas、man分別為滾珠與絲杠、螺母接觸橢圓的短半軸系數(shù);E′為等效彈性模量;∑ρs、∑ρn分別為滾珠與絲杠、螺母接觸點(diǎn)的主曲率和;μs、μn分別為滾珠與絲杠、螺母接觸側(cè)的泊松比;Es、En分別為滾珠與絲杠、螺母接觸側(cè)的彈性模量。

結(jié)合上述各式,滾珠絲杠的全滾珠載荷平衡關(guān)系為

(15)

1.3 考慮尺寸誤差的全滾珠載荷分布模型

滾珠絲杠的尺寸誤差主要包括滾珠直徑誤差和絲杠導(dǎo)程誤差。在滾珠絲杠傳動過程中,滾珠的直徑誤差EDi直接影響滾珠的載荷分布,絲杠的導(dǎo)程誤差EPi影響著螺母相對于絲杠的軸向變形,如圖6所示。

圖6 滾珠的尺寸誤差Fig.6 Dimensional error of the balls

考慮到滾珠絲杠尺寸誤差的影響,滾珠與滾道之間的接觸變形修正為

(16)

滾珠與滾道之間的接觸角修正為

(17)

存在誤差時,滾珠絲杠的全滾珠載荷平衡關(guān)系修正為

(18)

1.4 預(yù)緊雙螺母滾珠絲杠的軸向靜剛度

尺寸誤差和外部徑向載荷的存在,使得不同空間位置的滾珠所承受的法向載荷顯著不同。在承受外部載荷后,滾珠與滾道表面之間的法向彈性變形位移將導(dǎo)致螺母在軸向上相對于絲杠產(chǎn)生軸向變形。將預(yù)緊墊片視為一個理想剛體時,雙螺母整體的軸向變形δx實(shí)際上是螺母在承受外部載荷后的軸向變形δa|Fa,Fr與螺母在初始預(yù)緊狀態(tài)下的變形δa|FP之間的差值,可以表示為

δx=δa|Fa,Fr-δa|FP

(19)

式(18)和式(19)構(gòu)成了求解復(fù)合載荷下雙螺母滾珠絲杠副軸向變形位移的理論模型。對于滾珠絲杠,其靜剛度可描述抵抗軸向變形的能力,當(dāng)預(yù)緊雙螺母滾珠絲杠承受外部復(fù)合載荷時,其軸向靜剛度Ka實(shí)際為發(fā)生單位軸向變形位移所需要的外部軸向載荷的大小,可以表示為

(20)

因此,式(5)、式(18)、式(19)和式(20)構(gòu)成了求解復(fù)合載荷下預(yù)緊雙螺母滾珠絲杠軸向靜剛度的理論模型。模型中包含了多個非線性方程,需要特定的迭代方法進(jìn)行求解,并且針對多組外部復(fù)合載荷進(jìn)行求解計算時需要單獨(dú)迭代,從而可以獲得多組軸向變形位移和靜剛度。

2 模型求解和試驗(yàn)驗(yàn)證

2.1 軸向靜剛度的求解計算

以R40-8T5-FDDC型預(yù)緊雙螺母滾珠絲杠為例進(jìn)行求解計算,每個工作螺母中有68個滾珠,其中60個滾珠在滾道中承受載荷,8個滾珠在反向器中不承受載荷,其具體參數(shù)如表1所示。

表1 R40-8T5-FDDC型滾珠絲杠的主要參數(shù)Tab.1 Main parameters of R40-8T5-FDDC ball screw

對于墊片式預(yù)緊結(jié)構(gòu),工作螺母A和預(yù)緊螺母B將由于外部載荷而同步軸向平移,因此它們的軸向變形位移應(yīng)相同。隨著外部軸向載荷增大,工作螺母A的實(shí)際載荷會增大,而預(yù)緊螺母B的實(shí)際載荷會相應(yīng)減小,如圖7所示。當(dāng)外部軸向載荷增大到一定程度時,預(yù)緊螺母B的實(shí)際載荷減小到0,此時的外部軸向載荷稱為臨界軸向載荷Fl。此時,預(yù)緊螺母B中的滾珠與滾道脫離接觸,僅工作螺母A承受載荷,相當(dāng)于單螺母受載狀態(tài)。且臨界軸向載荷Fl與預(yù)緊力FP的大小有關(guān)。

圖7 螺母實(shí)際受載隨外部軸向載荷變化Fig.7 Actual axial load of the nuts varies with the external axial load

在具體的計算過程中,通過螺母載荷分配計算,將工作螺母A的實(shí)際載荷及其軸向變形位移作為整個螺母組合的軸向變形位移從而簡化計算,并使用Newton-Raphson迭代法計算出整體軸向靜剛度,具體求解流程如圖8所示,其中eRR為載荷收斂判據(jù)值,Δδa、Δδr分別為δa、δr的增量。

圖8 軸向靜剛度求解流程Fig.8 Flow chart of solving axial static stiffness

2.2 試驗(yàn)驗(yàn)證

為了驗(yàn)證考慮尺寸誤差和徑向載荷的雙螺母滾珠絲杠軸向靜剛度模型,本文使用山東大學(xué)自主開發(fā)的滾珠絲杠復(fù)合加載試驗(yàn)臺開展驗(yàn)證試驗(yàn)。試驗(yàn)臺的主要結(jié)構(gòu)組成如圖9所示,包括滾珠絲杠、直線導(dǎo)軌、工作臺、軸向電動缸、伺服電機(jī)、軸承、支撐導(dǎo)軌、龍門架、壓力傳感器、水平液壓缸、垂直液壓缸和光柵尺。通過測量雙螺母滾珠絲杠在預(yù)定載荷下的軸向變形位移,進(jìn)而獲得其軸向靜剛度,最后對試驗(yàn)結(jié)果和理論結(jié)果進(jìn)行了比較和分析。

圖9 滾珠絲杠加載試驗(yàn)臺結(jié)構(gòu)組成Fig.9 Structure of the ball screw loading test bench

本試驗(yàn)通過限制絲杠旋轉(zhuǎn)并借助工作臺向螺母同時施加軸向和徑向載荷來達(dá)到載荷施加要求,過程中使用激光干涉儀(XL-80,Renishaw,英國)測量滾珠絲杠的軸向變形位移,進(jìn)而通過換算獲得軸向靜剛度,試驗(yàn)的現(xiàn)場設(shè)置如圖10所示。

圖10 滾珠絲杠軸向變形試驗(yàn)現(xiàn)場Fig.10 Ball screw axial deformation test site

文獻(xiàn)[21]指出,對于雙螺母滾珠絲杠,螺母安裝方式對軸向靜剛度存在一定的影響,主要呈現(xiàn)在工作螺母的受載狀態(tài)。為在最大程度上降低滾珠絲杠的安裝方式對承載性能的影響,試驗(yàn)中滾珠絲杠的安裝遵循螺母法蘭靠近固定端的原則。在安裝過程中,嚴(yán)格遵循裝配工藝要求,多次使用激光校正安裝,使絲杠兩端軸承座和螺母座成三點(diǎn)一線,從而保證絲杠軸線和配套的導(dǎo)軌軸線平行,盡可能地減小安裝誤差對于測量數(shù)據(jù)準(zhǔn)確性的影響。

試驗(yàn)臺加載機(jī)構(gòu)可同時向工作臺施加外部軸向載荷和徑向載荷。外部徑向載荷施加0,2,4,6 kN四組水平。保持每組徑向載荷不變時,外部軸向載荷從0緩慢增大到40%Ca(Ca為額定動載荷),即18 kN。激光干涉儀的當(dāng)前位移測量數(shù)據(jù)每500 N記錄一次。試驗(yàn)重復(fù)三次,取每個數(shù)據(jù)采集點(diǎn)的平均值作為最終測得的軸向變形位移。

對于測試中使用的R40-8T5-FDDC滾珠絲杠,根據(jù)工廠設(shè)置參數(shù)表和國家標(biāo)準(zhǔn)GB/T 17587.3-2017,絲杠精度等級為P3,滾珠精度為G16,具體參數(shù)見表1。根據(jù)文獻(xiàn)[13]的相關(guān)研究,滾珠絲杠制造過程中產(chǎn)生的尺寸誤差服從正態(tài)分布,由相應(yīng)精度公差值和拉依達(dá)準(zhǔn)則(3σ準(zhǔn)則),將滾珠直徑誤差(μm)設(shè)置為N(0,(0.8/6)2),將滾道導(dǎo)程誤差(μm)設(shè)置為N(0,(4/6)2)。以外部軸向載荷為X軸、測量的軸向變形位移為Y軸,繪制了不同外部徑向載荷條件下測量數(shù)據(jù)的散點(diǎn)圖。同時基于MATLAB軟件,采用Newton-Raphson迭代法計算了預(yù)緊雙螺母滾珠絲杠在不同徑向和軸向載荷下的軸向變形位移,數(shù)值計算結(jié)果與試驗(yàn)結(jié)果的對比如圖11所示。根據(jù)式(20)將試驗(yàn)變形位移換算為軸向靜剛度值并與理論值進(jìn)行對比,如圖12所示。

圖11 軸向變形試驗(yàn)結(jié)果與理論結(jié)果對比Fig.11 Comparison of experimental results and theoretical results of axial deformation

圖12 軸向靜剛度試驗(yàn)結(jié)果與理論結(jié)果對比Fig.12 Comparison of experimental results and theoretical results of axial static stiffness

從試驗(yàn)結(jié)果對比中可以看出,軸向變形位移與軸向靜剛度的試驗(yàn)值與理論值吻合良好。四個外部徑向載荷水平下的平均相對偏差分別約為14.3%、13.8%、12.1%和9%,表明模型具有較高的計算精度。當(dāng)外部軸向載荷達(dá)到12.43 kN時,軸向變形位移的曲線斜率增大,軸向靜剛度呈現(xiàn)一次急劇下降的趨勢。這是因?yàn)?2.43 kN是預(yù)緊力FP為4.41 kN時雙螺母滾珠絲杠的理論臨界軸向載荷Fl。當(dāng)外部軸向載荷大于12.43 kN時,預(yù)緊螺母B中滾珠與滾道脫離接觸并失去預(yù)緊效果,此時只有工作螺母A承受軸向載荷,相當(dāng)于單螺母受載狀態(tài)。

根據(jù)1.1節(jié)中建立的螺母載荷分配模型,當(dāng)預(yù)緊力FP=4.41 kN時,軸向臨界載荷Fl為12.43 kN,對應(yīng)的臨界軸向變形位移為δl。圖11中,當(dāng)外部軸向載荷Fa為12.43 kN,外部徑向載荷Fr為2,4,6 kN時,軸向變形位移δa均大于Fr=0時的位移值,也就是說Fr分別為2,4,6 kN時雙螺母滾珠絲杠的軸向臨界載荷Fl實(shí)際上會略小于12.43 kN。出現(xiàn)這一現(xiàn)象的原因是在螺母載荷分配計算過程中對徑向載荷進(jìn)行了簡化處理,忽略了它造成的影響。

值得注意的是,圖11中顯示軸向變形位移的試驗(yàn)測量值通常高于理論值,軸向靜剛度的試驗(yàn)值通常低于理論值。這是因?yàn)樵诮⒛Ｐ蜁r,主要考慮了滾珠與滾道間的接觸變形,而忽略了實(shí)際工作臺、軸承、絲杠、螺母等的變形和扭轉(zhuǎn)剛度帶來的影響。由于試驗(yàn)設(shè)備和條件的限制,無法準(zhǔn)確測量試驗(yàn)臺軸向傳動系統(tǒng)各部件的準(zhǔn)確變形,只能從整體變形位移的角度來驗(yàn)證模型的準(zhǔn)確性,因此,本文建立的計算模型可以在一定程度上通過考慮外部徑向載荷和尺寸誤差來計算滾珠絲杠的載荷分布,進(jìn)而獲得預(yù)緊雙螺母滾珠絲杠的軸向變形位移和軸向靜剛度。

3 結(jié)果和討論

3.1 外部徑向載荷對軸向靜剛度的影響

圖13顯示了預(yù)緊雙螺母滾珠絲杠的軸向變形位移隨外部軸徑向載荷的變化。在保持外部徑向載荷不變的情況下,當(dāng)外部軸向載荷從0 變化到18 kN時,軸向變形位移相應(yīng)按照不同的趨勢增大。當(dāng)外部徑向載荷從0變化到6 kN時,滾珠絲杠的軸向變形位移急劇增大,并且變化得越來越快。當(dāng)不承受外部徑向載荷時,軸向變形位移隨外部軸向載荷線性變化,這與LIU等[20]的模型計算相符。由圖13可以看出,在外部軸向載荷較小的情況下,外部徑向載荷對滾珠絲杠的軸向變形位移的影響更集中。當(dāng)外部軸向載荷Fa<9 kN和外部徑向載荷Fr>3 kN時,軸向變形位移變化非常劇烈,這是由于外部徑向載荷使得部分滾珠與滾道脫離接觸所致。

圖13 軸向變形位移隨外部載荷變化Fig.13 Variation of the axial deformation displacement with external loads

當(dāng)外部軸向載荷Fa=5 kN、外部徑向載荷Fr在1～5 kN之間變化時滾珠的載荷分布如圖14所示。工作螺母A中的滾珠有2.5圈,相應(yīng)的滾珠載荷分布呈現(xiàn)2.5個正弦周期。當(dāng)外部徑向載荷增大時,滾珠載荷分布的幅度相應(yīng)地增大,滾珠的載荷分布峰值出現(xiàn)在1號、24號和49號滾珠上,它們恰好為工作螺母A的受力側(cè)。隨著外部徑向載荷逐漸增大,滾珠上的最大法向接觸載荷從202.38 N增大到510.23 N,最小法向接觸載荷從125.35 N減小到0,所有滾珠的法向接觸載荷極差從77.02 N增大到510.23 N。當(dāng)外部徑向載荷Fr>3 kN時,非承載滾珠開始出現(xiàn),承載載荷的滾珠數(shù)量減少,每個滾珠將由于更大的法向接觸載荷而發(fā)生更大的變形,因此滾珠絲杠將產(chǎn)生更大的軸向變形位移。

圖14 Fa=5 kN時滾珠載荷分布隨Fr的變化Fig.14 Variation of ball load distribution with Fr when Fa=5 kN

外部軸向載荷Fa=9 kN、外部徑向載荷Fr在1～5 kN之間變化時滾珠的載荷分布如圖15所示。與Fa=5 kN相比,Fa=9 kN時每個滾珠上的載荷分布相應(yīng)增大,但保持相同的周期性變化。隨著外部徑向載荷的增大,滾珠的載荷分布幅度增大,但增大的速度減小。滾珠的最大法向接觸載荷從287.65 N增大到591.87 N,最小法向載荷從153.57 N減小到78.43 N,所有滾珠的法向接觸載荷極差從34.08 N增大到513.44 N。當(dāng)外部徑向載荷較大時,不受載滾珠的數(shù)量顯著減少,所有滾珠載荷分布的差異性變化緩慢。當(dāng)螺母承受同樣水平的外部徑向載荷時,較大的外部徑向載荷會使得承載滾珠的數(shù)量更多,滾珠載荷的差異性也同時減小。

圖16展示了預(yù)緊雙螺母滾珠絲杠的軸向靜剛度隨外部軸向載荷和外部徑向載荷的變化。在保持外部軸向載荷不變的情況下,軸向靜剛度隨著外部徑向載荷的增大而相應(yīng)減小,并且減小速度越來越快。當(dāng)外部軸向載荷較小時,外部徑向載荷的增大使得軸向靜剛度顯著減小。然而,對于不同水平下的外部徑向載荷,隨著外部軸向載荷的增大,軸向靜剛度呈現(xiàn)不同的變化規(guī)律。當(dāng)受到較小的外部徑向載荷時,隨著外部軸向載荷的增大,軸向靜剛度先減小后增大。當(dāng)受到較大的外部徑向載荷時,隨著外部軸向載荷的增大,軸向靜剛度先增大后減小再增大。

圖16 軸向靜剛度隨外部加載的變化Fig.16 Variation of the axial static stiffness with external loads

當(dāng)外部軸向載荷達(dá)到12.43 kN時,軸向靜剛度同樣呈現(xiàn)出一次驟降現(xiàn)象,這是因?yàn)?2.43 kN是臨界軸向載荷值,而預(yù)緊螺母B恰好處于卸載狀態(tài),此時相當(dāng)于單螺母受載狀態(tài)。當(dāng)外部軸向載荷繼續(xù)增大至超過雙螺母滾珠絲杠的臨界軸向載荷值時,軸向靜剛度會隨著外部軸向載荷的增大而增大。值得注意的是,通過較高的外部軸向載荷引起的足夠大的彈性變形可以抵消由于外部徑向載荷引起的滾珠受載不均而造成的雙螺母滾珠絲杠的低剛度區(qū),而這個抵消的范圍隨著徑向載荷的增大而減小,這種現(xiàn)象也可以與前述的滾珠載荷分布變化得到印證。

3.2 尺寸誤差復(fù)合外部徑向載荷對軸向靜剛度的影響

從模型的建立過程可以看出,滾珠的尺寸誤差和滾珠絲杠滾道的導(dǎo)程誤差對軸向變形位移和軸向靜剛度具有相似的影響,因此,本文僅以滾珠尺寸誤差為例,分析它對雙螺母預(yù)緊滾珠絲杠軸向變形位移和軸向靜剛度的影響。

滾珠的精度對滾珠絲杠的傳動性能有重要影響。根據(jù)機(jī)械設(shè)計手冊,具有不同滾珠精度的滾珠直徑誤差如表2所示。滾珠精度等級的數(shù)量越多,精度越低,滾珠直徑誤差越大。圖17展示了根據(jù)MATLAB生成的每個滾珠精度等級服從正態(tài)分布的滾珠直徑誤差數(shù)據(jù),用以分析滾珠絲杠的軸向變形位移和軸向靜剛度的變化。

表2 滾珠精度及公差Tab.2 Ball precision and dimensional error

圖17 不同滾珠精度產(chǎn)生的尺寸誤差Fig.17 Ball dimensional errors due to different ball precision

圖18顯示了在外部軸向載荷Fa=5 kN和外部徑向載荷Fr=1 kN條件下,工作螺母A的滾珠精度為G10～G60時的滾珠的載荷分布。隨著滾珠精度等級的降低,滾珠的實(shí)際直徑差異性明顯,每個滾珠產(chǎn)生的法向接觸變形變得不均勻。過大的滾珠尺寸會使?jié)L珠承受過高的載荷,而過小的滾珠尺寸則會使?jié)L珠承擔(dān)較低的載荷,甚至?xí)皇茌d,使?jié)L珠的載荷分布發(fā)生很大變化。全滾珠的不均勻載荷分布會顯著影響滾珠絲杠的軸向變形位移和軸向靜剛度。

圖18 Fa=5 kN、Fr=1 kN時滾珠載荷分布隨滾珠精度的變化Fig.18 Variation of ball load distribution with ball precision when Fa=5 kN,Fr=1 kN

軸向變形位移隨外部軸向載荷和滾珠精度等級的變化如圖19所示。在相同的外部軸向載荷下,滾珠精度越低,滾珠絲杠的軸向變形位移越大。當(dāng)滾珠精度為G10～G40時,軸向變形位移的差異并不明顯,這是因?yàn)楸M管滾珠之間存在尺寸差異,但滾珠之間的載荷分布波動性不夠劇烈,且沒有不受載滾珠,如圖18所示。當(dāng)滾珠精度繼續(xù)降低到G60、G100和G200等級時,軸向變形位移顯著增大。這是因?yàn)椴煌瑵L珠之間的尺寸差異過大,從而導(dǎo)致產(chǎn)生更多的不受載滾珠,因此軸向變形位移隨著滾珠精度的降低而增大,并且變化得越來越快。

圖19 軸向變形位移隨滾珠精度的變化Fig.19 Variation of axial deformation displacement with ball precision

滾珠精度影響滾珠載荷分布引起的軸向變形位移的變化,同樣影響著軸向靜剛度。當(dāng)保持外部徑向載荷Fr=1 kN時,預(yù)緊雙螺母滾珠絲杠的軸向靜剛度隨外部軸向載荷和滾珠精度的變化如圖20所示。在相同的外部軸向載荷下,隨著滾珠精度的降低,滾珠直徑誤差的增大導(dǎo)致軸向變形位移增大,滾珠絲杠的軸向靜剛度相應(yīng)降低。這種剛度的降低適用于整個軸向外部載荷范圍。隨著外部軸向載荷從0增大到3 kN,軸向靜剛度略微增大。原因是外部軸向載荷抵消了外部徑向載荷引起的低剛度效應(yīng)。然而,由于滾珠精度的降低,這種抵消低剛度的效應(yīng)是不夠的。隨著外部軸向載荷持續(xù)增大直到超過絲杠的臨界軸向載荷,不同滾珠精度下的軸向靜剛度同步降低,當(dāng)外部軸向載荷達(dá)到臨界外部軸向載荷時,軸向靜剛度急劇減小而后繼續(xù)增大,與前述情況一致。結(jié)合圖18中不同滾珠精度下的滾珠載荷分布情況,較低的滾珠精度會帶來較大的滾珠直徑誤差,且會減少實(shí)際承受載荷的滾珠數(shù)量,從而降低滾珠絲杠的軸向靜剛度。

圖20 軸向靜剛度隨滾珠精度的變化Fig.20 Variation of axial static stiffness with ball precision

4 結(jié)論

本文分析了預(yù)緊雙螺母滾珠絲杠在軸向和徑向復(fù)合載荷作用下的協(xié)同變形關(guān)系?；谑芰ζ胶?得到滾珠載荷分布模型,進(jìn)一步計算了滾珠絲杠在不同載荷條件下的軸向變形位移和軸向靜剛度。數(shù)值模擬了外部徑向載荷和滾珠尺寸誤差對滾珠絲杠軸向靜剛度的影響。結(jié)論如下:

(1)工作螺母和預(yù)緊螺母分配的實(shí)際軸向載荷與臨界外部軸向載荷和預(yù)緊力有關(guān)。當(dāng)超過臨界外部軸向載荷時,它實(shí)際上變成了單螺母接觸狀態(tài),滾珠絲杠的軸向變形位移增大得更快,軸向靜剛度呈現(xiàn)出先急劇減小、然后緩慢增大的變化趨勢。

(2)隨著外部徑向載荷的增大,滾珠的法向接觸載荷不均勻性增大,進(jìn)而出現(xiàn)不受載滾珠,導(dǎo)致滾珠絲杠的軸向變形位移增大,軸向靜剛度減小。當(dāng)外部軸向載荷較小而外部徑向載荷較大時,將表現(xiàn)出明顯的“低剛度區(qū)”,而這種現(xiàn)象可以隨著軸向載荷的增大在一定程度上被抵消。

(3)滾珠尺寸誤差的增大同樣會使得不同滾珠之間的負(fù)載差異變得顯著。隨著滾珠精度的降低,滾珠絲杠在相同載荷下的軸向變形位移增大,軸向靜剛度減小。與徑向載荷帶來的低剛度影響不同的是,外部軸向載荷的增大并不能消除因滾珠精度降低而產(chǎn)生的“低剛度區(qū)”。

本文詳細(xì)分析了考慮尺寸誤差時預(yù)緊雙螺母滾珠絲杠在軸徑向復(fù)合受載過程中的軸向變形位移和軸向靜剛度變化,這有助于指導(dǎo)預(yù)緊雙螺母滾珠絲杠在靜止或低速工況下的承載能力評估和精度設(shè)計。