G可數(shù)緊空間

劉 麗

(寧德師范學(xué)院數(shù)理學(xué)院, 福建 寧德 352100)

序列的收斂性是數(shù)學(xué)中的一個(gè)基本概念．長(zhǎng)期以來(lái), 通常收斂概念的深化一直是拓?fù)鋵W(xué)與分析學(xué)的一個(gè)有趣的研究方向, 如, 實(shí)分析中的統(tǒng)計(jì)收斂[1], 泛函分析中的幾乎收斂[2]、理想收斂[3]等．近期, Lin等[4]引入了任意集合上的G-方法及G-收斂性, 討論了拓?fù)淇臻g中保持G-收斂映射與連續(xù)映射之間的關(guān)系, 引起了相關(guān)學(xué)者的關(guān)注[5-6]．在拓?fù)鋵W(xué)中, 與序列相關(guān)的緊性主要有序列緊性及可數(shù)緊性等．筆者于2009 年研究了G-方法下的序列緊性[7]． Cakalli[8]在拓?fù)淙褐醒芯苛薌序列可數(shù)緊性.本文基于G-收斂性定義了一般空間中的G-可數(shù)緊性, 研究了其基本性質(zhì)及其與相關(guān)空間的基本關(guān)系．

1 預(yù)備知識(shí)

定義2[4]設(shè)G是拓?fù)淇臻gX上的方法,A?X, 有

2) 若XA是X的G-閉集, 則稱A為X的G-開(kāi)集．

定義3設(shè)X是拓?fù)淇臻g,G:cG(X)→X．

顯然, 正則方法是點(diǎn)式方法．通過(guò)正則方法或子序列方法, 可以建立G-收斂與X中收斂序列的密切聯(lián)系[4]．

定義4[4]設(shè)G是拓?fù)淇臻gX的方法,A?X．若存在X中的G-開(kāi)集U使得x∈U?A, 則稱A為x∈X的G-鄰域．

定義5[4]設(shè)G是拓?fù)淇臻gX上的方法．若X中每一G-閉集是閉集, 則稱X為G-序列空間．

定義6[7]設(shè)G是拓?fù)淇臻gX上的方法．若X中任意序列有G-收斂的子序列, 則稱X為G-序列緊空間．

對(duì)于文中未給出的定義或記號(hào), 讀者可從文獻(xiàn)[4]、 [10]查閱．

若拓?fù)淇臻gX的每一可數(shù)開(kāi)覆蓋具有有限子覆蓋,則稱X為可數(shù)緊空間[10]．可數(shù)緊性可用聚點(diǎn)的概念來(lái)描述．

引理1[11]對(duì)于拓?fù)淇臻gX下述條件相互等價(jià):

1)X是可數(shù)緊空間;

2)X中的每一序列有聚點(diǎn);

3)X的每一無(wú)限集A存在ω聚點(diǎn), 即存在x∈X使得x的任意鄰域含有集A的無(wú)限個(gè)點(diǎn)．

鑒于在正則條件下“收斂序列是G-收斂序列”, 以及一些與G-收斂概念相關(guān)的拓?fù)淇臻g的定義[4], “G-可數(shù)緊空間”至少滿足:“正則或者其他條件下, 可數(shù)緊空間是G-可數(shù)緊空間”, 以及“G-序列緊空間是G-可數(shù)緊空間”．由引理1, 可以嘗試從集合的“聚點(diǎn)”著手來(lái)定義G-可數(shù)緊空間．下面介紹G-收斂下聚點(diǎn)的定義與刻畫(huà).

定義7[9]設(shè)G是拓?fù)淇臻gX的方法,x∈X,A?X．

1) 若對(duì)x的任意G-鄰域U, 有U∩(A{x})≠φ, 則稱x∈X為A的G-聚點(diǎn)．A的全體G-聚點(diǎn)之集稱為A的G-導(dǎo)集, 記作AdG．

顯然, 任意A?X, 則AG=A∪AdG[9]．

引理2[9]設(shè)G是拓?fù)淇臻gX的方法,A?X．那么

1) (A′)G?AdG．

2) 若G是X上的子序列方法, 則(A′)G?Ad．

俗話說(shuō)，樹(shù)高千尺不忘根，創(chuàng)業(yè)致富不忘本。涂桑田稻田養(yǎng)蝦成功后，被村黨支部和村民兵評(píng)為“稻蝦共作”致富標(biāo)兵和產(chǎn)業(yè)脫貧致富明星。為了使鄉(xiāng)鄰共同養(yǎng)殖致富，他把自己的養(yǎng)蝦技術(shù)和經(jīng)驗(yàn)傳授給鄉(xiāng)鄰。得知涂新旺、涂萬(wàn)田、陳新友等17戶貧困戶致富無(wú)門(mén)路，涂桑田就積極聯(lián)系機(jī)械設(shè)備幫助他們對(duì)稻田養(yǎng)蝦的低洼田進(jìn)行改造，達(dá)到溝、渠、路配套。同時(shí)，涂桑田以自家農(nóng)場(chǎng)為培訓(xùn)基地，組織貧困養(yǎng)蝦戶免費(fèi)到基地參觀學(xué)習(xí)。在育秧插秧和投放蝦苗季節(jié)，涂桑田親自到現(xiàn)場(chǎng)進(jìn)行技術(shù)指導(dǎo)。全鎮(zhèn)已有20多戶貧困戶開(kāi)始稻田養(yǎng)蝦，與桑田家庭農(nóng)場(chǎng)結(jié)成了利益共同體。

3) 若X是G-序列空間, 則Ad?AdG．

4) 若X是G-Fr’echet空間則Ad?(A′)G．

Cakalli[8]在第一可數(shù)的拓?fù)淙荷隙x了G-序列可數(shù)緊空間X(G-sequentially countably compact space): 若X中每一無(wú)限子集F至少含有一個(gè)G-序列聚點(diǎn)．因序列的G-收斂點(diǎn)不一定是由序列構(gòu)成的集合的G-序列聚點(diǎn), 故此條件下G-序列緊空間不一定是G-序列可數(shù)緊空間, 詳見(jiàn)例4．此外, 正則條件下, 集合的ω聚點(diǎn)不一定是G-序列聚點(diǎn), 例如, 在Arens空間X={0}∪N∪N2[11]中, 令G:cG(X)→X為通常的序列收斂, 則G是正則方法．此時(shí),{0}是無(wú)限子集N的ω聚點(diǎn)但不是G-序列聚點(diǎn)．因此, 在正則條件下, 可數(shù)緊空間亦不一定是G-序列可數(shù)緊空間．根據(jù)上述分析, 本文從集合的G-聚點(diǎn)出發(fā), 定義G-可數(shù)緊空間．

定義8設(shè)G是拓?fù)淇臻gX的方法,F?X．若F中每一無(wú)限子集至少含有一個(gè)G-聚點(diǎn), 則稱F為X的G-可數(shù)緊子集．

下面討論G-可數(shù)緊與可數(shù)緊子集的關(guān)系．

定理1設(shè)G是序列空間X上的正則方法．若F是X的可數(shù)緊子集, 則F是X的G-可數(shù)緊子集．

證明 若F是X的有限子集, 結(jié)論顯然成立; 若F是X的無(wú)限子集, 任取F的無(wú)限子集A, 設(shè)A中每點(diǎn)互異, 若AdG=φ, 則任意a∈X,a?AdG．由定義7, 存在a的G-鄰域U使得U∩(A{a})=φ．因?yàn)镚是序列空間X上的正則方法, 所以U是a的鄰域且U∩(A{a})=φ, 于是a不是A的ω聚點(diǎn)．這與F是X的可數(shù)緊子集矛盾, 故AdG≠φ．由定義8,F是X的G-可數(shù)緊子集．

定理1中的正則方法條件不可?。?/p>

例1存在第一可數(shù)空間X及X上的非正則方法G, 使得X的某一可數(shù)緊子集不是G-可數(shù)緊的．

令X=[0,ω1], 賦予序拓?fù)洌@然,X是第一可數(shù)的序列緊空間．

令A(yù)=[0,ω]．任意x∈X, 因N?A且{x}是點(diǎn)x的G-鄰域, 此時(shí)N∩({x}x)=φ, 故NdG=φ,于是無(wú)限子集N無(wú)G-聚點(diǎn)．因而A是X的可數(shù)緊子集但不是G-可數(shù)緊的．

定理2設(shè)G是拓?fù)淇臻gX上的子序列方法．若F是X的G-可數(shù)緊子集, 則F是X的可數(shù)緊子集．

定理2中的子序列方法不可?。?/p>

例2存在序列空間X及X上的非子序列方法, 使得X的某一G-可數(shù)緊子集不是可數(shù)緊的．

令X=R, 賦予通常拓?fù)? 則X是序列空間．

因A是無(wú)限集, 故A?{a},AdG={a}≠φ, 于是A是G-可數(shù)緊的．

下面討論G-可數(shù)緊子集,G-序列可數(shù)緊子集,G-序列緊子集之間的關(guān)系．

定理3設(shè)G是集X上的方法．若F是X的G-序列緊子集, 則F是X的G-可數(shù)緊子集．

例3G-可數(shù)緊子集不一定是G-序列緊子集．

令X=R, 賦予通常拓?fù)洌?/p>

若X是可數(shù)緊的序列空間, 則X是序列緊空間[10]．那么, 在序列空間或者G-序列空間下, 是否有相應(yīng)關(guān)系呢?

定理4設(shè)G是序列空間X上的正則的子序列方法,則X上每一G-可數(shù)緊子集是G-序列緊子集．

上述定理中的正則方法可以弱化成點(diǎn)式方法．

定理5設(shè)G是G-序列空間X上的點(diǎn)式的子序列方法, 則X上每一G-可數(shù)緊子集是G-序列緊子集．

證明 設(shè)F是X中的G-可數(shù)緊子集．由G-是子序列方法和定理2知F是X的可數(shù)緊子集．任取F中序列 {xn}n∈N, 下證 {xn}n∈N有G-收斂的子序列．若序列 {xn}n∈N有無(wú)限項(xiàng)相同, 因G是點(diǎn)式方法, 結(jié)論成立; 若序列 {xn}n∈N滿足?n≠m,xn≠xm, 令A(yù)={xn:n∈N}, 因F是可數(shù)緊子集, 故A至少有一個(gè)聚點(diǎn)x．令B=A{x}, 則B不是閉集．由X是G-序列空間, 知B不是G-閉集,于是存在 {yn}n∈N?B?A和y∈XB使得 {yn}n∈NG-收斂于y, 此時(shí)序列 {xn}n∈N有G-收斂的子序列 {yn}n∈N．由定義6,F是G-序列緊子集．

下面討論Cakalli[8]定義的G-序列可數(shù)緊子集與G-序列緊子集、G-可數(shù)緊子集之間的關(guān)系．

例4G-序列緊子集不一定是G-序列可數(shù)緊子集．

由例3知,F亦是X的G-序列可數(shù)緊子集, 故G-序列可數(shù)緊子集不一定是G-序列緊子集．

由引理2, 可得:

推論1設(shè)G是集X上的方法． 若F是X的G-序列可數(shù)緊子集, 則F是X的G-可數(shù)緊子集．

結(jié)合定理3與例4, 可得G-可數(shù)緊子集不一定是G-序列可數(shù)緊子集．