帶p-Laplace算子的離散混合邊值問題負凸解的存在性*

趙亞麗， 陳天蘭

西北師范大學(xué)數(shù)學(xué)與統(tǒng)計學(xué)院， 甘肅 蘭州 730070

設(shè) Z 是整數(shù)集，對任意a，b∈Z 且a

Ercole et al（.2001）運用錐上的不動點定理研究了一類帶p-Laplace 算子的離散混合邊值問題

正解的存在性，其中λ> 0 是參數(shù)，T為固定的正整數(shù)，T≥1，且F： [1，T]Z×[0，+ ∞ )→[0，+ ∞)連續(xù).Tian et al.（2008）運用臨界點理論研究了一類帶p-Laplace 算子的離散 Neumann 邊值問題

負 凸 解 的 存 在 性.若u(t) 滿 足 問 題（1）～（2），且 對 任 意t∈[2，T- 1]Z有u(t) ≤0，同 時，由 于t∈[2，T- 1]Z有 △2u(t- 1) ≥0，則u(t) 是問題（1）～（2）的負凸解.運用變量代換υ(t) = -u(t)，則問題（1）～（2）轉(zhuǎn)化為

顯然，問題（3）～（4）正凹解對應(yīng)問題（1）～（2）負凸解，因此，只需討論問題（3）～（4）正凹解的存在性，進而獲得問題（1）～（2）負凸解的存在性.本文總假定：

(H0)f： [2，T- 1 ]Z×[0，+ ∞ )→[0，+ ∞)連續(xù).

本文主要結(jié)果如下.

定理1 假定 (H0) 成立且f滿足

在[2，T- 1 ]Z上一致成立，且

其中M1> 1，則問題（1）～（2）至少存在一個負凸解.

1 預(yù)備知識

引理1（Krasnosel?skiǐ，1964） 設(shè)X是Banach空間，K是X的非空閉子集，Ω是X的一個子集，記

2 主要結(jié)果的證明

定義K上的非線性算子A，

故引理1中（i）成立.

且 2φ-1p[(T- 3)?2(σd)]≥σd.故條件(H2)成立.

由定理1可知，問題（3）～（4）至少存在一個正凹解，則問題（1）～（2）至少存在一個負凸解.定理3的證明 類同定理2 的證明.