鍛煉數(shù)學(xué)思維 提升核心素養(yǎng)

李兆新

(灌云縣第一中學(xué),江蘇 連云港 222200)

2023年高考數(shù)學(xué)新課標(biāo)Ⅰ卷在反套路、反機(jī)械刷題上下足了功夫,突出強(qiáng)調(diào)對(duì)基礎(chǔ)知識(shí)和基本概念的深入理解和靈活掌握,注重考查學(xué)科知識(shí)的綜合應(yīng)用能力,落實(shí)中國(guó)高考評(píng)價(jià)體系中“四翼”的考查要求.其中,第7題的數(shù)列題,就很好地考查了考生的數(shù)學(xué)探究能力、落實(shí)了“四翼”的要求.教師應(yīng)合理設(shè)計(jì)、適時(shí)引導(dǎo),引導(dǎo)學(xué)生從類比、模仿到自主創(chuàng)新,從而讓學(xué)生在探究中鍛煉數(shù)學(xué)思維,提升核心素養(yǎng).

1 真題再現(xiàn)

A.甲是乙的充分條件但不是必要條件

B.甲是乙的必要條件但不是充分條件

C.甲是乙的充要條件

D.甲既不是乙的充分條件也不是乙的必要條件

2 一題多解

思路1 定義法,即{an}為等差數(shù)列?an+1-an=d.

兩式相減得an=nan+1-(n-1)an-2nD=n(an+1-an)+an-2nD,即an+1-an=2D,對(duì)n=1也成立,因此{(lán)an}為等差數(shù)列,則甲是乙的必要條件[1].

綜上,甲是乙的充要條件,選C.

思路2通項(xiàng)公式法,即{an}為等差數(shù)列?an=pn+q.

綜上,甲是乙的充要條件,選C.

3 題后反思

經(jīng)過探究,可得:

性質(zhì)3{an}為等比數(shù)列(q≠1)?Sn=kqn-k(k≠0,q≠1)?存在非零常數(shù)k,使{Sn+k}為等比數(shù)列.

性質(zhì)4{an}是等比數(shù)列(q≠1)?Sn=s+tan(s≠0,t≠0,1).

4 課本溯源

2019年人教A版《數(shù)學(xué)選擇性必修第二冊(cè)》第25頁習(xí)題7:

已知Sn是等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和.

分析第(1)的結(jié)論就說明了甲是乙的充分條件.

5 試題推廣

我們先來探究等差數(shù)列下角標(biāo)性質(zhì)的不等關(guān)系.

設(shè){an}是正項(xiàng)等差數(shù)列,公差為d(d>0),前n項(xiàng)和為Sn,m,n,p,q均為正整數(shù). 若n

命題1aman

證明先證mn

因?yàn)閚

mn-pq=mn-p(m+n-p)=mn-pm-pn+p2=(m-p)(n-p)<0,

即mn

因?yàn)閙+n=p+q,mn

命題2mam+nan>pap+qaq.

證明因?yàn)閙+n=p+q,且d>0,所以

mam+nan-pap-qaq=m[a1+(m-1)d]+n[a1+(n-1)d]-p[a1+(p-1)d]-q[a1+(q-1)d]=(m+n-p-q)a1+[m(m-1)+n(n-1)-p(p-1)-q(q-1)]d=(m2-m+n2-n-p2+p-q2+q)d=[(m2-p2)-(m-p)-(q2-n2)+(q-n)]d=[(m-p)(m+p-1)-(q-n)(q+n-1)]d=λ(m+n+p+q-2)d.

其中λ=m-p=q-n>0,又d>0,且m+n+p+q-2>0,故mam+nan>pap+qaq.

命題3Sm+Sn>Sp+Sq.

命題4SmSn

6 變式提升

類比到等比數(shù)列,可得到如下的變式題.

變式題已知數(shù)列{an}的各項(xiàng)均為正數(shù),記Sn為{an}的前n項(xiàng)和,從下面①②③中選取兩個(gè)作為條件,證明另外一個(gè)成立.

①數(shù)列{an}是等比數(shù)列;②數(shù)列{Sn+a1}是等比數(shù)列;③a2=2a1.

注:若選擇不同的組合分別解答,則按第一個(gè)解答計(jì)分.

解答過程留給讀者完成.

7 高考預(yù)測(cè)

預(yù)測(cè)題 設(shè)甲:{an+1}是等比數(shù)列;乙:{Sn+n}是等比數(shù)列,已知兩個(gè)數(shù)列的公比都不等于1,則( ).

A.甲是乙的充分條件但不是必要條件

B.甲是乙的必要條件但不是充分條件

C.甲是乙的充要條件

D.甲既不是乙的充分條件也不是乙的必要條件

若{Sn+n}是等比數(shù)列,則Sn+n=(a1+1)qn-1,從而Sn-1+(n-1)=(a1+1)qn-2,兩式相減得an+1=(a1+1)(1-q)qn-2(n≥2),這對(duì)n=1不成立,因此{(lán)an+1}不是等比數(shù)列,則甲不是乙的必要條件.

綜上,甲既不是乙的充分條件也不是乙的必要條件,選D.

對(duì)于一道經(jīng)典的高考題來說,我們不能就題論題,更不能把題目做完了就算了.我們應(yīng)該從以下的幾個(gè)角度來進(jìn)行探究:(1)學(xué)生是怎么來解這道題的?(2)試題還可以做哪些推廣?(3)試題的題根源自哪里?(4)試題還可以怎么變式?(5)接下來該如何備考?(6)如何進(jìn)行試題預(yù)測(cè)?教師可以從以上角度來進(jìn)行教學(xué)設(shè)計(jì)或者講評(píng)設(shè)計(jì),讓學(xué)生在探究中成長(zhǎng),在探究中鍛煉數(shù)學(xué)思維,提升核心素養(yǎng).通過研究性學(xué)習(xí),積累發(fā)現(xiàn)和提出問題、分析和解決問題的經(jīng)驗(yàn),養(yǎng)成獨(dú)立思考與合作交流的習(xí)慣,達(dá)到做一道題而會(huì)一類題的效果[2].