對一道高考比較大小試題的深度探究

胡 堅

(江蘇省淮安市金湖縣第二中學(xué),江蘇 淮安 211600)

三角函數(shù)式、對數(shù)式和指數(shù)式的比較大小問題,一直都是高考的難點.那么,如何破解這一類比較大小試題呢? 這就需要我們深度研究高考真題,弄清楚試題的背景與來源,以及試題的命制思路.筆者以2022年高考數(shù)學(xué)全國甲卷第12題為例,進行深度探究,希望可以給讀者帶來一些啟示.

1 真題再現(xiàn)

2022年高考數(shù)學(xué)全國甲卷第12題[1]如下:

A.c>b>aB.b>a>cC.a>b>cD.a>c>b

2 試題分析

本題以三角函數(shù)值的大小關(guān)系為情境,考查三角式大小的比較.常見的處理方法是常數(shù)換元、構(gòu)造函數(shù),利用函數(shù)單調(diào)性或利用已知的函數(shù)放縮不等式.

3 解法探究

思路1作差,輔助角公式

解法1對于a,b.

對于b,c.

綜上,c>b>a.選A.

解法2對于a,b.

對于b,c.

綜上,c>a>b.選A.

綜上,c>b>a.選A.

4 題后反思

圖1 三角函數(shù)線

該證明體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合的思想.

5 課本溯源

2019年人教A版《普通高中教科書 數(shù)學(xué)必修 第一冊》第256頁習題26如下:

試用你的計算工具計算cos0.3,并與上述結(jié)果比較[2-3].

下面補充正切函數(shù)、對數(shù)函數(shù)和指數(shù)函數(shù)的泰勒公式:

6 試題推廣

本題作為小題,如果能夠利用結(jié)論或者泰勒公式就是最好不過. 如果不知道結(jié)論或者泰勒公式,那么破解此類題型的通法就是選擇a,b,c共有的一個較小的常數(shù),記為x,然后構(gòu)造函數(shù),求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù),利用其單調(diào)性進行比較大小.這樣的題型和方法在2021年全國乙卷出現(xiàn)過.

A.a

7 變式訓(xùn)練

變式1設(shè)a=log32,b=log53,c=log64,則( ).

A.a

解3a=log38∈(1,2),3b=log527∈(2,3),所以a

4b=log581∈(2,3),4c=log6256∈(3,4),所以b

A.a

A.c

A.a