巧用定義求解高中數(shù)學(xué)圓錐曲線方程

王 曦

(吉林省長(zhǎng)春市一三七中學(xué),吉林 長(zhǎng)春 130052)

高中數(shù)學(xué)是一門邏輯性和抽象性很強(qiáng)的學(xué)科.學(xué)生在求解圓錐曲線難題時(shí),往往找不到解題的思路和方法,不僅耗費(fèi)了較多的解題時(shí)間,還導(dǎo)致解題的準(zhǔn)確率也不高.如何提高高中學(xué)生求解圓錐曲線題目的準(zhǔn)確率和解題效率呢?求解圓錐曲線難題的關(guān)鍵在于核心知識(shí)點(diǎn)的理解、掌握,以及根據(jù)題目要求合理地運(yùn)用相關(guān)知識(shí)點(diǎn).

圓錐曲線的核心知識(shí)點(diǎn)中,圓錐曲線的定義是推導(dǎo)軌跡方程和幾何性質(zhì)的基礎(chǔ),也是重要的解題工具.本文重點(diǎn)闡述了運(yùn)用定義求解圓錐曲線軌跡方程的技巧.

1 圓錐曲線思維導(dǎo)圖

運(yùn)用定義求解圓錐曲線難題,首先需要理解和掌握?qǐng)A錐曲線的定義.本文以人教A版高中數(shù)學(xué)選修第三章《圓錐曲線的方程》“圓錐曲線”為例,借助思維導(dǎo)圖,以更加直觀、形象的方式導(dǎo)入圓錐曲線知識(shí)框架.

圖1 圓錐曲線思維導(dǎo)圖

橢圓和雙曲線都有兩種定義.一是根據(jù)平面內(nèi)某個(gè)動(dòng)點(diǎn)與兩個(gè)定點(diǎn)的距離之和,或者之差與定長(zhǎng)的關(guān)系進(jìn)行定義.例如,橢圓的定義:若一個(gè)動(dòng)點(diǎn)P到平面內(nèi)2個(gè)定點(diǎn)M和N的距離等于定長(zhǎng)L,則該點(diǎn)所在的軌跡為橢圓.表達(dá)式為PM+PN=L(L>MN).再如雙曲線的定義:若一個(gè)動(dòng)點(diǎn)P到平面內(nèi)2個(gè)定點(diǎn)M和N的距離之差等于定長(zhǎng)L,則該點(diǎn)所在的軌跡為雙曲線.表達(dá)式為PM-PN=L(0

二是根據(jù)平面內(nèi)某個(gè)動(dòng)點(diǎn)到定點(diǎn)的距離與該動(dòng)點(diǎn)到定直線距離的比值進(jìn)行定義.例如,橢圓、雙曲線的定義:一個(gè)動(dòng)點(diǎn)P到平面內(nèi)定點(diǎn)M的距離與到定直線的距離L之比為一個(gè)常數(shù)e.若該常數(shù)e的取值范圍為01,則該動(dòng)點(diǎn)所在的軌跡為雙曲線.表達(dá)式為:PM/L=e(e>1).

拋物線只有一種定義.若一個(gè)動(dòng)點(diǎn)P到平面內(nèi)定點(diǎn)M的距離與到定直線的距離L之比為一個(gè)常數(shù)e.若該常數(shù)e的取值范圍為e=1,則該動(dòng)點(diǎn)所在的軌跡為拋物線.表達(dá)式為PM/L=e(e=1)[1].

2 巧用定義求解圓錐曲線方程

2.1 巧用定義求解橢圓方程

若一個(gè)動(dòng)點(diǎn)到平面內(nèi)2個(gè)定點(diǎn)的距離等于定長(zhǎng),則該動(dòng)點(diǎn)所在的軌跡為橢圓.運(yùn)用定義巧解橢圓軌跡方程如例1所示.

例1如果點(diǎn)P在圓O上,圓O的方程為x2+y2=25,點(diǎn)F的坐標(biāo)為(2,0),線段FP的垂直平分線與線段OP相交于點(diǎn)M.那么,動(dòng)點(diǎn)M所在軌跡的方程是什么?

分析根據(jù)題意“線段FP的垂直平分線與線段OP相交于點(diǎn)M”,如圖1所示,以及MP=MF,MF+MO=OP=3=2a,可以變換為“點(diǎn)M(x,y)到點(diǎn)P的距離與到點(diǎn)F(2,0)的距離之和等于定長(zhǎng)3”.然后,根據(jù)橢圓的定義,可以確認(rèn)點(diǎn)F、點(diǎn)O為橢圓的焦點(diǎn),2c=2,c=1.

求解:按照橢圓的定義,以及MF=MP,點(diǎn)M(x,y)到點(diǎn)O(0,0)的距離MO與到點(diǎn)F(2,0)的距離MF之和MO+MF等于定長(zhǎng)OP”,OP為圓O的半徑3,2a=5.

小結(jié)根據(jù)平面內(nèi)某個(gè)動(dòng)點(diǎn)到2個(gè)定點(diǎn)的距離之和與定長(zhǎng)的線段長(zhǎng)度之間的關(guān)系進(jìn)行轉(zhuǎn)換,若轉(zhuǎn)換為相等關(guān)系,則該動(dòng)點(diǎn)在平面內(nèi)的軌跡為橢圓[2].

2.2 巧用定義求解拋物線方程

若一個(gè)動(dòng)點(diǎn)到平面內(nèi)定點(diǎn)距離與到定直線的距離相等,則該動(dòng)點(diǎn)所在的軌跡為拋物線.運(yùn)用定義巧解拋物線軌跡方程,具體如例2所述.

圖2 點(diǎn)M的軌跡

圖3 點(diǎn)A的軌跡

例2如果點(diǎn)A到直線x=3的距離與點(diǎn)A到點(diǎn)(-2,0)的距離大1,那么,動(dòng)點(diǎn)A所在的軌跡的方程是什么?

根據(jù)拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程y2=-2px,求得拋物線的方程為y2=-8x.

2.3 巧用定義求解雙曲線方程

若一個(gè)動(dòng)點(diǎn)到平面內(nèi)2個(gè)定點(diǎn)的距離之差等于定長(zhǎng),則該動(dòng)點(diǎn)所在的軌跡為雙曲線.運(yùn)用雙曲線的定義,巧解其軌跡方程,具體如例3、例4所述.

圖3 動(dòng)圓與定圓的相切關(guān)系

圖4 雙曲線C

例3已知?jiǎng)訄AP與兩個(gè)定圓(圓F1和圓F2)之間的關(guān)系都相切,并且,圓F1和圓F2之間的關(guān)系為相離,距離為8,以及半徑分別為3和1.求解動(dòng)點(diǎn)P的軌跡?

求解:令動(dòng)圓P的半徑為R,兩個(gè)定圓(圓F1和圓F2)的半徑分別為r1、r2.根據(jù)題意,將動(dòng)圓P與兩個(gè)定圓(圓F1和圓F2)之間的相切關(guān)系,分為兩種情況:

一是動(dòng)圓P與兩個(gè)定圓(圓F1和圓F2)之間外切的情形.如圖3-1所示,根據(jù)動(dòng)圓的半徑R與定圓的半徑r1、r2之間的差值為r1-r2,可以判斷動(dòng)圓的圓心P與兩個(gè)定圓的圓心F1和F2之間的距離之差為定長(zhǎng),并且,小于兩個(gè)定圓圓心之間的距離|F1F2|,如以下公式所述.

|PF1|-|PF2|=(R+r1)-(R+r2)=r1-r2<|F1F2|,得出動(dòng)點(diǎn)P的軌跡為靠近焦點(diǎn)F2的一支雙曲線.

r1-r2=2a=4,求得a=2.結(jié)合2c=8,求得c=4.進(jìn)而求得b2=12.

二是動(dòng)圓P與兩個(gè)定圓(圓F1和圓F2)之間內(nèi)切的情形.如圖3-2所示,根據(jù)動(dòng)圓的半徑R與定圓的半徑r1、r2之間的差值為r1-r2,可以判斷動(dòng)圓的圓心P與兩個(gè)定圓的圓心F1和F2之間的距離之差為定長(zhǎng),并且小于兩個(gè)定圓圓心之間的距離|F1F2|,如以下公式所述.

|PF1|-|PF2|=(R+r1)-(R+r2)=r1-r2<|F1F2|,得出動(dòng)點(diǎn)P的軌跡為靠近焦點(diǎn)F1的一支雙曲線.

r1-r2=2a=4,求得a=2.結(jié)合2c=8,求得c=4.進(jìn)而求得,b2=12.

化簡(jiǎn)后,得到c2-a2=5.

運(yùn)用定義法求解圓錐曲線難題,可以提高高中學(xué)生求解圓錐曲線題目的準(zhǔn)確率和解題效率.通過定義法確定了動(dòng)點(diǎn)軌跡為橢圓、拋物線和雙曲線等圓錐曲線,然后,分別根據(jù)橢圓、拋物線和雙曲線等圓錐曲線的定義和幾何性質(zhì)求解橢圓、拋物線和雙曲線等圓錐曲線軌跡的標(biāo)準(zhǔn)方程.