基于張量環(huán)分解的三維地震數(shù)據(jù)重建方法

張杏莉,劉作剛,張亞萍,趙衛(wèi)東

(山東科技大學(xué) 計(jì)算機(jī)科學(xué)與工程學(xué)院,山東 青島 266590)

地震數(shù)據(jù)采集受采集環(huán)境和地理?xiàng)l件的限制,容易造成數(shù)據(jù)不完整,低質(zhì)量的地震數(shù)據(jù)對后續(xù)地震數(shù)據(jù)處理和解釋工作產(chǎn)生較大影響,因此地震數(shù)據(jù)重建已成為地震數(shù)據(jù)處理的重點(diǎn)研究內(nèi)容之一。數(shù)據(jù)重建是在數(shù)據(jù)缺失的情況下,利用少量的數(shù)據(jù)預(yù)測、補(bǔ)全缺失的數(shù)據(jù)。目前常用的數(shù)據(jù)重建方法有濾波器、函數(shù)變換、壓縮感知和降秩等。

基于濾波器的方法通過缺失數(shù)據(jù)與某種插值濾波器的卷積來獲得重建數(shù)據(jù)。Spitz[1]提出f-x域插值重建方法,在f-x域中使用低頻數(shù)據(jù)重建高頻數(shù)據(jù);Naghizadeh等[2]提出線性預(yù)測濾波器重建方法,在規(guī)則的網(wǎng)格下重建不規(guī)則的數(shù)據(jù)。但基于濾波器的方法只能處理規(guī)則的數(shù)據(jù)?；诤瘮?shù)變換的方法先對地震數(shù)據(jù)進(jìn)行正變換編碼,然后在變換域內(nèi)插值,再進(jìn)行反變換解碼,進(jìn)而對數(shù)據(jù)重建。Jahanjoo等[3]提出抗泄漏傅里葉變換方法,通過正則化處理不規(guī)則的數(shù)據(jù),但是當(dāng)輸入的數(shù)據(jù)比較混疊時(shí)數(shù)據(jù)重建效果不理想,并且傅里葉變換是一種全局變換,不能準(zhǔn)確地表示局部特征;唐歡歡等[4]提出3D高階拋物Radon變換方法,解決了3D不規(guī)則數(shù)據(jù)的重建問題,但Radon變換處理復(fù)雜曲線事件的能力較差;Zhang等[5]通過多尺度、多方向的Curvelet變換對較大規(guī)模的數(shù)據(jù)進(jìn)行處理;文獻(xiàn)[6]采用一種非等間距的離散Curvelet變換方法對非均勻采樣的數(shù)據(jù)進(jìn)行處理;張凱等[7]將Shearlet變換和離散余弦變換字典相結(jié)合進(jìn)行數(shù)據(jù)重建。但是函數(shù)變換方法的基函數(shù)是固定的,不能根據(jù)地震數(shù)據(jù)的特征自適應(yīng)地選擇基函數(shù)[8]。壓縮感知理論是一種新的信號(hào)處理方法,可以由遠(yuǎn)少于采樣定理要求的采樣點(diǎn)重建恢復(fù),目前已經(jīng)被應(yīng)用到地震數(shù)據(jù)重建中。Zhang等[9]提出基于隨機(jī)樣本的壓縮感知方法,通過將樣本劃分為若干子集以獲得重建結(jié)果;孫苗苗等[10]將形態(tài)成分分析與壓縮感知結(jié)合,消除了空間假頻;段中鈺等[11]將壓縮感知和平方正則交替方向乘子法結(jié)合,消除了過擬合現(xiàn)象。但壓縮感知方法難以滿足地震道大范圍缺失的情況。降秩是地震數(shù)據(jù)重建的另一種方法,如低秩矩陣補(bǔ)全方法[12]、基于奇異值分解(singular value decomposition, SVD)的低秩約束和曲線域稀疏約束的重建方法[13-14],而在低秩矩陣上進(jìn)行核范數(shù)約束的方法變得越來越廣泛。Wang等[15]提出加權(quán)核范數(shù)最小化方法,通過迭代重新加權(quán)使加權(quán)核函數(shù)模型接近于“計(jì)數(shù)秩函數(shù)”并且可以提升低秩矩陣,但核范數(shù)最小化是指所有奇異值之和的最小化,不等于核函數(shù)的最小值;Zhang等[16]對核范數(shù)正則化,從而對更少的奇異值最小化,可以更加逼近秩函數(shù),但是奇異值分解會(huì)消耗大量的計(jì)算資源;多通道奇異譜分析方法是一種數(shù)據(jù)驅(qū)動(dòng)方法,該方法基于Hankel矩陣的截?cái)嗥娈愔捣纸?通過頻率切片進(jìn)行數(shù)據(jù)重建[17]。但是傳統(tǒng)的低秩或降秩矩陣補(bǔ)全方法在三維數(shù)據(jù)的應(yīng)用中仍存在一些重建誤差。

張量環(huán)(tensor ring, TR)分解是一種新的數(shù)據(jù)補(bǔ)全方法,對數(shù)據(jù)特征沒有要求,可以處理復(fù)雜的事件,并且可以有效利用三維數(shù)據(jù)的結(jié)構(gòu)信息,被廣泛應(yīng)用于圖像的缺失數(shù)據(jù)重建,如子空間非局部張量環(huán)分解的高光譜圖像重建[18]、全變分正則化張量環(huán)分解的遙感圖像重建[19]、張量環(huán)低秩因子(tensor ring low-rank factors, TRLRF)缺失圖像重建[20]等。本研究將TRLRF方法首次應(yīng)用于地震數(shù)據(jù)重建,先通過張量環(huán)分解將三維地震數(shù)據(jù)轉(zhuǎn)換為小的三維數(shù)據(jù)的乘積,再利用交替方向乘子法(alternating direction method of multipliers, ADMM)和增廣拉格朗日函數(shù)對小的三維數(shù)據(jù)求解,最后通過循環(huán)多線性乘積將小的三維數(shù)據(jù)恢復(fù)為大的三維數(shù)據(jù),實(shí)現(xiàn)對三維地震數(shù)據(jù)的重建。仿真數(shù)據(jù)和真實(shí)數(shù)據(jù)實(shí)驗(yàn)結(jié)果均表明,TRLRF方法在重建效率和重建質(zhì)量上都有較大優(yōu)勢,重建效果良好。

1 方法原理

1.1 張量環(huán)分解

本研究采用Kolda等[21]和Long等[22]所提出的符號(hào)和定義。張量環(huán)分解是通過一系列低維核張量上的循環(huán)多線性乘積表示大維張量,這一系列低維核張量稱為TR因子。對于n=1,2,…,N,TR因子可以用C(n)∈RRn×In×Rn+1表示,其中Rn(1≤n≤N)表示TR的秩,R1=Rn+1,In是原始張量的維度。對于一個(gè)

N階張量A∈RI1×I2×…×IN,張量環(huán)分解的定義為:

(1)

圖1 張量環(huán)分解

1.2 張量環(huán)低秩因子

將ADMM和增廣的拉格朗日方程相結(jié)合,TRLRF方法的表達(dá)式為[20]:

(2)

C(n)、W(n,i)和U(n,i)都是相對獨(dú)立的,式(2)可以通過以下過程更新。

1) 更新C(n)。

(3)

2) 更新W(n,i)。

(4)

3) 更新U(n,i)。

U(n,i)=U(n,i)+η(W(n,i)-C(n))。

(5)

4) 更新A。A通常在相應(yīng)的數(shù)據(jù)中輸入觀測值更新,并且在每次迭代中通過TR因子[C]近似缺失的數(shù)據(jù),即:

(6)

2 TRLRF方法的影響因素及復(fù)雜度分析

2.1 秩的選擇

在張量環(huán)分解中一個(gè)關(guān)鍵問題是如何選取最優(yōu)秩。一個(gè)地震數(shù)據(jù)體包含的地震信息都是相互關(guān)聯(lián)的,秩選取過小會(huì)導(dǎo)致TR因子中的數(shù)據(jù)信息過少,秩選取過大會(huì)導(dǎo)致TR因子中存在過多的干擾數(shù)據(jù)。因此,秩選取過大或過小均會(huì)使TR因子不能準(zhǔn)確地近似缺失的數(shù)據(jù),導(dǎo)致重建效果差。同時(shí),秩選取過大會(huì)增加方法運(yùn)行時(shí)間,影響重建效率。本研究通過對秩取不同值時(shí)的信噪比(signal-to-noise ratio, SNR)、均方根誤差(root mean square error, RMSE)以及運(yùn)行時(shí)間等評價(jià)指標(biāo)進(jìn)行統(tǒng)計(jì)分析確定最優(yōu)秩的值。

分別使用兩個(gè)包含線性事件(數(shù)據(jù)1、數(shù)據(jù)2)、兩個(gè)包含曲線事件(數(shù)據(jù)3、數(shù)據(jù)4)的仿真數(shù)據(jù)對秩的選擇進(jìn)行實(shí)驗(yàn),并計(jì)算重建后數(shù)據(jù)的SNR、RMSE和運(yùn)行時(shí)間,實(shí)驗(yàn)結(jié)果如圖2所示。由圖2(a)可知,隨著秩的增加,重建后的仿真數(shù)據(jù)的SNR值逐步升高,當(dāng)秩為10時(shí)SNR值取得最大值,當(dāng)秩大于10時(shí)SNR值趨于穩(wěn)定或稍有下降趨勢;由圖2(b)可知,隨著秩的增加,RMSE值逐漸降低,當(dāng)秩為10時(shí)RMSE取得最小值,當(dāng)秩大于10時(shí)RMSE趨于平穩(wěn)或逐漸增加。可見,秩為10時(shí)4個(gè)仿真數(shù)據(jù)的重建效果最好。由圖2(c)可知,隨著秩的增加,TRLRF方法所需運(yùn)行時(shí)間快速增加。因此,綜合考慮重建后數(shù)據(jù)的SNR、RMSE以及重建所需的運(yùn)行時(shí)間,認(rèn)為秩的值取10時(shí)可以獲得最好的重建結(jié)果并且保持良好的重建效率。因此,TRLRF方法中秩的值選擇為10。

圖2 不同秩時(shí)的SNR、RMSE和運(yùn)行時(shí)間

2.2 TRLRF方法及復(fù)雜度分析

表1 不同重建方法的時(shí)間復(fù)雜度

方法 1. 基于張量環(huán)分解的地震數(shù)據(jù)重建方法 1) Input:missing seismic data PΩ(T), TR-rank{Rn } N n= 1 = 10 2) Initialization:For n = 1,…,N,i = 1,2,3, random sample C (n) by N ～ (0,1),ξ = 10,η = 0. 9,tol = 10 -8 ,kmax = 500,W (n,i) = 0,U (n,i) = 0. 3) For k = 1 to kmax do 4) Apre = A . 5) Calculate (C (≠n),T (2) C (≠n) (2) ) -1 ,A < n > C (≠n) (2) . 6) Update {C (n) } N n = 1 by (3). 7) Calculate S 1 η C (n) (i) - 1 η U (n,i) (i) ) . 8) Update {W (n,i) } N,3 n = 1,i = 1 by (4). 9) Update {U (n,i) } N,3 n = 1,i = 1 by (5). 10) Update A by (6). 11) If mse(A - Apre) < tol ,break. 12) End for 13) Output:reconstructed seismic data

由表1可見,盡管OMPHR方法中K的階次比較低,但時(shí)間復(fù)雜度中含有數(shù)據(jù)維度平方相乘項(xiàng),DDTF方法也包含維度平方相乘項(xiàng),而TRLRF方法復(fù)雜度僅為維度平方之和,所以數(shù)據(jù)量較大時(shí),TRLRF方法的時(shí)間復(fù)雜度比DDTF和OMPHR方法低。

3 實(shí)驗(yàn)分析

為驗(yàn)證TRLRF方法的有效性,分別對仿真數(shù)據(jù)的地震道隨機(jī)缺失和實(shí)際三維地震數(shù)據(jù)(來源https:∥wiki.seg.org/wiki/Kerry-3D)的地震道隨機(jī)缺失、規(guī)則缺失進(jìn)行實(shí)驗(yàn)。

在地震數(shù)據(jù)重建方法中,把數(shù)據(jù)劃分為字典小塊的字典學(xué)習(xí)和對數(shù)據(jù)的每個(gè)二維頻率切片的矩陣補(bǔ)全的重建方法都是典型方法。近年來,有學(xué)者將深度學(xué)習(xí)應(yīng)用于地震數(shù)據(jù)重建,但是需要大量樣本數(shù)據(jù)進(jìn)行訓(xùn)練和測試。故本研究選用基于字典學(xué)習(xí)的DDTF方法和基于矩陣補(bǔ)全的OMPHR方法作為本研究的對比方法。

3.1 實(shí)驗(yàn)結(jié)果評價(jià)指標(biāo)

本研究采用地震數(shù)據(jù)重建后的SNR、RMSE和運(yùn)行時(shí)間3個(gè)指標(biāo)驗(yàn)證數(shù)據(jù)重建的效果和效率。SNR(SNR)和RMSE(RMSE)兩種指標(biāo)分別定義為:

(7)

(8)

式中:f是完整原始地震數(shù)據(jù),f0是重建地震數(shù)據(jù),mean(·)表示元素的平均值。信噪比越高表明重建數(shù)據(jù)越接近原始數(shù)據(jù),均方根誤差是重建后的地震數(shù)據(jù)偏離原始數(shù)據(jù)平均值的度量,均方根誤差越小表示重建的數(shù)據(jù)越接近原始數(shù)據(jù)。

3.2 仿真數(shù)據(jù)實(shí)驗(yàn)及分析

為驗(yàn)證TRLRF方法的有效性和優(yōu)越性,使用Marmousi2構(gòu)造仿真地震數(shù)據(jù),圖3(a)為原始仿真數(shù)據(jù)的正面切片,圖3(b)為隨機(jī)缺失50%的仿真數(shù)據(jù)。從圖3(b)可以看出,在缺失50%的數(shù)據(jù)后,該地震數(shù)據(jù)損壞嚴(yán)重。分別使用TRLRF、DDTF和OMPHR方法對圖3(b)所示地震數(shù)據(jù)進(jìn)行重建,重建后的地震數(shù)據(jù)如圖4所示。

圖3 原始仿真數(shù)據(jù)與地震道隨機(jī)缺失50%的仿真數(shù)據(jù)

圖4 地震道隨機(jī)缺失50%的仿真數(shù)據(jù)的正切面重建結(jié)果

由圖4可知,原始仿真數(shù)據(jù)在采樣點(diǎn)600之前地震波的幅值較大,特征比較明顯,而在采樣點(diǎn)600之后地震波的幅值較小,波形趨于平緩。DDTF方法在重建過程中通過小塊數(shù)據(jù)形成訓(xùn)練集恢復(fù)缺失的數(shù)據(jù),在幅值較小、特征不明顯的情況下恢復(fù)數(shù)據(jù)能力較差,故DDTF方法在采樣點(diǎn)600之后的重建效果較差。OMPHR方法通過二維切面的頻率切面和對每個(gè)切面進(jìn)行反平均生成每一列以恢復(fù)缺失的數(shù)據(jù),在進(jìn)行反平均生成每一列時(shí)容易造成數(shù)據(jù)的混亂,因此,OMPHR方法在重建后產(chǎn)生反向波的混亂現(xiàn)象。而TRLRF方法通過張量環(huán)分解有效利用了三維數(shù)據(jù)的結(jié)構(gòu)信息,能保證劃分的塊包含更多的特征,使用適合解決結(jié)構(gòu)復(fù)雜問題的交替方向乘子法求解劃分的塊,從而獲得更好的重建結(jié)果。

從微觀角度進(jìn)一步對比3種方法的重建效果,對第65條缺失的單個(gè)信道的原始數(shù)據(jù)與重建結(jié)果進(jìn)行對比,如圖5所示。由圖5可看出,TRLRF方法較完整地重建了缺失的數(shù)據(jù),而DDTF方法對采樣點(diǎn)520后幅值較小的波形重建效果差,OMPHR方法在采樣點(diǎn)500后有明顯振蕩,重建質(zhì)量較差。

圖5 不同方法重建后的第65條信道

為了驗(yàn)證不同缺失率下3種方法的重建效果,對3種方法的SNR進(jìn)行分析,結(jié)果如圖6所示。由圖6可以看出,TRLRF方法在不同缺失率下的重建質(zhì)量均優(yōu)于DDTF和OMPHR方法。

圖6 仿真數(shù)據(jù)的不同采樣率與信噪比的關(guān)系

分別計(jì)算TRLRF、DDTF和OMPHR方法在地震道隨機(jī)缺失50%重建后的SNR、RMSE和運(yùn)行時(shí)間,計(jì)算結(jié)果見表2。分析表2可知,TRLRF方法在缺失率相等的條件下取得最高的SNR和最低的RMSE。由此可以看出,TRLRF方法在仿真數(shù)據(jù)的重建質(zhì)量上比DDTF和OMPHR方法都要優(yōu)越,并且TRLRF方法的運(yùn)行時(shí)間最小,具有較高的重建效率。

表2 仿真數(shù)據(jù)地震道隨機(jī)缺失時(shí)重建結(jié)果對比

3.3 真實(shí)數(shù)據(jù)實(shí)驗(yàn)及分析

使用真實(shí)地震數(shù)據(jù)(來源https:∥wiki.seg.org/wiki/Kerry-3D)進(jìn)行實(shí)驗(yàn),如圖7、圖8所示。

圖7 原始三維真實(shí)數(shù)據(jù)與地震道隨機(jī)缺失50%的三維真實(shí)數(shù)據(jù)

圖8 原始三維真實(shí)數(shù)據(jù)與地震道隨機(jī)缺失50%的三維數(shù)據(jù)的各切面示例

分別使用TRLRF、DDTF和OMPHR方法對圖7(b)缺失的數(shù)據(jù)進(jìn)行重建,其正切面的重建結(jié)果如圖9所示。由圖9可以看出,DDTF方法重建的數(shù)據(jù)存在大面積誤差,重建效果差;OMPHR方法重建的數(shù)據(jù)在某些地震道上存在誤差,重建效果較差;而TRLRF方法在整體重建質(zhì)量上優(yōu)于DDTF和OMPHR方法。這是由于DDTF方法是把數(shù)據(jù)劃分為小塊數(shù)據(jù)形成訓(xùn)練集,通過訓(xùn)練集對缺失的數(shù)據(jù)進(jìn)行估計(jì),訓(xùn)練過程中對特征不明顯的數(shù)據(jù)不敏感,不能較好地補(bǔ)全缺失的數(shù)據(jù)。OMPHR方法是把三維數(shù)據(jù)的每個(gè)二維切面轉(zhuǎn)換為頻率切面,對每個(gè)切面采用OR1MP方法將矩陣表示為秩為1的基矩陣的線性組合,但是對于秩比較大的缺失數(shù)據(jù)來說,秩為1的基矩陣的線性組合不能很好地表示原始數(shù)據(jù),從而不能很好地恢復(fù)缺失的數(shù)據(jù)。而TRLRF方法通過張量環(huán)分解有效利用了三維數(shù)據(jù)的結(jié)構(gòu)信息,保證劃分的塊包含更多地特征,使用適合解決結(jié)構(gòu)復(fù)雜問題的交替方向乘子法求解劃分的塊,從而獲得更好的重建結(jié)果。

圖9 地震道隨機(jī)缺失50%的三維真實(shí)數(shù)據(jù)的正切面重建結(jié)果

從微觀角度進(jìn)一步對比3種方法的重建效果,對正切面的第33條缺失的單個(gè)信道的原始數(shù)據(jù)與重建結(jié)果進(jìn)行對比,如圖10所示。從圖10可以看出,TRLRF方法較完整的重建了缺失的數(shù)據(jù),而DDTF和OMPHR方法存在振蕩,重建質(zhì)量較差。

圖10 不同方法重建后正切面的第33條信道

為了說明3種方法在不同缺失率下的良好重建性能,對3種方法在不同缺失率下重建后的SNR進(jìn)行分析,如圖11所示。由圖11可以看出,TRLRF方法在不同缺失率下的重建質(zhì)量均優(yōu)于DDTF和OMPHR方法。

圖11 真實(shí)數(shù)據(jù)的不同采樣率與信噪比的關(guān)系

分別計(jì)算TRLRF、DDTF和OMPHR方法在地震道隨機(jī)缺失50%重建后的SNR、RMSE和運(yùn)行時(shí)間,計(jì)算結(jié)果見表3。分析表3可知,TRLRF方法的SNR最高,而OMPHR方法重建的SNR僅為TRLRF方法的1/2;TRLRF方法的RMSE值最小,可見,TRLRF方法重建后的三維地震數(shù)據(jù)最接近原始三維地震數(shù)據(jù);同時(shí),TRLRF方法的運(yùn)行時(shí)間相對于DDTF和OMPHR方法最短。因此,TRLRF方法具有良好的重建效率。

表3 真實(shí)數(shù)據(jù)地震道隨機(jī)缺失時(shí)重建結(jié)果對比

表4分別給出了真實(shí)數(shù)據(jù)地震道隨機(jī)缺失時(shí)上切面、側(cè)切面和正切面的SNR和RMSE結(jié)果。從表4可知,TRLRF方法在各個(gè)切面的重建效果優(yōu)于DDTF和OMPHR方法。

表4 真實(shí)數(shù)據(jù)地震道隨機(jī)缺失時(shí)各切面重建結(jié)果對比

對地震數(shù)據(jù)的規(guī)則缺失進(jìn)行實(shí)驗(yàn),進(jìn)一步說明TRLRF方法能夠很好地重建缺失數(shù)據(jù),如圖12、圖13所示。分別使用TRLRF、DDTF和OMPHR方法對圖12缺失的數(shù)據(jù)進(jìn)行重建,其側(cè)切面的重建結(jié)果如圖14所示。由圖14可以看出,DDTF方法重建的數(shù)據(jù)存在大面積誤差,重建效果差;OMPHR方法重建的數(shù)據(jù)在某些地震道上存在誤差,重建效果較差;而TRLRF方法在整體重建質(zhì)量上優(yōu)于DDTF和OMPHR方法。這是由于DDTF方法是把數(shù)據(jù)劃分為小塊數(shù)據(jù)形成訓(xùn)練集,通過訓(xùn)練集對缺失的數(shù)據(jù)進(jìn)行估計(jì),在訓(xùn)練過程中對特征不明顯的數(shù)據(jù)不敏感,不能較好地補(bǔ)全缺失的數(shù)據(jù)。OMPHR方法是把三維數(shù)據(jù)的每個(gè)二維切面轉(zhuǎn)換為頻率切面,難以充分利用三維數(shù)據(jù)的結(jié)構(gòu)信息,不能很好地恢復(fù)缺失的數(shù)據(jù)。而TRLRF方法通過張量環(huán)分解有效利用了三維數(shù)據(jù)的結(jié)構(gòu)信息,可保證劃分的塊包含更多特征,使用適合解決結(jié)構(gòu)復(fù)雜問題的交替方向乘子法求解劃分的塊,從而獲得更好的重建結(jié)果。

圖12 地震道規(guī)則缺失50%的三維真實(shí)數(shù)據(jù)

圖13 地震道規(guī)則缺失50%的三維真實(shí)數(shù)據(jù)的各切面示例

圖14 地震道規(guī)則缺失50%的三維真實(shí)數(shù)據(jù)的側(cè)切面重建結(jié)果

分別計(jì)算TRLRF、DDTF和OMPHR方法在地震道規(guī)則缺失50%重建后的SNR、RMSE和運(yùn)行時(shí)間,結(jié)果見表5。分析表5可知,TRLRF方法的SNR最高,是DDTF和OMPHR方法重建的SNR值的兩倍多;TRLRF方法的RMSE值最小,重建后的三維地震數(shù)據(jù)更接近原始三維真實(shí)地震數(shù)據(jù)。同時(shí),TRLRF方法的運(yùn)行時(shí)間均小于DDTF和OMPHR方法?？梢?TRLRF方法具有良好的重建效率。

表5 真實(shí)數(shù)據(jù)地震道規(guī)則缺失時(shí)重建結(jié)果對比

表6分別給出了真實(shí)數(shù)據(jù)地震道規(guī)則缺失時(shí)上切面、側(cè)切面和正切面的SNR和RMSE結(jié)果,可以看出TRLRF方法在各個(gè)切面上的重建效果均優(yōu)于DDTF和OMPHR方法。

表6 真實(shí)數(shù)據(jù)地震道規(guī)則缺失時(shí)各切面重建結(jié)果對比

4 結(jié)論

本研究針對三維地震數(shù)據(jù)缺失重建問題,提出一種基于隱空間上張量環(huán)低秩因子的地震數(shù)據(jù)重建方法。張量環(huán)分解方法對數(shù)據(jù)特征要求低,能夠處理幅值較低、特征不明顯的數(shù)據(jù),并且能夠充分利用三維數(shù)據(jù)的結(jié)構(gòu)信息。仿真數(shù)據(jù)和真實(shí)地震數(shù)據(jù)的實(shí)驗(yàn)結(jié)果表明,在SNR、RMSE和運(yùn)行時(shí)間等量化指標(biāo)下,與DDTF、OMPHR方法相比,TRLRF方法重建效果較好,同時(shí)針對較大的三維地震數(shù)據(jù),張量環(huán)分解可有效提高計(jì)算效率。本研究依據(jù)仿真三維地震數(shù)據(jù)在不同秩時(shí)的重建效果確定張量環(huán)分解中最優(yōu)秩,該方法具有一定的參考意義。復(fù)雜三維地震數(shù)據(jù)在進(jìn)行張量環(huán)分解時(shí)的最優(yōu)秩的自適應(yīng)選取是下一步的研究方向和研究重點(diǎn)。