活用化曲為直法解帶電粒子在電場中的運(yùn)動(dòng)問題

胡躍躍

(山東省滕州市第一中學(xué))

帶電粒子在電場中的運(yùn)動(dòng)問題是高考中的熱點(diǎn)題型,年年必考,考查形式靈活多變,計(jì)算量較大,是很多學(xué)生比較頭疼的題型之一.歸納發(fā)現(xiàn),帶電粒子在電場中的運(yùn)動(dòng)可以歸為兩大類型,即帶電粒子在電場中加速或偏轉(zhuǎn)運(yùn)動(dòng)和在涉及重力或磁場力作用的復(fù)合場中運(yùn)動(dòng).學(xué)生之所以覺得題目難度大,是因?yàn)檫@類題目中帶電粒子做的大多是曲線運(yùn)動(dòng),而學(xué)生最擅長分析的往往是直線運(yùn)動(dòng).既然如此,我們不妨使用“化曲為直法”來解題.

1 帶電粒子在電場中加速或偏轉(zhuǎn)運(yùn)動(dòng)

如果帶電粒子是在勻強(qiáng)電場中做加速運(yùn)動(dòng),我們可以用牛頓運(yùn)動(dòng)定律求解,也可以使用動(dòng)能定理求解;而對(duì)于偏轉(zhuǎn)問題,通常采用平拋運(yùn)動(dòng)的解題策略,該策略的核心就是“化曲為直”,相信大家都比較熟悉,當(dāng)然,如果可以使用動(dòng)能定理,那么解題會(huì)更加便捷.

例1如圖1 所示,一個(gè)可以產(chǎn)生多種正離子(質(zhì)子、氘核、氚核及氦核等)的粒子源被放置在加速電場的左側(cè),產(chǎn)生的正離子以極低速度進(jìn)入加速電場,經(jīng)過加速后的正離子從小孔S處沿偏轉(zhuǎn)電場的極板A、B的中心線射入.已知加速電場的電壓為U1,極板A、B的長度為L,極板A、B距離為d,偏轉(zhuǎn)電場的電壓為U2.若正離子能從極板A、B間射出(正離子的重力不計(jì)),則下列選項(xiàng)正確的是( ).

圖1

B.不同粒子在滿足題目條件的情況下,運(yùn)動(dòng)軌跡完全重合

C.不同粒子在滿足題目條件的情況下,從偏轉(zhuǎn)電場射出時(shí)的速度相同

D.不同粒子在滿足題目條件的情況下,在兩個(gè)電場中運(yùn)動(dòng)的時(shí)間相同在加速電場中可使用動(dòng)能定理快速求出正離子的末速度,而在偏轉(zhuǎn)電場中,需根據(jù)類平拋運(yùn)動(dòng)的規(guī)律逐項(xiàng)列式驗(yàn)證.

設(shè)正離子的電荷量為q,質(zhì)量為m,從加速電場射出時(shí)的速度為v,根據(jù)動(dòng)能定理得

將正離子在偏轉(zhuǎn)電場中的運(yùn)動(dòng)分解為沿極板方向的勻速直線運(yùn)動(dòng)和沿垂直極板方向的勻加速直線運(yùn)動(dòng),則沿極板方向有L＝vt,沿垂直極板方向有y＝,由牛頓第二定律得.因?yàn)檎x子能從偏轉(zhuǎn)電場射出,所以要滿足:.

設(shè)正離子在偏轉(zhuǎn)電場中沿極板方向運(yùn)動(dòng)距離x耗時(shí)t′,沿垂直極板方向的位移為y,有x＝vt′,y＝,結(jié)合上述結(jié)果,可得

由上式可知,正離子在偏轉(zhuǎn)電場中運(yùn)動(dòng)的軌跡與離子的比荷無關(guān),所以選項(xiàng)B正確.

由上面的分析可知,正離子垂直極板的分速度為

由速度的合成可得正離子射出偏轉(zhuǎn)電場時(shí)的速度大小為

根據(jù)該式可知,正離子射出偏轉(zhuǎn)磁場的速度與比荷有關(guān),因此選項(xiàng)C錯(cuò)誤.

設(shè)加速電場的寬度為s,則正離子在加速電場中運(yùn)動(dòng)的時(shí)間.正離子在偏轉(zhuǎn)磁場中運(yùn)動(dòng)的時(shí)間,則正離子從進(jìn)入加速電場到射出偏轉(zhuǎn)電場所用時(shí)間為t3＝t1＋t2＝.可見,不同正離子通過兩個(gè)電場所用時(shí)間與比荷有關(guān),所以選項(xiàng)D 錯(cuò)誤.

小結(jié)雖然本題是一道選擇題,但想要得到正確答案,計(jì)算量并不比一道計(jì)算題少.題目同時(shí)考查了帶電粒子在電場中的加速和偏轉(zhuǎn)問題,需要我們靈活運(yùn)用牛頓運(yùn)動(dòng)定律、運(yùn)動(dòng)的合成與分解、動(dòng)能定理等知識(shí),且有較強(qiáng)的邏輯推理能力.

2 帶電粒子在涉及重力或磁場力作用的復(fù)合場中運(yùn)動(dòng)

復(fù)合場是常見的題目情境.由于高中階段研究的問題多為勻強(qiáng)電場、勻強(qiáng)磁場,復(fù)合場這類看似復(fù)雜的情境中卻包含著最簡單的本質(zhì),即帶電粒子受到多個(gè)恒力作用,因此,我們可以運(yùn)用熟悉的運(yùn)動(dòng)學(xué)知識(shí)加以分析,將曲線運(yùn)動(dòng)轉(zhuǎn)化為熟悉的直線運(yùn)動(dòng)的合成,解題思路就變得清晰了.

例2如圖2 所示,在方向水平向右、電場強(qiáng)度E＝3×105N?C－1的勻強(qiáng)電場中,有一個(gè)傾斜角為53°的斜面底端與一個(gè)豎直放置的光滑絕緣的半圓軌道接觸.圖中O點(diǎn)為半圓軌道的圓心,A、B點(diǎn)分別是半圓軌道的上下端點(diǎn).有一個(gè)質(zhì)量m＝0.4kg、電荷量q＝＋1.0×10－5C的小球(可視為質(zhì)點(diǎn))以初速度v0＝10m?s－1從斜面上某點(diǎn)以垂直斜面的方向射出,小球恰好從A點(diǎn)進(jìn)入半圓軌道.重力加速度g取10m?s－2,則( ).

圖2

A.小球從射出到運(yùn)動(dòng)到A點(diǎn)過程做類平拋運(yùn)動(dòng)

B.小球運(yùn)動(dòng)到A點(diǎn)時(shí)速度大小為12.5m?s－1

C.小球第一次在半圓軌道上運(yùn)動(dòng)過程中會(huì)在某處脫離軌道

D.小球第一次在半圓軌道上運(yùn)動(dòng)過程中對(duì)軌道的最大壓力大小為33.5N

以小球?yàn)檠芯繉?duì)象,其從起點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到A點(diǎn)過程中對(duì)其受力分析如圖3所示.小球受重力和水平向右的電場力作用,根據(jù)力的合成及幾何知識(shí)可得F＝5 N,方向沿斜面向下,所以小球從射出到運(yùn)動(dòng)到A點(diǎn)過程做類平拋運(yùn)動(dòng),建立如圖3所示的直角坐標(biāo)系,在x軸方向小球做勻速直線運(yùn)動(dòng),有vx＝v0＝10m?s－1.

圖3

小球從出發(fā)點(diǎn)到A點(diǎn)過程中偏轉(zhuǎn)的角度為37°,根據(jù)幾何知識(shí)可得在A點(diǎn)時(shí)小球的速度

如圖4所示,圖中C點(diǎn)代表小球運(yùn)動(dòng)過程中等效的最低點(diǎn),即在C點(diǎn)處小球?qū)壍赖膲毫ψ畲?因?yàn)樵贏點(diǎn)時(shí)小球恰好進(jìn)入軌道,即在A點(diǎn)未脫離軌道,則在其他位置也不會(huì)脫離半圓軌道.

圖4

在A點(diǎn)對(duì)小球應(yīng)用牛頓第二定律得,從A點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到C點(diǎn)過程中,根據(jù)動(dòng)能定理可得

在C點(diǎn)有.聯(lián)立各式解得FN＝27N.

綜上可知選項(xiàng)A、B正確.

小結(jié)本題是動(dòng)能定理和圓周運(yùn)動(dòng)、平拋運(yùn)動(dòng)的綜合,解題關(guān)鍵是找準(zhǔn)各個(gè)過程遵循的物理規(guī)律.該題的化曲為直的方法主要體現(xiàn)在小球從出發(fā)點(diǎn)到A點(diǎn)的過程中類平拋運(yùn)動(dòng)的應(yīng)用,尤其是對(duì)選項(xiàng)D 的分析,繞過了復(fù)雜的運(yùn)動(dòng)過程,直接應(yīng)用動(dòng)能定理使得問題變成從A點(diǎn)到C點(diǎn)的點(diǎn)對(duì)點(diǎn)過程,解題難點(diǎn)在于找到等效重力勢能最低點(diǎn).

化曲為直是一種化陌生為熟悉的常用解題思路和方法,我們要通過總結(jié)和遷移以做到靈活應(yīng)用.

(完)