分割法與合成法求電場(chǎng)強(qiáng)度

鄭 金

(遼寧省凌源市職教中心)

對(duì)于勻強(qiáng)電場(chǎng)中平行于電場(chǎng)線(xiàn)的平面內(nèi)的三個(gè)點(diǎn),如果已知各點(diǎn)處的電勢(shì),或者已知帶電粒子分別經(jīng)過(guò)各點(diǎn)時(shí)的動(dòng)能,或者已知帶電粒子分別沿兩條線(xiàn)段運(yùn)動(dòng)過(guò)程中電場(chǎng)力做的功,那么可求出電場(chǎng)強(qiáng)度的大小和方向.對(duì)這類(lèi)問(wèn)題有兩種不同的解答方法,即電勢(shì)差分割法與場(chǎng)強(qiáng)分量合成法.

1 方法歸納

方法依據(jù):勻強(qiáng)電場(chǎng)中的任意一條直線(xiàn)上的電勢(shì)降落規(guī)律相同,兩點(diǎn)之間的電勢(shì)差跟距離成正比.

1)電勢(shì)差分割法.首先選擇三個(gè)點(diǎn)中電勢(shì)最高點(diǎn)為參考點(diǎn),以參考點(diǎn)為起點(diǎn),確定兩條線(xiàn)段;再計(jì)算每條線(xiàn)段兩端的電勢(shì)差,根據(jù)電勢(shì)差數(shù)值的特點(diǎn)均勻分割線(xiàn)段;然后在兩條線(xiàn)段上尋找兩個(gè)等勢(shì)點(diǎn),連接一條等勢(shì)線(xiàn);最后畫(huà)出一條電場(chǎng)線(xiàn),計(jì)算沿電場(chǎng)線(xiàn)方向某一線(xiàn)段的長(zhǎng)度,求出場(chǎng)強(qiáng)大小和方向.

2)場(chǎng)強(qiáng)分量合成法.首先分別算出兩條相互垂直線(xiàn)段兩端的電勢(shì)差;再計(jì)算電場(chǎng)強(qiáng)度在兩個(gè)相互垂直方向的分量;最后利用矢量合成法求出合場(chǎng)強(qiáng)的大小和方向.這種方法的關(guān)鍵是如何計(jì)算某一方向的場(chǎng)強(qiáng)分量,需利用一個(gè)結(jié)論,下面進(jìn)行定量推導(dǎo)論證.

如圖1所示,在勻強(qiáng)電場(chǎng)中與電場(chǎng)線(xiàn)平行的平面內(nèi)有一條線(xiàn)段AB,線(xiàn)段AB的長(zhǎng)度為L(zhǎng)AB,與電場(chǎng)線(xiàn)的夾角為β,利用場(chǎng)強(qiáng)公式可知線(xiàn)段AB兩端的電勢(shì)差UAB＝Ed＝E?LABcosβ＝Ecosβ?LAB,即UAB＝EABLAB,或者.

圖1

這表明,在勻強(qiáng)電場(chǎng)中任意兩點(diǎn)間的電勢(shì)差等于這兩點(diǎn)連線(xiàn)上的場(chǎng)強(qiáng)分量與這兩點(diǎn)間的距離之積.換言之,在勻強(qiáng)電場(chǎng)中任意兩點(diǎn)間的電勢(shì)差與這兩點(diǎn)間的距離之比等于電場(chǎng)強(qiáng)度在這兩點(diǎn)連線(xiàn)上的分量,這就是場(chǎng)強(qiáng)分量結(jié)論.

值得注意的是,對(duì)于勻強(qiáng)電場(chǎng),雖然可以求出任一方向上的場(chǎng)強(qiáng)分量,但不能分解為任意夾角的兩個(gè)分量,而只能按兩個(gè)相互垂直的方向進(jìn)行分解,即正交分解.或者說(shuō),兩個(gè)方向的場(chǎng)強(qiáng)分量夾角必須為直角,否則不遵循平行四邊形定則.因此,只要求出場(chǎng)強(qiáng)在某一方向的分量,那么另一個(gè)分量的方向就已經(jīng)確定了.同理,對(duì)于點(diǎn)電荷在勻強(qiáng)電場(chǎng)中受到的電場(chǎng)力也只能進(jìn)行正交分解與合成,只有兩個(gè)分量相互垂直,各分量的效果才互不關(guān)聯(lián)、互不影響.或者說(shuō),一個(gè)力在與之垂直的方向上不做功,則兩個(gè)相互垂直的恒力各自做功是獨(dú)立的.這如同重力,只能進(jìn)行正交分解與合成,當(dāng)物體沿斜面下滑時(shí),無(wú)論斜面傾斜角如何變化,重力的兩個(gè)分力都相互垂直,夾角不可能為鈍角或銳角.

在勻強(qiáng)電場(chǎng)中場(chǎng)強(qiáng)處處相同,空間任一點(diǎn)的場(chǎng)強(qiáng)都可分解為相互垂直的兩個(gè)分量,而且同一方向的分量處處相同,即Ex＝Ex1＝Ex2＝…＝Exn,Ey＝Ey1＝Ey2＝…＝Eyn,則合場(chǎng)強(qiáng)為.

2 方法應(yīng)用

下面對(duì)有關(guān)的物理問(wèn)題利用電勢(shì)差分割法與場(chǎng)強(qiáng)分量合成法求電場(chǎng)強(qiáng)度.

例1(2021年湖南卷)如圖2所示,圓心為O的圓處于勻強(qiáng)電場(chǎng)中,電場(chǎng)方向與圓平面平行,ab和cd為該圓直徑.將電荷量為q(q＞0)的粒子從a點(diǎn)移動(dòng)到b點(diǎn),電場(chǎng)力做功為2W(W＞0);若將該粒子從c點(diǎn)移動(dòng)到d點(diǎn),電場(chǎng)力做功為W.下列說(shuō)法中正確的是( ).

A.該勻強(qiáng)電場(chǎng)的場(chǎng)強(qiáng)方向與ab平行

B.將該粒子從d點(diǎn)移動(dòng)到b點(diǎn),電場(chǎng)力做功為0.5W

C.a點(diǎn)處的電勢(shì)低于c點(diǎn)處的電勢(shì)

D.若只受電場(chǎng)力,從d點(diǎn)射入圓形電場(chǎng)區(qū)域的所有帶電粒子都做曲線(xiàn)運(yùn)動(dòng)

根據(jù)做功情況可知,沿線(xiàn)段ab方向電勢(shì)逐漸降低,沿線(xiàn)段cd方向電勢(shì)逐漸降低.利用電場(chǎng)力做功的公式W＝qU可知,兩條直徑對(duì)應(yīng)的電勢(shì)差之比為Uab∶Ucd＝2∶1.對(duì)于O、b、d三點(diǎn),O點(diǎn)的電勢(shì)最高,可作為參考點(diǎn),由此確定兩條線(xiàn)段,即兩條半徑Ob和Od,對(duì)應(yīng)的電勢(shì)差之比為UOb∶UOd＝2∶1.據(jù)此可將線(xiàn)段Ob均分為兩份,設(shè)中點(diǎn)為e,則點(diǎn)e與d是等勢(shì)點(diǎn),連接de得到一條等勢(shì)線(xiàn),如圖3所示.可以證明,△Oed為直角三角形,則等勢(shì)線(xiàn)de垂直于線(xiàn)段ab,因此電場(chǎng)線(xiàn)沿ab方向,選項(xiàng)A 正確.將該粒子由d點(diǎn)移動(dòng)到b點(diǎn),等效于從e點(diǎn)移到b點(diǎn),電場(chǎng)力做功0.5W,選項(xiàng)B正確.過(guò)c點(diǎn)作等勢(shì)線(xiàn)cf,由于a點(diǎn)電勢(shì)高于f點(diǎn),可知a點(diǎn)電勢(shì)高于c點(diǎn),選項(xiàng)C錯(cuò)誤.若帶電粒子沿與電場(chǎng)線(xiàn)平行方向射入,則粒子做直線(xiàn)運(yùn)動(dòng),選項(xiàng)D 錯(cuò)誤.

圖3

本題解題關(guān)鍵是利用電場(chǎng)力做功的情況來(lái)判斷電勢(shì)的變化情況,并得出兩個(gè)電勢(shì)差的關(guān)系.為了在兩條線(xiàn)段上尋找等勢(shì)點(diǎn),需在三個(gè)點(diǎn)中選擇電勢(shì)最高的點(diǎn)作為參考點(diǎn).該題雖然不必求解場(chǎng)強(qiáng),但需利用電勢(shì)差分割法確定電場(chǎng)線(xiàn)的方向.

例2勻強(qiáng)電場(chǎng)中一個(gè)三角形的頂點(diǎn)為A、B、C,AB的長(zhǎng)度是1cm,D點(diǎn)是AB的中點(diǎn),如圖4 所示,已知電場(chǎng)線(xiàn)平行于三角形ABC所在平面,A、B、C三點(diǎn)處的電勢(shì)分別為14V、6V 和2V.設(shè)場(chǎng)強(qiáng)大小為E,一電荷量為1.0×10－6C 的正點(diǎn)電荷從D點(diǎn)移動(dòng)到C點(diǎn),電場(chǎng)力做的功為W,則( ).

圖4

A.W＝8×10－6J,E＞8V?m－1

B.W＝6×10－6J,E＞6V?m－1

C.W＝8×10－6J,E≤8V?m－1

D.W＝6×10－6J,E≤6V?m－1

線(xiàn)段AB的中點(diǎn)D處的電勢(shì)為φD＝10V,可知UDC＝8V,所以正點(diǎn)電荷從D點(diǎn)移動(dòng)到C點(diǎn)的過(guò)程中電場(chǎng)力做的功為W＝8×10－6J.由題意知,A點(diǎn)處電勢(shì)最高,以A點(diǎn)為參考點(diǎn),線(xiàn)段AB和AC對(duì)應(yīng)的電勢(shì)差分別為UAB＝8V,UAC＝12V,因此可把線(xiàn)段AB二等分,AC三等分,如圖5所示,可知G點(diǎn)與D點(diǎn)是一對(duì)等勢(shì)點(diǎn),電勢(shì)為φG＝10V,根據(jù)電場(chǎng)線(xiàn)垂直于等勢(shì)面,可畫(huà)出一條電場(chǎng)線(xiàn).設(shè)兩個(gè)相鄰的等勢(shì)面間距為Δd,可知電場(chǎng)強(qiáng)度為由于,故E＞8V?m－1,選項(xiàng)A 正確.

圖5

本題解題關(guān)鍵是求中點(diǎn)的電勢(shì)以及三等分點(diǎn)的電勢(shì)來(lái)確定一條等勢(shì)線(xiàn).不必求出場(chǎng)強(qiáng)的具體數(shù)值,只需利用場(chǎng)強(qiáng)公式判斷場(chǎng)強(qiáng)的取值范圍.

例3如圖6所示,在勻強(qiáng)電場(chǎng)中畫(huà)一個(gè)等腰直角三角形,三角形平面平行于電場(chǎng)線(xiàn).已知三角形的直角邊長(zhǎng)為10cm,頂點(diǎn)A、B、C的電勢(shì)分別為5 V、20V 和2V.試在圖中畫(huà)出一條電場(chǎng)線(xiàn),求出場(chǎng)強(qiáng)的大小和方向.

圖6

方法1利用電勢(shì)差分割法

由于B點(diǎn)電勢(shì)最高,則可作為參考點(diǎn),以B點(diǎn)為起點(diǎn),確定兩條線(xiàn)段BA和BC.分別計(jì)算每條線(xiàn)段兩端的電勢(shì)差,UBA＝15V,UBC＝18V.二者之比為UBA∶UBC＝5∶6.可把線(xiàn)段BC均分為兩份,設(shè)中點(diǎn)為D,把線(xiàn)段BA均分為5份,設(shè)五分之三分點(diǎn)為F,如圖7所示.可知UBD＝UBF＝9V,那么D點(diǎn)與F點(diǎn)為等勢(shì)點(diǎn),連接線(xiàn)段DF,得到一條等勢(shì)線(xiàn).過(guò)B點(diǎn)作線(xiàn)段DF的垂線(xiàn),標(biāo)明方向,得到一條電場(chǎng)線(xiàn),與等勢(shì)線(xiàn)相交于G點(diǎn).對(duì)于直角三角形FBD,斜邊長(zhǎng)度為,利用兩種方法計(jì)算直角三角形的面積可知線(xiàn)段BG的長(zhǎng)度為.已知UBG＝UBD＝9V,可知場(chǎng)強(qiáng)大小為.場(chǎng)強(qiáng)方向跟BC邊的夾角滿(mǎn)足,即電場(chǎng)線(xiàn)的傾斜角為.

圖7

這種方法的解題關(guān)鍵是以電勢(shì)最高點(diǎn)為參考點(diǎn),在有共同起點(diǎn)的兩條線(xiàn)段上尋找一對(duì)等勢(shì)點(diǎn),確定一條等勢(shì)線(xiàn),再過(guò)特殊點(diǎn)確定一條電場(chǎng)線(xiàn).在計(jì)算線(xiàn)段BG的長(zhǎng)度時(shí),利用了計(jì)算直角三角形DBF面積的兩種方法.此外,也可利用各直角三角形中三角函數(shù)關(guān)系來(lái)計(jì)算線(xiàn)段BG的長(zhǎng)度.

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方法2利用場(chǎng)強(qiáng)分量合成法

分別計(jì)算兩個(gè)相互垂直方向的電勢(shì)差UBC＝18 V,UBA＝15V.可知場(chǎng)強(qiáng)分量大小EBC＝180V?m－1,EBA＝150V?m－1.利用勾股定理可知場(chǎng)強(qiáng)大小

這種方法的解題關(guān)鍵是找到兩條相互垂直的線(xiàn)段,分別求出兩個(gè)方向的場(chǎng)強(qiáng)分量.

例4(2017年新課標(biāo)全國(guó)卷Ⅲ)一勻強(qiáng)電場(chǎng)的方向平行于xOy平面,平面內(nèi)a、b、c三點(diǎn)的位置如圖8所示,三點(diǎn)的電勢(shì)分別為10V、17V、26V.下列說(shuō)法正確的是( ).

圖8

A.電場(chǎng)強(qiáng)度的大小為2.5V?cm－1

B.坐標(biāo)原點(diǎn)處的電勢(shì)為1V

C.電子在a點(diǎn)的電勢(shì)能比在b點(diǎn)低7eV

D.電子從b點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到c點(diǎn),電場(chǎng)力做功為9eV

方法1利用電勢(shì)差分割法由題意知c點(diǎn)處電勢(shì)最高,線(xiàn)段ca、cb對(duì)應(yīng)的電勢(shì)差分別為Uca＝16V,Ucb＝9V.如圖9所示,可把線(xiàn)段ca平均分為4等份,每份長(zhǎng)度為2cm,對(duì)應(yīng)的電勢(shì)差為4 V;把線(xiàn)段cb平均分為3等份,每份的長(zhǎng)度為2cm,對(duì)應(yīng)的電勢(shì)差為3V.由于數(shù)字4與3的最小公倍數(shù)為12,則可在線(xiàn)段ca上取3等份,ce＝6cm,Uce＝12V;延長(zhǎng)線(xiàn)段cb至f點(diǎn),使得bf＝2cm,可知cf＝8cm,Ucf＝12V.e、f兩點(diǎn)為等勢(shì)點(diǎn),連接ef為一條等勢(shì)線(xiàn),可知ef＝10cm.

圖9

過(guò)c點(diǎn)畫(huà)一條直線(xiàn)垂直于ef,得到一條電場(chǎng)線(xiàn).設(shè)電場(chǎng)線(xiàn)與等勢(shì)線(xiàn)的交點(diǎn)為g,利用兩種方法計(jì)算直角△ecf的面積,可知,因此電場(chǎng)強(qiáng)度為.

由此可知選項(xiàng)A 正確.根據(jù)“長(zhǎng)度相等的平行線(xiàn)段兩端的電勢(shì)差相等”可知,坐標(biāo)原點(diǎn)處的電勢(shì)為1V,選項(xiàng)B正確.電子在a點(diǎn)的電勢(shì)能比在b點(diǎn)的高7eV,選項(xiàng)C錯(cuò)誤.電子從b點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到c點(diǎn),電場(chǎng)力做的功為W＝eUbc＝9eV,選項(xiàng)D 正確.答案為A、B、D.

在對(duì)線(xiàn)段ca與cb進(jìn)行均勻分割后,為了找到等勢(shì)點(diǎn),需延長(zhǎng)線(xiàn)段cb,具有一定的技巧性;在計(jì)算電場(chǎng)線(xiàn)方向線(xiàn)段長(zhǎng)度時(shí),需利用兩種方法計(jì)算直角三角形的面積.此外,還有一種方法,即在線(xiàn)段ca上找到一點(diǎn)b′與點(diǎn)b處的電勢(shì)相等,使得Ucb′＝9V,需根據(jù)同一直線(xiàn)上兩點(diǎn)之間的電勢(shì)差跟距離成正比計(jì)算線(xiàn)段cb′的長(zhǎng)度以及利用勾股定理計(jì)算線(xiàn)段bb′的長(zhǎng)度,推導(dǎo)過(guò)程比較煩瑣.

方法2利用場(chǎng)強(qiáng)分量合成法

在已知三點(diǎn)中,c點(diǎn)電勢(shì)最高,計(jì)算兩個(gè)垂直方向的電勢(shì)差分別為Uca＝16V,Ucb＝9V.可知場(chǎng)強(qiáng)在x、y軸方向的分量大小分別為,,則合場(chǎng)強(qiáng)大小為E＝,選項(xiàng)A 正確.其他選項(xiàng)的判斷同方法1.

在計(jì)算兩個(gè)相互垂直方向的場(chǎng)強(qiáng)分量大小時(shí),無(wú)須考慮數(shù)值中帶有負(fù)號(hào),但若計(jì)算場(chǎng)強(qiáng)分量,則需考慮數(shù)值帶負(fù)號(hào),用來(lái)表示方向.

例5如圖10所示,4 個(gè)點(diǎn)a、b、c、d分布在圓O上,ab＝5cm,cd＝8cm,∠bac＝60°,勻強(qiáng)電場(chǎng)的方向平行于圓所在的平面.已知點(diǎn)a、b、d的電勢(shì)分別為φa＝46 V,φb＝21V,φd＝10V.求該勻強(qiáng)電場(chǎng)的方向以及場(chǎng)強(qiáng)的大小.

圖10

由題意知Oa＝ab＝5cm,則ac＝10cm.a點(diǎn)電勢(shì)最高,連接線(xiàn)段ad,構(gòu)成直角三角形,如圖11 所示.由于cd＝8cm,可知ad＝6cm,∠dac＝53°.需均勻分割線(xiàn)段ad與ab,以尋找等勢(shì)點(diǎn).線(xiàn)段ad兩端的電勢(shì)差為36V,線(xiàn)段ab兩端的電勢(shì)差為25V.可將線(xiàn)段ad均分為6等份,每小段對(duì)應(yīng)的電勢(shì)差為6V,可知Uae＝30V.把線(xiàn)段ab均分為5等份,每小段對(duì)應(yīng)的電勢(shì)差為5V.數(shù)字5與6的最小公倍數(shù)為30,則可在線(xiàn)段ad上取5 等份,Uae＝30 V,對(duì)線(xiàn)段ab延長(zhǎng)1cm 至點(diǎn)f,可知Uaf＝30V.因此點(diǎn)e、f是一對(duì)等勢(shì)點(diǎn),連接線(xiàn)段ef得到一條等勢(shì)線(xiàn).

圖11

下面利用假設(shè)法確定電場(chǎng)線(xiàn)的方向.

假設(shè)ac⊥ef,則形成兩個(gè)直角三角形,用不同方法分別計(jì)算公共直角邊的長(zhǎng)度為

由于所得兩個(gè)數(shù)值相等,因此“假設(shè)”成立,即ac⊥ef.可知電場(chǎng)線(xiàn)沿ac方向,從點(diǎn)a指向c.

對(duì)于線(xiàn)段af,兩端的電勢(shì)差為Uaf＝30V,在電場(chǎng)線(xiàn)方向的長(zhǎng)度為l＝0.03m,可知場(chǎng)強(qiáng)大小為

要注意兩個(gè)等勢(shì)點(diǎn)不一定都在線(xiàn)段上,有時(shí)可能位于延長(zhǎng)線(xiàn)上.雖然在尋找等勢(shì)點(diǎn)時(shí)也可以再把線(xiàn)段ae平分,中點(diǎn)g與線(xiàn)段ab的五分之三分點(diǎn)h是一對(duì)等勢(shì)點(diǎn),但是在作圖方面不理想.對(duì)于電場(chǎng)線(xiàn)方向的確定,關(guān)鍵是利用假設(shè)法來(lái)證明ac⊥ef.

綜上可見(jiàn),對(duì)有關(guān)“勻強(qiáng)電場(chǎng)中三個(gè)點(diǎn)的電勢(shì)求場(chǎng)強(qiáng)”一類(lèi)問(wèn)題,通?？捎袃煞N求解方法,其一是電勢(shì)差分割法,需對(duì)共同起點(diǎn)的兩條線(xiàn)段進(jìn)行均勻分割,由此求出等勢(shì)點(diǎn),畫(huà)出等勢(shì)線(xiàn)和電場(chǎng)線(xiàn),即可求出場(chǎng)強(qiáng)大小和方向;其二場(chǎng)強(qiáng)分量合成法,實(shí)際上是正交分解法,即由相互垂直的兩條線(xiàn)段對(duì)應(yīng)的電勢(shì)差求出場(chǎng)強(qiáng)的兩個(gè)相互垂直的分量,利用矢量直角三角形求出場(chǎng)強(qiáng)的大小和方向.第一種方法普遍適用于有關(guān)各種三角形頂點(diǎn)的電勢(shì)問(wèn)題;第二種方法只適用于有關(guān)直角三角形頂點(diǎn)的電勢(shì)問(wèn)題,若沒(méi)有直角三角形,則需作某一線(xiàn)段的垂線(xiàn),即輔助線(xiàn),確定兩個(gè)相互垂直的方向.兩種方法繁簡(jiǎn)不同,例如,對(duì)于例1、2、5的解答,利用電勢(shì)差分割法比較簡(jiǎn)單,但不適用于場(chǎng)強(qiáng)分量合成法;對(duì)于例3、4的解答,利用場(chǎng)強(qiáng)分量合成法比較簡(jiǎn)單,而利用電勢(shì)差分割法則難度較大.總之,需對(duì)各種不同的物理問(wèn)題進(jìn)行具體分析,靈活選擇合適的方法,可使問(wèn)題迎刃而解.

(完)