基于GGB 動態(tài)數(shù)學軟件的高中數(shù)學可視化教學實踐

文| 劉 寧

一、GGB 數(shù)學軟件概述

GeoGebra 數(shù)學建模軟件（簡稱GGB），可拆分為“Geo”+“Gebra”，是幾何（Geometry）與代數(shù)（Algebra）名稱的組合，是2002 年由美國佛羅里達州亞特蘭大學的數(shù)學教授Markus Hohenwarter 以及其國際開發(fā)團隊共同開發(fā)的，是全世界的學校都可以免費使用的動態(tài)數(shù)學軟件。這款軟件可以有效實現(xiàn)數(shù)、參數(shù)方程、圖形的相互轉化和動態(tài)顯示，并且可以很好地將其中的關系表達出來，幫助學生理解。教師利用這個軟件可以將數(shù)學知識以圖形的形式呈現(xiàn)出來，幫助學生在腦海中形成可視化的直觀形象，促進學生數(shù)形結合思維能力的發(fā)展。GGB 建模軟件涵蓋了許多功能，在每個功能區(qū)都有獨特的功能，完善了各功能區(qū)之間的關聯(lián)和協(xié)作性能。

GGB 建模軟件主要分為六個功能區(qū)，即代數(shù)區(qū)、繪圖區(qū)、運算區(qū)、電子表格區(qū)、3D 繪圖區(qū)以及概率與統(tǒng)計繪圖區(qū)等，各個區(qū)域?qū)Ω咧袛?shù)學知識的可視化呈現(xiàn)發(fā)揮著至關重要的作用。在代數(shù)區(qū)，主要呈現(xiàn)的是不同圖形的參數(shù)方程，將其參數(shù)、坐標等繪制出來，如平面圖形、空間圖形、圓錐曲線等；在繪圖區(qū)，可以通過手動輸入?yún)?shù)方程的形式，在這個區(qū)域自動生成圖形；在運算區(qū)，可以輸入相應的運算法則，從而快速進行代數(shù)運算，并且計算出正確的結果；而在電子表格區(qū)、3D 繪圖區(qū)以及概率與統(tǒng)計繪圖區(qū)，可以根據(jù)相關的數(shù)學知識，通過系統(tǒng)的深度學習功能實現(xiàn)智能化生成圖形的目標。

二、GGB 數(shù)學軟件應用于高中數(shù)學可視化教學的可行性分析

以溧陽市光華高級中學為例，筆者通過對高中數(shù)學教學實際進行分析并對高中部學校進行實地考察可知，當前，雖然許多學校的高中數(shù)學教學獲得了廣泛的多媒體教學技術支持，但是很多高中數(shù)學教師在教學過程中仍然使用傳統(tǒng)教學模式。對于一些抽象的幾何問題，教師在講解過程中只是進行語言講解，無法將其具體、形象地表達出來，學生只能憑空想象這些知識點。這種方式對缺乏抽象思維能力的學生來說，具有一定的學習難度。在這種教學方式的影響下，學生缺乏發(fā)散性思維，只能對知識點進行死記硬背、簡單套用。而高中數(shù)學的題型豐富多樣，這就導致學生在日常的學習過程中無法靈活運用知識解決問題，數(shù)學思維和實際運用能力較差。

隨著科學技術的發(fā)展，許多方便、快捷、高效的教學軟件應運而生，如GGB 數(shù)學軟件。在高中數(shù)學學習過程中，學生可以自己動手拖動圖形、觀察圖形，通過實際操作和直接觀察理解數(shù)學知識，增強學生對數(shù)學知識的理解，提升學生的思維能力。此外，教師以動態(tài)的方式呈現(xiàn)數(shù)學知識，可以充分調(diào)動學生學習數(shù)學的積極性和主動性，將抽象、晦澀的數(shù)學知識生動、形象地呈現(xiàn)給學生，幫助學生深入理解這些數(shù)學知識，在一定程度上提升學生對數(shù)學知識的理解能力，充分激發(fā)學生的主動性和創(chuàng)造性，更好地解決高中數(shù)學教學中的重難點，促進學生數(shù)學核心素養(yǎng)的提升。

三、GGB 軟件動態(tài)化教學的優(yōu)勢

高中數(shù)學知識比較抽象，邏輯性強，對學生的空間想象能力和邏輯思維能力要求比較高。利用GGB軟件開展動態(tài)化教學，能夠使抽象的數(shù)學知識更加形象化，通過這種直觀的方式幫助學生構建更加完整的知識體系，增強學生的邏輯思維能力，提高學生的數(shù)學素養(yǎng)。教師在高中數(shù)學教學過程中應用GGB軟件，不僅可以向?qū)W生展示直觀、靜態(tài)的圖形，還可以利用動畫生成圖形變化的過程，使學生在觀察圖形的動態(tài)變化過程中理解抽象的數(shù)學知識。動態(tài)化的呈現(xiàn)形式可以幫助學生積極思考圖形和代數(shù)理論之間的關系，以繪圖的形式進行代數(shù)轉換，使學生深刻認識數(shù)學知識之間的邏輯關系，從而提高學生的自主探究能力以及抽象思維能力，促進學生全面發(fā)展。

四、GGB 軟件動態(tài)數(shù)學可視化教學設計

（一）教材分析

“直線與圓的位置關系”這節(jié)內(nèi)容選自新人教A版高中數(shù)學選擇性必修第一冊第二章的第5 小節(jié)。本節(jié)內(nèi)容旨在利用代數(shù)方法研究直線與圓的位置關系，在學生對初中幾何中直線和圓的形狀有一定認識的基礎上，挖掘兩者之間“數(shù)”的關系，進一步提升學生理解和解析幾何數(shù)學知識的能力，有效實現(xiàn)幾何問題和代數(shù)問題的轉化能力提升。

（二）學情分析

學生經(jīng)過初中幾何知識的學習，已經(jīng)基本了解直線與圓相交、相切、相離的位置關系，并且學會了判斷位置關系的兩種方法。在本章前4 節(jié)的內(nèi)容中學習了直線的傾斜角與斜率、圓的方程、直線方程以及直線的交點坐標與距離公式等知識，為本節(jié)內(nèi)容的學習做了基礎準備。學生基本上已經(jīng)掌握了利用方程組確定直線的交點的方法，并且具有運用坐標法研究點與圓的位置關系的基礎，以及一定的數(shù)形結合思想，但是其抽象思維和空間想象能力需要進一步提升。

（三）教學目標

1.利用GGB 軟件演示直觀性的圖象，以此引發(fā)學生對直線與圓的位置關系的思考，打破學生在之前學習中對直線與圓的思辨模式，幫助學生更快地形成完整、系統(tǒng)的知識框架。

2.學生可以在GGB 軟件的動態(tài)演示下，概括出直線與圓的位置關系的代數(shù)形式，同時幫助學生掌握不同位置關系的圖象形式。

3.提升學生的觀察、分析、思辨等數(shù)學核心素養(yǎng)，更進一步掌握數(shù)形結合的思維方式，提升學生的抽象思維能力。

（四）教學重點及難點

1.教學重點：學生掌握直線與圓的位置關系的分類判斷和應用。

2.教學難點：將直線與圓的位置關系由幾何圖形轉化為代數(shù)形式；建立直線與圓的方程，利用方程組的解來研究直線與圓的位置關系以及圓的幾何性質(zhì)的應用。

（五）教學方法

教師以GGB 數(shù)學軟件構建模型，以直觀性教學法、啟發(fā)性教學法以及合作探究等教學方法為主導，引導學生在GBB 軟件支持下能夠更好地學習和理解直線與圓的位置關系的代數(shù)表達形式，提升學生的空間想象力、抽象思維培養(yǎng)以及邏輯思辨能力。

（六）教學過程

1.情境創(chuàng)設，問題驅(qū)動

基于當前學生對直線與圓的位置關系有著基本的幾何關系掌握的學情基礎上，基本掌握了直線與圓相切、相交、相離的位置關系。因此，教師利用GGB軟件繪制出一個直線與圓無限接近的情況（如圖1所示），并且請大家思考和討論圖中直線與圓的位置關系。

圖1 直線與圓無限接近但并未相切或相交

教師：請大家觀察圖中直線和圓的位置，并且思考圖中直線和圓的關系，談談你們的想法。

生A：直線與圓相切。

生B：圖中沒有直接給出直線和圓的切點，所以并不能直接判定直線是與圓相切的。

師：既然同學們對圖片上直線和圓的位置有不同的看法，那么我們利用GGB 數(shù)學軟件將該圖進行局部放大之后，大家觀察這條直線是否和圓出現(xiàn)交點。

利用GGB 數(shù)學軟件將圖片中直線與圓的位置無限接近處進行放大（如圖2 所示），發(fā)現(xiàn)圖中直線與圓的位置的確如學生B 說，直線與圓并沒有相切或相交。

圖2 局部放大示意圖

教師：通過觀察圖2，我們可以發(fā)現(xiàn)學生B 說的沒錯，圖中的直線并沒有與圓相切。由此我們知道，單純通過觀察圖片并不能得到真實的數(shù)據(jù)信息，圖象只能作為片面的參考，想要獲取精確的直線與圓的位置關系，我們就要明白：直線和圓的位置關系不僅僅體現(xiàn)在圖象上，還需要利用代數(shù)公式進一步進行直線與圓位置關系的判斷。

（設計意圖：利用GGB 軟件的直觀性優(yōu)勢，直接引入本節(jié)內(nèi)容的教學重點，通過圖象中看似相切，實則相離的直線與圓的位置關系來引發(fā)學生的討論，并且引導學生思考如何才能更加精準地判斷直線與圓的位置關系，提升學生自主探究、自主學習的積極性。）

2.動態(tài)模擬，構建知識架構

教師利用GGB 數(shù)學軟件繪制出既定條件：點O（x0，y0）、直線l:x0x+y0y=r2以及圓C：x2+y2=r2下的圖象，并且在軟件中不斷給x0、y0以及r 賦值，將制作的圖象展示給學生（如圖3 所示）。

圖3 直線與圓位置關系設計圖

教師在教學過程中，通過滑動圖形中設定r 及F點，以此改變圓的大小及直線的位置，并且讓學生合作探究、觀察思考直線與圓的位置關系變化。

師：同學們，現(xiàn)在老師保持圓的直徑不變，拖動F點的位置，大家觀察直線與圓的位置關系是怎么樣呢？

生C：當F 點保持在圓C 外時，無論怎么滑動r按鈕，直線l 和圓C 始終相交并且有兩個交點；而當F 點在圓C 上時，直線l 與圓C 只有一個交點，但是當F 點在圓C 內(nèi)時，直線l 和圓C 沒有交點。

教師：對，在不斷改變F 點位置的過程中，對應的直線l 和圓C 的位置就會產(chǎn)生相應的變化。這三種對應的位置關系可以分為相切、相離、相交，而利用直線方程將圖中三個位置關系的變化表示出來，可以表示為：x0x+y0y=r12，當r12=r2時，直線與圓相切；當r12＞r2時，直線與圓相離；當r12＜r2時，直線與圓相交。這就是直線與圓的位置關系在代數(shù)上的體現(xiàn)。

（設計意圖：利用GGB 軟件設計直線與圓的位置關系，動態(tài)演示二者位置關系的變化過程，以直觀、動態(tài)的形式讓學生觀察圖片上直線與圓的位置變化，繼而積極思考并總結直線與圓的代數(shù)方程形式，從而實現(xiàn)更加準確地表達直線與圓的位置關系。）

（七）家庭作業(yè)設計

根據(jù)以下給出的條件，判斷直線與圓的位置關系：

（1）l：x+y-1=0，C：x2+y2=4

（2）l：4x-3y-8=0，C：x2+（y+1）2=4

（3）l：x+y-4=0，C：x2+y2+2x=4

（4）l：y=0，C：（x-1）2+（y-1）2=1

（設計意圖：通過設計相關的題目，讓學生在實踐操作中加強對課上所學知識的理解，深刻地認識直線與圓的位置關系的代數(shù)表達形式。學生還在此基礎上進一步鞏固了對直線與圓的不同關系的認知，從而對直線與圓的位置關系的代數(shù)形式形成完整的應用框架。）

五、結語

綜上所述，GGB 數(shù)學建模軟件為高中數(shù)學教學提供了動態(tài)性的輔助教學功能，教師可以利用這個軟件對抽象化的數(shù)學知識進行動態(tài)化、可視化呈現(xiàn)，讓學生在動態(tài)模擬中領會數(shù)學知識的內(nèi)涵，培養(yǎng)學生的空間想象力和邏輯思維能力，提高學生的數(shù)學核心素養(yǎng)。