中性筆出墨量與測試條件參數(shù)之間的數(shù)學(xué)模型構(gòu)建

吳瑛戟

上海文采實業(yè)有限公司，上海 200072

自從中性筆發(fā)展以來，在其各項檢測指標(biāo)中出墨量一直是技術(shù)人員關(guān)注的焦點，因為出墨量的大小直接影響到書寫的體驗。出墨量太大或太小對書寫感覺都有不利的影響。出墨量大，書寫手感比較順滑，但筆頭容易積墨，書寫線跡易有積墨點，字跡干燥時間相對變長，墨水消耗快。對于有些滲透性強(qiáng)的墨水，紙張背面易滲透墨跡，嚴(yán)重的會致使背面無法書寫利用。出墨量太小，書寫手感較澀，易造成字跡不飽滿、空心，嚴(yán)重的甚至?xí)嗑€，另外書寫過程對筆頭球座的磨損量也會相對較大，總體書寫的體驗較差。

然而要準(zhǔn)確測試中性筆的出墨量并不是件容易的事，因為中性筆出墨量測試過程中，影響出墨量大小的因素較多。這些因素包括：書寫角度、書寫載荷、書寫間距、書寫紙性能、書寫速度等。所以如何準(zhǔn)確測定中性筆的出墨量一直是行業(yè)內(nèi)專家討論和研究的熱門課題之一。從以往的研究和發(fā)表的文獻(xiàn)來看，姚鶴忠[1-2]從圓珠筆筆頭結(jié)構(gòu)參數(shù)和墨水的性能參數(shù)與出墨量關(guān)系進(jìn)行了研究。陳基銘[3]考慮了墨水、筆頭、紙張、球珠表面的墨水層等因素，構(gòu)建了墨水與筆頭匹配的出墨量仿真模型，利用計算機(jī)軟件進(jìn)行模擬分析。王通虎等[4]研究了測試時劃線間距變化對中性筆出墨量的影響。吳瑛戟[5]等從中性筆出墨量測量不確定度評定的角度研究了測試中的主要影響因素。從中性筆出墨量的研究來分析，主要集中在兩個方面：一是從筆頭墨水本身固有的性能出發(fā)來研究影響出墨量的規(guī)律；二是從出墨量測試方法的角度來研究影響出墨量的規(guī)律。從已發(fā)表的文獻(xiàn)來看，從筆頭、墨水本身固有的性能出發(fā)來研究的論文較多、較完整和全面，而從測試方法的角度出發(fā)來研究并不夠全面和充分。

為了系統(tǒng)地研究測試過程參數(shù)對中性筆出墨量測試的影響，我們對各因素進(jìn)行了分析。為了使問題得到一定的簡化，我們假定書寫測試在恒溫恒濕的狀況下進(jìn)行，測試環(huán)境條件：（23±2）℃，（50±5）%RH，這樣我們可以忽略測試環(huán)境對測試結(jié)果的影響。另外，書寫紙采用滿足ISO 14145要求的書寫紙。

1 中性筆出墨量與測試條件參數(shù)的關(guān)系分析

1.1 書寫間距與出墨量的關(guān)系分析

出墨量測試中，書寫間距指的是書寫測試時兩條螺旋線之間的距離。在文獻(xiàn)[6]中規(guī)定書寫間距一般在1～5 mm之間選擇。從我們平時測試中積累的經(jīng)驗來看，在其他條件不變的情況下，書寫間距越大，測試的出墨量越大。關(guān)于出墨量與書寫間距的關(guān)系，在文獻(xiàn)[4]中有比較好的闡述。

1.2 書寫紙與出墨量的關(guān)系分析

在中性筆出墨量的測試中，標(biāo)準(zhǔn)中一般推薦使用70 g/m2的書寫紙。目前國際上通常使用滿足ISO 14145標(biāo)準(zhǔn)的紙張，我們國內(nèi)書寫紙的標(biāo)準(zhǔn)為GB/T 12654，這一標(biāo)準(zhǔn)的實際指標(biāo)同ISO 14145標(biāo)準(zhǔn)紙張的指標(biāo)并不能很好地對應(yīng)。出墨量測試中書寫紙對出墨量的影響也較大，通常國產(chǎn)書寫紙測試的出墨量較ISO 14145的紙張出墨量要大一些。部分具體的數(shù)據(jù)分析可以參閱文獻(xiàn)[5]。

1.3 書寫角度和書寫載荷與出墨量的關(guān)系分析

圖1是劃圓書寫機(jī)上筆芯和夾具的示意圖。從圖中來看，書寫紙和筆頭成θ時，實際的書寫壓力F，為書寫載荷G（夾具和專用砝碼的總重量）的一個軸向分力，大小為G。在文獻(xiàn)[6]中，書寫測試時的書寫角度一般在60°～70°之間選擇，推薦使用70°。隨著θ角的變大，F(xiàn)力也逐漸增大。所以，我們在研究書寫角度和書寫載荷與出墨量的關(guān)系時要同時結(jié)合研究。

圖1 書寫機(jī)上筆芯和夾具的示意圖

以上是我們對書寫測試中的主要參數(shù)與出墨量測試中的一些定性分析，下面我們從書寫角度和書寫載荷兩個因素開始進(jìn)行基礎(chǔ)建模。至于其他的如書寫速度、書寫紙和書寫間距等對出墨量的影響，從以往測試的經(jīng)驗來看，我們可以通過試驗，求出一個相應(yīng)的系數(shù)，逐一加入到模型中。

2 中性筆出墨量與書寫角度及書寫載荷之間的數(shù)學(xué)模型建立

2.1 數(shù)學(xué)建模的意義

一般來說，數(shù)學(xué)建?？梢悦枋鰹椋簩τ诂F(xiàn)實世界的一個特定對象，為了一個特定目的，根據(jù)特有的內(nèi)在規(guī)律，作出一些必要的簡化假設(shè)，運(yùn)用適當(dāng)?shù)臄?shù)學(xué)工具得到的一個數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)[7]。在社會實際中的問題復(fù)雜多變，量與量之間的關(guān)系并不明顯，并不是套用某個數(shù)學(xué)公式或只w用某個學(xué)科、某個領(lǐng)域的知識就可以圓滿解決的。數(shù)學(xué)建模就是要從眾多的事物和現(xiàn)象中找到共同的、本質(zhì)的東西，抓住問題的主要矛盾，從大量數(shù)據(jù)和定量分析中尋找并發(fā)現(xiàn)規(guī)律。然而，數(shù)學(xué)建模本身就是一個創(chuàng)造性的思維過程，需要綜合運(yùn)用所掌握的知識和方法，創(chuàng)造性地分析解決實際中的問題。數(shù)學(xué)建模有許多方法，諸如線性規(guī)劃法、回歸分析法、層次分析法、微分方程法、量綱分析法和集合分析法等，這里我們采用量綱分析法。

2.2 量綱分析方法

所有的物理量都是由自身的物理屬性，以及由此而規(guī)定的量度單位這兩個要素構(gòu)成的[8]。所謂量綱就是撇開物理量量度單位的具體名稱，而著重于該物理量的類別（屬性）[8]。顯然，量綱是物理量的實質(zhì)[8]。我們采用dimA表示物理量A的量綱，通常以L代表長度量綱，M代表質(zhì)量量綱，T代表時間量綱，Θ代表溫度量綱。這幾個為基本量綱，我們這里只需選取M、L、T為3個基本量綱，其他物理量的量綱為導(dǎo)出量綱。有些量是無量綱量，如圓周率π為周長與直徑的比值，角度α為弧長與曲率半徑的比值，這類同類量的比值都是無量綱量。任一物理量A的量綱都可用3個基本量綱的冪次形式來表示：

當(dāng)用數(shù)學(xué)公式表示一個物理公式時，等號兩端必須保持量綱的一致性。這種性質(zhì)稱為量綱齊次性原理。當(dāng)方程中的各項具有相同的量綱時，這個方程被稱為是量綱齊次的。也只有具有相同量綱的量才能作比較或相加、減，這是量綱分析的基礎(chǔ)。量綱分析法是將物理量之間復(fù)雜的函數(shù)關(guān)系式，轉(zhuǎn)換成一些無量綱量之間關(guān)系式的一種方法[8]。在量綱齊次原理上發(fā)展起來的量綱分析法有兩種：一種稱為瑞利（Rayleigh）法；一種稱為布金漢（Buckingham）定理（又稱π定理）[8]。我們這里選用瑞利法。

瑞利法的基本原理是，倘若描述某一個物理現(xiàn)象同n個物理量有關(guān)[8]：

而其中的某一個物理量Bi可表示為其他物理量的指數(shù)乘積[8]：

寫成量綱形式[8]：

將式(4)中各項物理量的量綱按式(1)表示為基本量綱的冪次乘積形式，并根據(jù)量綱齊次原理，確定a，b，…，p,就可得出表達(dá)該物理現(xiàn)象的方程式。

2.3 出墨量與書寫角度及書寫載荷之間的數(shù)學(xué)模型建立

從中性筆出墨量與測試條件參數(shù)之間的關(guān)系分析和經(jīng)驗判斷來看，書寫間距、書寫紙、書寫速度對出墨量的影響因素單一，但由于書寫角度和書寫載荷對出墨量測試的影響關(guān)系較為復(fù)雜，所以我們先固定上述其他因素，來探討書寫角度和書寫載荷對出墨量的影響關(guān)系，其他因素可以在此基礎(chǔ)上乘上對應(yīng)的系數(shù)來解決。

2.3.1 條件假設(shè)和模型建立

在出墨量的測試中，我們一般以書寫長度100 m的出墨量為基準(zhǔn)，用書寫前的質(zhì)量同書寫100 m后的質(zhì)量差值作為出墨量的數(shù)值。這里用m表示百米出墨量，其單位為mg。從圖1的分析可以得到，在上述其他條件固定的情況下，經(jīng)分析出墨量m同書寫角度θ、書寫壓力F(為書寫載荷G的軸向分力，大小為G）、重力加速度g等相關(guān)：

我們按照瑞利法構(gòu)造一個公式：

式中：

m—百米出墨量，單位mg；

m0—書寫角度為θ0（書寫參考角度，可以為60°～70°間的某一角度）時的百米出墨量，單位mg；

k1(θ)—書寫角度為θ時的角度系數(shù)，無單位，當(dāng)θ為θ0時，k1(θ0)=0；

F—書寫壓力，單位N；

g—重力加速度，單位m/s2。

根據(jù)圖1中的分析，式（6）進(jìn)一步進(jìn)行演變，得到：

式中：

G—書寫載荷（夾具的總重量），單位N；

m1—夾具和專用砝碼的總質(zhì)量，單位g；

k2(θ) —書寫角度為θ時的角度系數(shù)，等于k1(θ)(sinθ)a，無單位。

下面以式（7）為研究對象，來求解式中的指數(shù)a和b。式（7）左邊出墨量m的量綱dimm=M

將式（7）寫成量綱形式得到：

用基本量綱的（M，L，T）表示各物理量量綱得到：

根據(jù)量綱齊次原理，得：

M：a=1

L：a+b=0

T：-2（a+b）=0

解得a=1，b=-1

所以式（7）整理后，得到：

為了進(jìn)一步簡化模型，根據(jù)量綱一致原則可以假設(shè)：

m0=k3m1

則可以得到：

2.3.2 模型初步分析

從得到的模型式(11)可以看出，夾具和專用砝碼的總質(zhì)量m1和出墨量m之間有一定的比例關(guān)系。也就是夾具和專用砝碼的總質(zhì)量m1固定的情況下，出墨量m會隨著書寫角度的變化而變化，這樣的變化可以用m和m1之間的比例系數(shù)的變化來表示。再深入分析，夾具和專用砝碼的總質(zhì)量m1取一定的值，假定為m10，通過試驗，在不同的書寫角度θ，可以得到對應(yīng)的出墨量m，這樣我們可以得到一組k(θ)的值，記為k(θ)10。如果m1取值改變?yōu)閙11，通過試驗可以得到另一組k(θ)的值，記為k(θ)11。這樣成功地找到了一個無量綱量k(θ)，我們可以在研究k(θ)的變化規(guī)律中得到出墨量m的變化規(guī)律，使問題研究更加簡單，更加有針對性。

2.4 考慮書寫間距的模型

從書寫間距對出墨量的影響分析中可以得出，其影響同其他因素的關(guān)聯(lián)性不大，為此我們可以在式(11)基礎(chǔ)模型的基礎(chǔ)上乘上一個書寫間距系數(shù)Cdx來修正模型。由于基礎(chǔ)模型是在書寫間距為1 mm的狀況下建立的，其書寫間距系數(shù)可以記為Cd1，其值為1。我們可以利用實驗求出書寫間距為2 mm下出墨量（記為m2）同書寫間距1 mm時的出墨量（記為m1）進(jìn)行比較，得到Cd2=m2/m1。同理可以得到Cd3、Cd4和Cd5。為此，考慮書寫間距的模型可以得到：

2.5 考慮書寫紙的模型

從書寫紙對出墨量的影響分析中可以得出，其影響同其他因素的關(guān)聯(lián)性不大，為此我們可以在式(12)的基礎(chǔ)上再乘上一個書寫紙系數(shù)CpX來修正模型。由于前面的模型都是在符合ISO 14145的書寫紙上建立的，其書寫紙系數(shù)可以記為Cp0，其值為1。我們可以利用實驗求出其他書寫紙，書寫間距1 mm時出墨量（記為mp1）同ISO 14145的書寫紙上，書寫間距1mm時的出墨量（記為m1）進(jìn)行比較，得到Cp1=mp1/m1。為了求證書寫紙系數(shù)Cp對書寫間距的敏感性，也可以進(jìn)一步試驗兩種書寫紙下其他書寫間距下的書寫紙系數(shù)CpX。為此，考慮書寫紙影響因素的模型可以寫為：

2.6 考慮書寫速度的模型

從書寫速度對出墨量的影響分析中可以得出，其影響同其他因素的關(guān)聯(lián)性不大，為此我們可以在式(13)的基礎(chǔ)上再乘上一個書寫速度系數(shù)CvX來修正模型。由于前面的模型書寫速度都是4.5 m/min，其書寫速度系數(shù)可以記為Cv0，其值為1。我們可以利用實驗求出其他書寫速度，書寫間距1 mm時的出墨量（記為mv1）同ISO 14145的書寫紙上，書寫速度是4.5 m/min、書寫間距1 mm時的出墨量（記為m1）進(jìn)行比較，得到Cv1=mv1/m1。為此，考慮書寫紙影響因素的模型可以寫為：

3 實驗分析和模型參數(shù)求解

3.1 實驗方案設(shè)計

實驗以670/0.5筆頭、130 mm長度的某款筆芯進(jìn)行試驗，此款筆芯按國家標(biāo)準(zhǔn)書寫長度要求大于400 m。隨著書寫的進(jìn)行，由于筆頭磨損、墨水高度下降等原因，后200 m的出墨量會有明顯下降，所以這里考慮到筆芯百米出墨量的這一變化規(guī)律，實驗時只考察筆芯前200 m的出墨量，以此200 m出墨量的平均值作為考察對象，設(shè)置不同的書寫條件參數(shù)，考察筆芯的百米出墨量。

3.2 不同載荷與書寫角度的試驗

表1 不同載荷（夾具質(zhì)量）與書寫角度時的出墨量和k(θ)

從表1的數(shù)據(jù)以平均值來比較，不同載荷下出墨量的數(shù)值會發(fā)生改變，呈現(xiàn)了中間高、兩頭低的現(xiàn)象；在載荷一定的情形下，隨著書寫角度的減小，出墨量有逐漸增大的趨勢；但是k(θ)1X卻從大到小，跟夾具質(zhì)量形成負(fù)相關(guān)的線性關(guān)系，具體見圖2。

圖2 不同夾具質(zhì)量時的出墨量k(θ)出墨量k (θ)1X

3.3 不同書寫間距的試驗

為進(jìn)行不同書寫間距的出墨量比較，在載荷為0.993 N（夾具質(zhì)量101.34 g）、書寫角度為65°、書寫速度為4.5 m/min的條件下進(jìn)行書寫間距1 mm、2 mm、3 mm、4 mm、5 mm分別進(jìn)行同款筆芯前200 m出墨量的測試。具體數(shù)據(jù)見表2。

表2 不同書寫間距時的出墨量和Cdx

從表2可以看出,隨著書寫間距的增加，出墨量有較大幅度的增大。同1 mm的書寫間距比較，2 mm時出墨量增加較多;隨著書寫間距的進(jìn)一步增加，出墨量增加幅度減小,增加的幅度在9%～12%之間。

3.4 不同書寫紙的試驗

為進(jìn)行不同書寫紙間的出墨量比較，在載荷為0.993 N（夾具質(zhì)量101.34 g）、書寫角度為65°、書寫速度為4.5 m/min、書寫間距1 mm的條件下進(jìn)行不同書寫紙同款筆芯前200 m出墨量的測試。具體數(shù)據(jù)見表3。從表3可以得出，兩種書寫紙間的出墨量差異較小，Cpx的平均值也可以取為1。

表3 不同書寫紙間出墨量的比較

表3 不同書寫紙間出墨量的比較

3.5 不同書寫速度的試驗

為進(jìn)行不同書寫速度的出墨量比較，在載荷為0.993 N（夾具質(zhì)量101.34 g）、書寫角度為65°、書寫間距1 mm的條件下進(jìn)行不同書寫速度下的出墨量比較試驗，書寫速度為3.5 m/min、4.5 m/min、5.5 m/min、6.5 m/min、7.5 m/min分別進(jìn)行同款筆芯前200 m出墨量的測試。具體數(shù)據(jù)見表4，書寫速度與Cvx的曲線圖見圖3。從圖3 看出，書寫速度與Cvx之間呈線性負(fù)相關(guān)。經(jīng)回歸計算，相關(guān)系數(shù)R的絕對值為0.92，書寫速度與Cvx線性相關(guān)性良好。一次線性回歸方程為：

圖3 不同書寫速度下的Cvx

4 模型應(yīng)用和討論

4.1 模型各系數(shù)的確定

從試驗的數(shù)據(jù)分析和數(shù)學(xué)模型的各系數(shù)求解過程來看，書寫角度和書寫載荷系數(shù)k(θ)可以從表1中查詢，或者表1中未能直接查得的，可以結(jié)合夾具質(zhì)量m1通過線性插值求得。書寫間距系數(shù)Cdx可以通過表2直接查得。從分析和實際的數(shù)據(jù)來看這里的書寫紙系數(shù)Cpx取為1。書寫速度系數(shù)Cvx可以通過式（15）進(jìn)行回歸計算獲得。模型計算總表見表5。

表5 模型計算總表

4.2 模型的應(yīng)用

對于一款中性墨水圓珠筆筆芯，在研發(fā)階段要經(jīng)過多方案、長時間的試驗才能成功。這期間筆頭的選型、墨水的確定、筆芯主要尺寸的確定等，都需要足夠的試驗。通過模型的應(yīng)用，可以很好地幫助筆頭和墨水的選型，可以利用模型進(jìn)行不同書寫條件下的結(jié)果比較、分析和預(yù)測，可以協(xié)調(diào)筆頭、墨水供應(yīng)商與筆芯成品生產(chǎn)商之間檢測標(biāo)準(zhǔn)的不一致帶來的矛盾。同時模型也可以指導(dǎo)筆芯研發(fā)人員進(jìn)行快速試驗，確定主要參數(shù)（如墨水量、出墨量）時提供指導(dǎo)和方便。但是模型應(yīng)用中應(yīng)該注意的是，文章中是以0.5 mm子彈頭和特定墨水匹配后作為研究對象，其他的筆頭和墨水的匹配模型中的系數(shù)應(yīng)進(jìn)行具體的試驗，本文各系數(shù)請參考使用。各種不同型號的筆頭因為結(jié)構(gòu)參數(shù)的不同，與不同的墨水匹配后書寫角度和書寫載荷系數(shù)k(θ)需要重新確定，其他系數(shù)也應(yīng)謹(jǐn)慎使用，要根據(jù)實驗室實際情況通過試驗驗證確認(rèn)。

5 結(jié)論和展望

5.1 結(jié)論

對中性筆芯出墨量測試參數(shù)的分析，運(yùn)用量綱分析的方法成功構(gòu)建了中性筆出墨量與測試條件參數(shù)之間的數(shù)學(xué)模型，并以0.5 mm子彈頭中性筆芯為例進(jìn)行了多組實際測試，求解了模型中的各個參數(shù)。從試驗和模型中可以獲得以下有用的結(jié)論：

（1）在載荷一定，也即夾具質(zhì)量一定的情況下，出墨量隨著書寫角度的變化而變化，角度越小出墨量越大，這一趨勢較為明顯。

（3）隨著書寫間距的增加，出墨量增加明顯，而且書寫間距2 mm時比1 mm時出墨量增加的幅度比3 mm對比2 mm時的幅度更大，呈現(xiàn)了前大后小的現(xiàn)象。

（4）隨著書寫速度的增加，出墨量減少，兩者呈現(xiàn)了線性負(fù)相關(guān)的關(guān)系。

5.2 展望

通過中性筆出墨量與測試條件參數(shù)之間的數(shù)學(xué)模型構(gòu)建和0.5 mm子彈頭筆芯的測試求解和驗證，基本掌握了中性筆出墨量與測試條件參數(shù)之間的變化規(guī)律，在實際工作中可以運(yùn)用模型針對實際問題進(jìn)行必要的預(yù)測和求解。然而，這一模型中參數(shù)的求解是基于0.5 mm子彈頭筆芯的，對于中性筆芯筆頭型號眾多，筆頭內(nèi)部結(jié)構(gòu)有較大區(qū)別，而且筆頭與墨水之間需要進(jìn)行匹配，其匹配方式較多，因此模型使用中需要針對不同的匹配組合進(jìn)行參數(shù)求解。同樣也希望針對不同的匹配進(jìn)行數(shù)學(xué)模型的求解，積累數(shù)據(jù)建立模型數(shù)據(jù)庫，這是對中性筆書寫原理的進(jìn)一步研究具有重要意義的一項工作。