考慮局部模態(tài)約束的衛(wèi)星結(jié)構(gòu)優(yōu)化

劉嫣潔，楊苗苑，李子軒

（航天科工空間工程發(fā)展有限公司，北京 100039）

0 引言

隨著機械復(fù)雜性和動力學(xué)性能要求的顯著提高，動力學(xué)優(yōu)化已成為結(jié)構(gòu)設(shè)計中的關(guān)鍵問題，尤其是對于航天器結(jié)構(gòu)而言[1]。如果衛(wèi)星結(jié)構(gòu)的固有頻率與運載火箭發(fā)動機的激勵頻率相同，則在發(fā)射階段會發(fā)生共振，而通過衛(wèi)星結(jié)構(gòu)傳遞的高振幅振動將會對星內(nèi)有效載荷造成破壞。因此，衛(wèi)星結(jié)構(gòu)的固有頻率必須高于目標(biāo)值以避免發(fā)生共振，從而提高結(jié)構(gòu)自身和有效載荷的安全性[2]。結(jié)構(gòu)優(yōu)化方法已被應(yīng)用于解決實際衛(wèi)星結(jié)構(gòu)設(shè)計中的頻率約束問題[3-6]。然而，大多數(shù)研究考慮的是全局頻率約束，例如一階橫向和一階縱向固有頻率，很少有研究關(guān)注到對于改善關(guān)鍵有效載荷安裝區(qū)域的局部結(jié)構(gòu)剛度同樣非常重要的局部頻率約束。

局部頻率約束和全局頻率約束的優(yōu)化問題之間沒有本質(zhì)區(qū)別[7]。然而，由于結(jié)構(gòu)尺寸的改變而引起的模態(tài)置換是局部頻率約束優(yōu)化問題的主要難點[8]：自動識別某一確定的局部頻率難度很大，且其階數(shù)在結(jié)構(gòu)優(yōu)化過程中通常不是恒定的，從而導(dǎo)致優(yōu)化程序收斂困難[9-10]，使得確定局部頻率約束的優(yōu)化問題的最優(yōu)值變得極為復(fù)雜。因此，全局頻率約束的結(jié)構(gòu)優(yōu)化方法不能直接應(yīng)用于局部頻率約束的結(jié)構(gòu)優(yōu)化問題。近幾十年中，關(guān)于局部模態(tài)領(lǐng)域的研究較多：Tenek 和Hagiwara[11]將單元密度限制在較大的閾值之上以避免局部模態(tài)，這就是動態(tài)結(jié)構(gòu)頻率最大化設(shè)計中材料布局的優(yōu)化結(jié)果中出現(xiàn)明顯灰色區(qū)域的原因。Pedersen[12]提出一種改進的可變懲罰因子方法來避免SIMP（solid isotropic microstructure with penalization）的局部模態(tài)。Cheng和Wang[13]提出一種利用多項式懲罰低密度區(qū)域單元剛度矩陣的方法。然而，目前的研究大多集中在連續(xù)體結(jié)構(gòu)的拓撲優(yōu)化方面，對于尺寸優(yōu)化問題的研究較少。此外，目前關(guān)于局部模態(tài)識別的參考方法很少。

本文提出一種解決局部頻率約束的結(jié)構(gòu)優(yōu)化問題的近似方法，其基本思想是將具有局部頻率約束的原始結(jié)構(gòu)動力學(xué)優(yōu)化問題轉(zhuǎn)化為具有節(jié)點位移約束的近似結(jié)構(gòu)靜力學(xué)優(yōu)化問題，以回避在優(yōu)化過程中使用局部模態(tài)階數(shù)和局部模態(tài)識別。方法仍以最小化結(jié)構(gòu)質(zhì)量為目標(biāo)建立近似優(yōu)化模型，并將橫截面尺寸作為設(shè)計變量，將局部區(qū)域在一定局部頻率下的節(jié)點位移作為約束；節(jié)點位移約束由局部區(qū)域的初始位移以及初始局部頻率與期望局部頻率之間的比值導(dǎo)出。最后給出數(shù)值算例和實際的衛(wèi)星結(jié)構(gòu)優(yōu)化問題驗證所提出方法的合理、有效性。

1 原優(yōu)化問題

具有頻率約束的傳統(tǒng)動力學(xué)結(jié)構(gòu)優(yōu)化問題可以表述為非線性數(shù)學(xué)規(guī)劃問題，即

式中：xi(i=1, 2, ···,n)為設(shè)計變量；F(X) 為結(jié)構(gòu)質(zhì)量（Weight）；g(X) 為頻率約束；ωlocal為當(dāng)前設(shè)計結(jié)構(gòu)的局部頻率； ω?local為局部頻率的期望值；xli和xui分別為xi的下限和上限。

2 近似策略

2.1 約束變換

為了提高局部結(jié)構(gòu)剛度，將在局部區(qū)域增加加強筋以提高局部模態(tài)頻率。為了近似轉(zhuǎn)換原始優(yōu)化問題，提出以下2 個必不可少的假設(shè)：

1）由于加強筋引起的質(zhì)量增加與結(jié)構(gòu)的總質(zhì)量相比非常小，所以在優(yōu)化過程中結(jié)構(gòu)整體質(zhì)量矩陣的變化可以忽略不計；

結(jié)構(gòu)修改對單元剛度影響重大，其變化不應(yīng)忽視[14]。因此，假設(shè)剛度矩陣是優(yōu)化問題中設(shè)計變量的函數(shù)，即

考慮到可以將初始結(jié)構(gòu)的局部模態(tài)振型視為在一定靜載荷下的節(jié)點位移，本文根據(jù)模態(tài)振型定義了靜載荷F?local，

式中：K(X0)為初始結(jié)構(gòu)的單元剛度矩陣；為初始結(jié)構(gòu)的節(jié)點位移。

基于假設(shè)2），靜載荷也可以表示為

式中：K(X)為當(dāng)前結(jié)構(gòu)的單元剛度矩陣；ulocal為當(dāng)前結(jié)構(gòu)的節(jié)點位移。

無阻尼結(jié)構(gòu)系統(tǒng)的特征值問題可以表述為

式中：K為剛度矩陣；M為質(zhì)量矩陣； ?i為第i階特征向量或固有模態(tài)； ωi為相應(yīng)的第i階特征值或固有頻率。通過求解該特征值問題，可以計算出結(jié)構(gòu)的第i階固有頻率，

定義放大倍數(shù)P為局部頻率的期望值 ω?local與初始結(jié)構(gòu)的局部頻率的比值，即

可以將當(dāng)前結(jié)構(gòu)的局部頻率表述為

同樣基于假設(shè)2），當(dāng)前結(jié)構(gòu)的局部頻率也可表述為

將式(4)代入式(8)，得到

將式(3)代入式(10)，得到

將式(7)代入式(11)，可以進一步將期望的局部 頻 率 ω?local與 當(dāng) 前 結(jié) 構(gòu) 的 局部頻率 ωlocal聯(lián) 系 起來，得到

至此，原始問題中的局部頻率約束可表述為

由于結(jié)構(gòu)的頻率肯定為非負，所以可以用節(jié)點位移約束代替頻率約束，則式(13)可以表述為

從最終的節(jié)點位移約束表達式g*(X)可以看出，最優(yōu)化工程中需要約束結(jié)構(gòu)中每個節(jié)點的位移，這給近似優(yōu)化模型的建立帶來了極大的工作量，同時也增加了優(yōu)化問題求解的復(fù)雜性。然而，結(jié)構(gòu)的節(jié)點位移與模態(tài)振型相同。也就是說，對于局部振動模態(tài)，相對明顯的節(jié)點位移幾乎都分布于局部振動區(qū)域。因此，在建立近似優(yōu)化模型時僅約束局部振動區(qū)域的節(jié)點位移是一種合理的簡化方式。

2.2 近似優(yōu)化模型

當(dāng)前的近似優(yōu)化模型可以表示為非線性規(guī)劃數(shù)學(xué)問題，

此近似優(yōu)化模型不再受局部模態(tài)的影響，局部模態(tài)置換現(xiàn)象不會改變優(yōu)化模型中的約束條件。

定義相對誤差e=|PT-PP|/PT，其中，PT和PP分別為局部頻率的理論放大倍數(shù)和實際放大倍數(shù)。可用相對誤差的大小來度量近似方法的精度。

3 近似優(yōu)化過程

應(yīng)用近似方法的優(yōu)化過程（見圖1）概述如下：

圖1 近似優(yōu)化模型優(yōu)化過程Fig.1 Optimization process of the approximation optimization model

1）在Patran 中建立結(jié)構(gòu)的初始有限元模型，并進行詳細的模態(tài)分析。

2）從模態(tài)分析結(jié)果中提取局部振動模態(tài)的節(jié)點平衡力。

3）根據(jù)步驟2）獲得的節(jié)點平衡力建立靜載荷邊界條件。

4）使用上述信息創(chuàng)建近似優(yōu)化模型，并進行優(yōu)化分析。

5）更新分析模型并檢查優(yōu)化結(jié)果是否收斂到最佳值，如是，優(yōu)化結(jié)束；如否，則返回步驟2）。

6）重復(fù)步驟2）～步驟5），直到滿足收斂標(biāo)準(zhǔn)，結(jié)束優(yōu)化過程。

值得注意的是，由于局部模態(tài)的階數(shù)等必要的數(shù)據(jù)需要手動獲取，故需手動建模以獲得具有更高近似程度的優(yōu)化模型。如何獲得局部模態(tài)的節(jié)點平衡力并建立有限元模型中的靜態(tài)載荷條件是創(chuàng)建近似優(yōu)化模型時的2 個難點，本文進行算例驗證時將使用Msc.Patran/Nastran 軟件完成這2 項操作。

4 數(shù)值算例

本章將通過2 個數(shù)值算例驗證本文所提出的近似優(yōu)化方法的合理性和有效性。第1 個簡單數(shù)值算例的參數(shù)來自于Pedersen[12]論文中的一個例子；第2 個算例是某大型衛(wèi)星的實際結(jié)構(gòu)優(yōu)化問題。

4.1 算例1——結(jié)構(gòu)板優(yōu)化

該算例是簡單的結(jié)構(gòu)板優(yōu)化問題，以局部頻率不大于60 Hz 為優(yōu)化約束，以結(jié)構(gòu)的質(zhì)量最小為優(yōu)化目標(biāo)，初始有限元模型（FEM）如圖2 所示，共包含20×20 個有限元網(wǎng)格（網(wǎng)格尺寸50 mm×50 mm），圖中白色和黑色區(qū)域的材料分別為M1和M2，其中：M1的彈性模量E1=2.0×1011N/m2，泊松比v1=0.3，質(zhì)量密度ρ1=7800 kg/m3；M2的E2=2.0×105N/m2，v2=0.3，ρ2=78 kg/m3。結(jié) 構(gòu) 板 的 尺 寸 為L1×L2×T=1 m×1 m×0.002 m，T為板厚。局部模態(tài)存在高振動密度區(qū)域的設(shè)計特征，因此結(jié)構(gòu)板的黑色區(qū)域出現(xiàn)局部振動，如圖3 所示。

圖2 結(jié)構(gòu)板的初始有限元模型Fig.2 Initial FEM of the structural plate

圖3 初始結(jié)構(gòu)板的局部振型Fig.3 Local modal shape of the initial structural plate

局部振動模態(tài)的節(jié)點平衡力可直接從結(jié)構(gòu)模態(tài)分析結(jié)果中提取，并據(jù)此建立靜載荷條件。根據(jù)新建立的工況進行靜力學(xué)分析，可以看到，圖3 所示初始結(jié)構(gòu)板的模態(tài)振型與圖4 所示靜力分析的節(jié)點位移分布保持一致，與第2 章提到的近似優(yōu)化思路完全相符。

圖4 靜力學(xué)分析得到的初始結(jié)構(gòu)板節(jié)點位移Fig.4 Nodal displacements of the initial structural plate obtained from static analysis

在最大位移發(fā)生處設(shè)置1 個加強筋以增大局部頻率。在近似模型中，設(shè)計變量為加強筋的橫截面尺寸（參見圖5），通過約束局部區(qū)域的節(jié)點位移來確定最小結(jié)構(gòu)質(zhì)量。初始設(shè)計對所有4 個設(shè)計變量施加下限和上限。原優(yōu)化問題中以局部頻率不大于60 Hz 作為優(yōu)化約束，轉(zhuǎn)化至近似優(yōu)化問題中即以加強筋上的最大節(jié)點位移不大于0.557 m 作為優(yōu)化約束。

圖5 加強筋加固方式及加強筋橫截面尺寸Fig.5 Reinforcement method and cross section dimension of the reinforcing stiffener

近似模型優(yōu)化結(jié)果如表1 所示，迭代歷程如圖6 所示?？梢钥吹?，經(jīng)過4 次優(yōu)化迭代后得到結(jié)構(gòu)板的最小質(zhì)量為125.3 kg，僅比初始質(zhì)量增加了0.2 kg，符合2.1 節(jié)提出的假設(shè)1）。

表1 結(jié)構(gòu)板近似模型優(yōu)化結(jié)果Table 1 Optimization results of approximation model of the structural plate

圖6 結(jié)構(gòu)板近似模型迭優(yōu)化代歷程Fig.6 Iteration history for approximation model of the structural plate

為了驗證近似方法的準(zhǔn)確性，使用當(dāng)前參數(shù)對優(yōu)化后的結(jié)構(gòu)板進行模態(tài)分析并提取局部模態(tài)振型。如圖7 所示，結(jié)構(gòu)板優(yōu)化前后局部模態(tài)振型保持一致，符合2.1 節(jié)提出的假設(shè)2）。經(jīng)進一步觀察，局部頻率僅存在1.44%的相對誤差，符合設(shè)計要求。

圖7 優(yōu)化前后結(jié)構(gòu)板的局部模態(tài)振型Fig.7 Local modal shapes of the structural plate before and after optimization

4.2 算例2——某大型衛(wèi)星的結(jié)構(gòu)優(yōu)化

本算例中，某大型衛(wèi)星被用于驗證本文近似方法在大型衛(wèi)星結(jié)構(gòu)優(yōu)化中的效率。首先建立由殼單元和梁單元組成的原始結(jié)構(gòu)有限元模型并進行模態(tài)分析，結(jié)果表明衛(wèi)星結(jié)構(gòu)艙內(nèi)某水平艙板上存在局部振動模態(tài)振型（如圖8 所示），且局部振動頻率小于火箭激勵頻率（60 Hz）。此時衛(wèi)星及星內(nèi)設(shè)備的安全存在重大共振隱患，因此，需針對水平艙板進行衛(wèi)星結(jié)構(gòu)優(yōu)化設(shè)計，優(yōu)化設(shè)計約束為局部頻率不大于60 Hz，優(yōu)化目標(biāo)為衛(wèi)星結(jié)構(gòu)質(zhì)量最小。

圖8 衛(wèi)星的初始局部模態(tài)振型Fig.8 Initial local modal shape of the satellite

與算例1 的優(yōu)化過程相同，通過靜力學(xué)分析得到整星的節(jié)點位移結(jié)果，如圖9 所示?？梢钥吹剑瑘D8的局部模態(tài)振型與圖9 的節(jié)點位移分布保持一致。

圖9 靜力學(xué)分析得到的衛(wèi)星節(jié)點位移Fig.9 Nodal displacements of the satellite obtained by static analysis

通過在出現(xiàn)節(jié)點最大位移的區(qū)域設(shè)置矩形橫截面加強筋來增大對應(yīng)的局部頻率。以加強筋的橫截面尺寸作為優(yōu)化設(shè)計變量（矩形截面的長為H、寬為W），以節(jié)點位移不大于0.029 m 作為優(yōu)化約束，以衛(wèi)星結(jié)構(gòu)質(zhì)量最小為優(yōu)化設(shè)計目標(biāo)建立近似優(yōu)化模型。

近似模型的優(yōu)化結(jié)果如表2 所示，迭代歷程如圖10 所示。可以看到，經(jīng)過5 次優(yōu)化迭代后得到衛(wèi)星的總質(zhì)量為8 194.4 kg，比衛(wèi)星初始質(zhì)量僅增加6.5 kg，符合2.1 節(jié)提出的假設(shè)1）。此外，在最后2 次迭代中，優(yōu)化目標(biāo)的值變化不大。

表2 衛(wèi)星結(jié)構(gòu)近似模型優(yōu)化結(jié)果Table 2 Optimization results of the satellite structural approximation model

圖10 衛(wèi)星結(jié)構(gòu)近似模型優(yōu)化迭代歷程Fig.10 Iteration history for approximation model of the satellite structure

對優(yōu)化后的衛(wèi)星進行模態(tài)分析并提取局部模態(tài)振型。對比優(yōu)化前后的局部模態(tài)振型（圖11）可見，優(yōu)化前后衛(wèi)星的局部模態(tài)振型保持相似，符合2.1 節(jié)提出的假設(shè)2）。經(jīng)進一步觀察，局部頻率僅存在0.54%的相對誤差，符合設(shè)計要求。

5 結(jié)束語

本文提出一種處理局部頻率約束的結(jié)構(gòu)優(yōu)化問題的近似方法。其核心思想是將具有局部頻率約束的動力學(xué)優(yōu)化問題轉(zhuǎn)化為具有節(jié)點位移約束的靜力學(xué)優(yōu)化問題，則可以不受局部頻率非恒定階數(shù)的影響。在節(jié)點位移約束的推導(dǎo)過程中，分別對優(yōu)化前后的質(zhì)量矩陣和局部振型進行了近似。本文中的數(shù)值算例和實際工程優(yōu)化算例均驗證了該方法合理可行，可以有效處理具有局部頻率約束的結(jié)構(gòu)優(yōu)化問題。