考查基本概念和基本思想突出關(guān)鍵能力和人才選拔
——2023年全國乙卷數(shù)學(xué)試題評析與教學(xué)啟示

陜西省陜西師范大學(xué) 劉再平 羅新兵 (郵編:710119)

華東師范大學(xué)出版社 劉祖希 (郵編:200062)

據(jù)教育部統(tǒng)計,2023年全國高考報名人數(shù)為1291萬,比去年增加98萬,再創(chuàng)歷史新高.今年高考數(shù)學(xué)全國卷一共有6套試卷,分別是新高考Ⅰ卷一套(不分文理科)、新高考Ⅱ卷一套(不分文理科)、全國甲卷兩套(分文理科)、全國乙卷兩套(分文理科),這六套試卷都由教育部教育考試院統(tǒng)一命制,其中使用全國乙卷的省份較多,涉及地域廣,主要包括河南、山西、江西、甘肅、青海、內(nèi)蒙古、寧夏、新疆、陜西九個省份,這些省份主要分布在我國、中西部地區(qū),是我國經(jīng)濟發(fā)展和教育改革推進相對緩慢地區(qū),考生競爭壓力大,所以對全國乙卷數(shù)學(xué)試題展開全方位地評析,對深化高考改革、探索高考數(shù)學(xué)測評和構(gòu)建有中國特色的高考體系有著十分重要的意義.

1 試卷整體分析

2023年全國高考乙卷數(shù)學(xué)試題以《中國高考評價體系》[1]《普通高中數(shù)學(xué)課程標準(2017年版2020年修訂)》[2]為依據(jù),兼顧新老高中數(shù)學(xué)教材,以數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)為導(dǎo)向,考查基本概念和基本思想,突出關(guān)鍵能力和人才選拔,落實立德樹人根本任務(wù).整體來說,全國乙卷數(shù)學(xué)試題穩(wěn)中有變、穩(wěn)中求新,其中考查的數(shù)學(xué)核心知識如表1.

表1 2023年全國乙卷數(shù)學(xué)試題考點分析表

通過上表分析,可以得到以下結(jié)論:

(1)全國乙卷數(shù)學(xué)文理科試題都突出了對高中數(shù)學(xué)主干知識(函數(shù)導(dǎo)數(shù)與三角、解析幾何、立體幾何、概率與統(tǒng)計、數(shù)列、極坐標與參數(shù)方程或不等式)的重點考查,六大主干知識試題共占全國乙卷文理科試題的90%,達到135分;

(2)除立體幾何解答題難度增加外,其它基礎(chǔ)試題和中檔試題比去年稍簡單,試題解答容易入手,學(xué)生更容易得分,然而疑難試題的難度并沒有降低,從而既利于得分又利于拉開差距,實現(xiàn)人才的選拔;

(3)全國乙卷數(shù)學(xué)文理科相同試題有11道,類似姊妹題有6道,共計123分,占整個試卷的82%,即將淡出新教材的三視圖、框圖、線性規(guī)劃等知識,正處于由過去全考到現(xiàn)在選擇性考查的過渡階段,雖然理科試題難度還是比文科稍大,然而兩者之間的差距正在逐步縮小.

綜上所述,全國乙卷高考數(shù)學(xué)試題正有序地向2014年開啟的最全面、最系統(tǒng)、最深刻的文理不分科的新高考改革要求靠攏,席卷全國的新高考數(shù)學(xué)改革也已經(jīng)進入最后收尾的關(guān)鍵時期.

2 試題特征評析

2.1 立足基本數(shù)學(xué)概念,考查數(shù)學(xué)思維

數(shù)學(xué)概念是對現(xiàn)實世界中某類對象的數(shù)量關(guān)系和空間形式的本質(zhì)屬性的一種簡明概括、抽象和符號化反映形式,數(shù)學(xué)概念是數(shù)學(xué)思維的基本單位與細胞,數(shù)學(xué)概念高度凝結(jié)著數(shù)學(xué)家的思維,所以數(shù)學(xué)概念不僅是認識事物的思想結(jié)晶,也是數(shù)學(xué)的思維形式[3]. 在數(shù)學(xué)中,作為一般思維形式的辨析與推斷,往往以公理、定理、公式的方式表現(xiàn)出來,數(shù)學(xué)概念則是組成它們的根基.培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)思維能力是數(shù)學(xué)教學(xué)的核心任務(wù),數(shù)學(xué)思維能力的培養(yǎng)是一個長期的、潛移默化的過程,是在充分認識數(shù)學(xué)概念的過程中逐步形成的. 數(shù)學(xué)概念最有力量,數(shù)學(xué)是玩概念的,準確理解并靈活運用數(shù)學(xué)概念,學(xué)會用概念思維,是掌握數(shù)學(xué)基本知識和基本技能、培養(yǎng)數(shù)學(xué)邏輯思維能力和創(chuàng)新能力、落實數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的前提(如圖1).

圖1 數(shù)學(xué)概念的內(nèi)涵與功能

2023年全國數(shù)學(xué)乙卷命題專家在立足基本數(shù)學(xué)概念、深入考查數(shù)學(xué)思維方面下了很大功夫,如:理科第4、9、10、12、19、21題,文科第5、6、8、19題等都是源于重要數(shù)學(xué)概念的優(yōu)質(zhì)試題.

圖2

2.2 突出基本數(shù)學(xué)思想,關(guān)注通性通法

數(shù)學(xué)思想是數(shù)學(xué)的精髓,是對數(shù)學(xué)規(guī)律的本質(zhì)和理性認識,是在數(shù)學(xué)認知過程中從具體的數(shù)學(xué)內(nèi)容提煉上升的觀點,是深刻在人們頭腦中永遠起著積極作用的態(tài)度、精神和文化.數(shù)學(xué)思想在數(shù)學(xué)認知活動中運用廣泛,具有普遍的指導(dǎo)意義,是構(gòu)建數(shù)學(xué)體系和解決數(shù)學(xué)問題的指導(dǎo)思想.[4]高考中的數(shù)學(xué)思想主要有五種:化歸思想、分類思想、構(gòu)造思想、數(shù)形結(jié)合思想、函數(shù)與方程思想. 特別需要說明的是數(shù)學(xué)思想與數(shù)學(xué)方法是兩個不同的概念,數(shù)學(xué)方法是指從數(shù)學(xué)角度發(fā)現(xiàn)問題、提出問題、分析問題與解決問題的過程中所采取的各種方式、手段與技巧等,數(shù)學(xué)方法包括代換、消元、放縮等.突出基本數(shù)學(xué)思想,引導(dǎo)學(xué)生關(guān)注數(shù)學(xué)通性通法,淡化特殊技巧,追求數(shù)學(xué)教學(xué)的長期利益,培養(yǎng)學(xué)生養(yǎng)成用數(shù)學(xué)通性通法思考和解決問題的好習(xí)慣,這才是培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)素養(yǎng)的正道(如圖3).

圖3 數(shù)學(xué)思想的內(nèi)涵、分類與功能

2023年全國乙卷突出基本數(shù)學(xué)思想,關(guān)注通性通法的試題很多,如理科填空壓軸第16題將含參函數(shù)單調(diào)性問題轉(zhuǎn)化與化歸為恒成立問題,文科第20題壓軸第(2)問對參數(shù)的分類討論,并且多次構(gòu)造輔助函數(shù),理科第10題需要數(shù)形結(jié)合,文科第8題將零點問題視為函數(shù)與方程問題等.

本題在考查幾何概型基本計算的同時,對數(shù)學(xué)思想提出了更高的要求. 如果學(xué)生不運用數(shù)形結(jié)合思想畫出如圖4所示的圖形,則很容易漏掉第三象限的陰影部分,從而錯選A.

圖4

因此數(shù)形結(jié)合思想是解決該類問題的通性通法,關(guān)注通性通法可以減少很多不必要的失誤.

2.3 創(chuàng)設(shè)自然真實情境,探索命題創(chuàng)新

2014年9月,國務(wù)院頒布的《關(guān)于深化考試招生制度改革的實施意見》啟動了我國恢復(fù)高考歷史以來最徹底的高考改革,為了落實《實施意見》精神,原教育部考試中心組織研制了《中國高考評價體系》,該體系主要由“一核”“四層”“四翼”三部分組成,分別回答了高考數(shù)學(xué)“為什么考”“考什么”“怎么考”三個重大問題,并且明確指出高考數(shù)學(xué)試題考查的載體是情境.數(shù)學(xué)情境是指真實的數(shù)學(xué)問題背景,是以問題或任務(wù)為中心構(gòu)成的活動場域[5].數(shù)學(xué)情境一般包括現(xiàn)實情境、純數(shù)學(xué)情境和科學(xué)情境.然而具體到高考數(shù)學(xué)中,則主要包括:課程學(xué)習(xí)情境,社會主義建設(shè)成果情境,數(shù)學(xué)名著、名題、數(shù)學(xué)家故事和著名建筑情境,體音美勞情境,個人、社會生活和科學(xué)實踐情境,這些試題情境在育智和育人方面發(fā)揮著重要作用(如圖5)[6-7]. 高考數(shù)學(xué)命題創(chuàng)新的主要方向之一,就是在《中國高考評價體系》的指導(dǎo)下實現(xiàn)情境類試題命制的深刻轉(zhuǎn)變,構(gòu)建數(shù)學(xué)情境類試題的命制標準. 由于全國數(shù)學(xué)乙卷主要面對我國中西部和經(jīng)濟、教育等相對薄弱地區(qū),為了體現(xiàn)高考公平、公正的特征,2023年全國乙卷數(shù)學(xué)試題以課程學(xué)習(xí)情境和生活生產(chǎn)中的自然真實情境為主,在選取素材上,控制文字數(shù)量和閱讀理解難度;在需要抽象數(shù)學(xué)問題時,設(shè)置適合學(xué)生的抽象程度;在解決問題時,控制試題的運算量,力求使情境化試題既達到高考要求又與考生認知水平、所處環(huán)境相貼切.

例3(1)(全國乙卷理科第7題)甲乙兩位同學(xué)從6種課外讀物中各自選讀2種,則這兩人選讀的課外讀物中恰有1種相同的選法共有( )

A.30種 B. 60種 C. 120種 D. 240種

(2)(全國乙卷文科第9題)某學(xué)校舉辦作文比賽,共6個主題,每位參賽同學(xué)從中隨機抽取一個主題準備作文,則甲、乙兩位參賽同學(xué)抽到不同主題的概率為( )

上述兩道試題分別以學(xué)生選取課外讀物和學(xué)校舉行作文比賽為背景情境命制,分別考查了分步計算原理和古典概型的計算,試題表達簡潔,計算量小,試題情境源于學(xué)生在學(xué)校生活中的真實情境,學(xué)生在解決此類問題時也會倍感親切,便于考生數(shù)學(xué)水平的正常發(fā)揮.

2.4 重視數(shù)學(xué)關(guān)鍵能力,實現(xiàn)人才選拔

新時代高考數(shù)學(xué)試題的命制理念是以價值引領(lǐng)、素養(yǎng)導(dǎo)向、能力為重、知識為基,關(guān)鍵能力是高考重要的考核目標,也是測試和評價的核心指標和因素. 數(shù)學(xué)關(guān)鍵能力是指即將進入更高層次學(xué)校的學(xué)習(xí)者,在面對與數(shù)學(xué)學(xué)科相關(guān)的生活實踐或?qū)W習(xí)探索問題情境時,能有效地提出問題、認識問題、分析問題和解決問題所必備的數(shù)學(xué)能力.[8]能力的范疇比較寬泛,中國高考在貫徹新一輪教育改革的理念、借鑒國外能力考查的經(jīng)驗和國內(nèi)高中教育的實際情況,重點選取了閱讀理解能力、信息整理能力、應(yīng)用寫作能力、語言表達能力、批判性思維能力、辯證思維能力這六種關(guān)鍵能力進行考查. 其中數(shù)學(xué)關(guān)鍵能力主要包括五種:邏輯思維能力、運算求解能力、空間想象能力、應(yīng)用實踐能力和創(chuàng)新能力(如圖6),前四項具有明顯的數(shù)學(xué)學(xué)科特征,是高中生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)必須具備的關(guān)鍵能力,創(chuàng)新能力符合高考服務(wù)選才的要求,體現(xiàn)了國家教育發(fā)展的意志[8].以關(guān)鍵能力為重的高考數(shù)學(xué)評價體系,可以緩解學(xué)生對數(shù)學(xué)知識的死記硬背,強化對知識的理解與靈活運用,減少學(xué)生大量的機械刷題,減輕學(xué)生負擔(dān),促進“雙減”政策的落實,著重提升學(xué)生的思辨意識、創(chuàng)新能力和數(shù)學(xué)核心素養(yǎng),從而實現(xiàn)人才的選拔[9].2023年全國數(shù)學(xué)乙卷在關(guān)鍵能力的考查方面很全面,如理科第10題綜合數(shù)列和三角考查學(xué)生的邏輯思維能力,文理科第17題求平均數(shù)和方差,直接考查了運算求解能力,文科第16題以外接球為載體直接考查了空間想象能力,理科第11題和文科第12題通過設(shè)問的適度開放考查學(xué)生的創(chuàng)新能力.然而,對學(xué)生數(shù)學(xué)關(guān)鍵能力的考查也呈現(xiàn)其綜合性的特征,即某道試題不一定僅考查學(xué)生一種關(guān)鍵能力,更多的是將幾種數(shù)學(xué)關(guān)鍵能力綜合考查,如理科第21題等.

(1)當(dāng)a=-1時,求曲線y=f(x)在點(1,f(1))處的切線方程;

(3)若f(x)在(0,+∞)存在極值,求a的取值范圍.

此道壓軸題第(1)問通過求切線方程,考查了基本的運算求解能力,第(2)問考查了對函數(shù)奇偶性的靈活應(yīng)用能力,第(3)問已知含參函數(shù)的極值探索參數(shù)的范圍,考查了邏輯思維能力和創(chuàng)新能力,本題綜合考查了四種數(shù)學(xué)關(guān)鍵能力,區(qū)分度明顯,實現(xiàn)了人才選拔.

2.5 打破試題套路,有效引導(dǎo)教學(xué)

學(xué)生的數(shù)學(xué)成績無疑受試題的難度和分布順序等因素的影響,在以前的高考數(shù)學(xué)中,特別是每道解答題的考試內(nèi)容和難易程度都是相對固定的,通常來說六道解答題的內(nèi)容順序是:解三角形或數(shù)列、立體幾何、概率統(tǒng)計、圓錐曲線、導(dǎo)數(shù)、選考(極坐標參數(shù)方程或不等式),試題的難度順序是:前三道試題和最后的選考簡單;圓錐曲線試題第一問簡單,第二問難度中等偏上,是次壓軸點;導(dǎo)數(shù)試題第一問簡單或中等,第二問難度較大,是真正的壓軸點.這種試題固化的局面很容易造成高考考什么教師就只教什么、學(xué)生也就只學(xué)什么的機械學(xué)習(xí)態(tài)勢,扼殺了學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)興趣、數(shù)學(xué)批判思維和創(chuàng)造性思維能力的發(fā)展,不利于國家選才和中華民族偉大復(fù)興.所以2023年2月教育部組織剛參加新高考的四省(安徽、黑龍江、吉林、云南)高考前適應(yīng)性考試,其數(shù)學(xué)試卷解答題的順序是立體幾何、三角函數(shù)、數(shù)列、概率統(tǒng)計、圓錐曲線和導(dǎo)數(shù),完全打破了試題套路.2023年的全國數(shù)學(xué)乙卷更是如此,不僅在解答題方面把概率統(tǒng)計放在了第一題,而且打破了從2019年開始的“第四題效應(yīng)”,即從2019年開始全國Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ卷或全國甲、乙卷在第四題左右都會命制一道難度稍大、背景新穎、文字較長的選擇題. 在考查內(nèi)容與解題方法上,2023年全國乙卷也打破了固有套路,如理科第9、19題求線面角和二面角時,教師常教的、學(xué)生熟悉的建系、利用空間向量的解答套路失去了應(yīng)有的效果. 這種從試題順序與解法等多方面打破試題套路和固化的現(xiàn)象,不僅有利于培養(yǎng)學(xué)生良好的心理素質(zhì)和堅毅頑強的意志品質(zhì),而且引導(dǎo)教學(xué)要重視對數(shù)學(xué)本質(zhì)的理解,而不是采取猜題、押題和疲勞刷題的高三復(fù)習(xí)教學(xué)模式[10-11].

圖7

(1)證明:EF∥平面ADO;

(2)證明:平面ADO⊥平面BEF;

(3)求二面角D-AO-C的正弦值.

3 教學(xué)啟示

綜上所述,2023年全國乙卷數(shù)學(xué)試題在內(nèi)容上關(guān)注對基本概念和基本思想的考查,在命題創(chuàng)新上轉(zhuǎn)變關(guān)注真實情境、打破固有試題順序與解法套路,在區(qū)分度上注重關(guān)鍵能力的考查,全國乙卷文理科兩套試卷既有創(chuàng)新,又保持穩(wěn)定,試題難度相對于2022年有所降低,理科試題降低幅度很小. 這在引導(dǎo)數(shù)學(xué)教學(xué)上給我們帶來如下啟示:

(1)注重教材中數(shù)學(xué)概念的生成過程,突出數(shù)學(xué)本質(zhì). 數(shù)學(xué)概念教學(xué)要避免“一個概念、兩點注意、三個例題、大量練習(xí)”式的淺層接受式教學(xué),要引導(dǎo)學(xué)生充分經(jīng)歷知識的生成過程,理解數(shù)學(xué)基本原理、思想和本質(zhì),努力實踐發(fā)展學(xué)生高階思維的深度教學(xué)[12].

(2)揭示數(shù)學(xué)解題的思維歷程,減少機械刷題. 數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)不做題是不可能的,但是大量刷題是低效和不可取的,如今“三輪復(fù)習(xí)”是最常見的高三數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)模式,即一輪復(fù)習(xí)夯實所有基本知識與基本技能,構(gòu)建知識網(wǎng)絡(luò);二輪復(fù)習(xí)開展疑難專題突破;三輪復(fù)習(xí)進行高考模擬訓(xùn)練.每輪復(fù)習(xí)的題量要適合班級學(xué)生學(xué)情,減少模仿、機械刷題,安排適量的練習(xí)題. 那么如何通過適量的練習(xí)來提高學(xué)生的數(shù)學(xué)成績呢?陜西師范大學(xué)羅增儒教授的經(jīng)驗值得借鑒:揭示典型問題的解題思維歷程,從有限道題目中獲取解決無限道題的智慧[13].

(3)重視數(shù)學(xué)探究,培養(yǎng)數(shù)學(xué)關(guān)鍵能力. 重視合作、交流與探究是培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)關(guān)鍵能力的核心手段.開展探究教學(xué)時,教師要在數(shù)學(xué)思維層面上下功夫,即學(xué)生在面臨困惑時,及時在思路的卡殼點引導(dǎo),并鼓勵學(xué)生對問題進行反復(fù)、頑強的思考,探究離不開合作,但也少不了獨立思考,應(yīng)該將兩者有機的融合起來,以構(gòu)成探究學(xué)習(xí)的核心要素和提升數(shù)學(xué)思維品質(zhì).當(dāng)然,數(shù)學(xué)教學(xué)不必為了探究而探究,要避免表面的熱鬧掩蓋學(xué)生認知的膚淺和思維的貧乏現(xiàn)象[14-15].

(4)滲透基本數(shù)學(xué)思想,關(guān)注通性通法. 關(guān)于基本數(shù)學(xué)思想和數(shù)學(xué)通性通法,日本著名數(shù)學(xué)家米山國藏的理念在中國數(shù)學(xué)教育界廣為流傳:學(xué)生在學(xué)校學(xué)習(xí)的數(shù)學(xué)知識在畢業(yè)后很快就會忘記,但數(shù)學(xué)的思想、思考方式和精神卻受益終身. 所以教師在教學(xué)中要有意識地和潛移默化地滲透基本數(shù)學(xué)思想,關(guān)注通性通法,這不僅僅是高考備考的需要,更是學(xué)生將來適應(yīng)社會、為人處世和終生發(fā)展的需要.

(5)創(chuàng)設(shè)真實和跨學(xué)科問題情境,培養(yǎng)創(chuàng)新能力. 數(shù)學(xué)情境不僅是高考命題的載體,也是廣大教師日常通過問題驅(qū)動引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)問題、提出問題、分析問題、解決問題和構(gòu)建新知的載體,更是激發(fā)學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的內(nèi)驅(qū)力、培養(yǎng)創(chuàng)新能力和實現(xiàn)數(shù)學(xué)育人的載體. 我們的建議是努力創(chuàng)設(shè)貼切學(xué)生學(xué)習(xí)和生活的真實情境,因為千教萬教教人求真,大膽創(chuàng)新創(chuàng)設(shè)跨學(xué)科問題情境,培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新能力和綜合運用能力.