教材“教學(xué)化”的邊界:“鏈+”恰當 整合有度
——以人教版“14.1.1同底數(shù)冪的乘法”為例

江蘇省如皋市教師發(fā)展中心 印冬建 (郵編:226500)

教材“教學(xué)化”是在充分解讀教材后,將其由“學(xué)術(shù)形態(tài)”轉(zhuǎn)向“教育形態(tài)”的根本路徑[1]．由于教材與學(xué)情的差異,在“教學(xué)化”過程中,會根據(jù)教學(xué)的需要,盡可能形成與學(xué)情、學(xué)科發(fā)展匹配的教學(xué)方案.然而,在實際教學(xué)中,不少教師對教材的過度加工,極易讓教學(xué)走偏,形成既不尊重學(xué)生現(xiàn)狀,又不符合教學(xué)實際的課堂,耗時多,成效差,為了避免這一現(xiàn)象的出現(xiàn),筆者提出了“鏈+”[2]數(shù)學(xué)的教學(xué)主張,旨在通過對教材內(nèi)容的學(xué)情化補充,從學(xué)生視角增加少量教學(xué)素材(情境、內(nèi)容、過程、方法等)并與原教材巧妙鏈接,助力學(xué)生數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)發(fā)展．本文擬結(jié)合人教版“14.1.1同底數(shù)冪的乘法”談?wù)剬滩摹敖虒W(xué)化”的思考,供大家參考．

1 教材分析

教學(xué)環(huán)節(jié)課本素材意圖分析引入新課問題1 一種電子計算機每秒可進行1千萬億(1015)次運算,它工作103s可進行多少次運算?貼士:在2010年全球超級計算機排行榜中,中國首臺千萬億次超級計算機系統(tǒng)“天河一號”雄居第一,其實測運算速度可以達到每秒2570萬億次.以“小貼士”的形式介紹我國“天河一號”超級計算機系統(tǒng),激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)熱情.沿用“數(shù)與代數(shù)”領(lǐng)域從實際生活中的問題引入,以問題1引導(dǎo)學(xué)生體會本節(jié)課的新知探索是由于生活的需要而進行的.通過1015×103的過程分析和結(jié)果得出,為新課探索夯實基礎(chǔ),利用式子算理分析,回顧乘方的意義.探索規(guī)律探究:根據(jù)乘方的意義填空,觀察計算結(jié)果,你能發(fā)現(xiàn)什么規(guī)律?(1)25×22=2( );(2)a3·a2=a( ); (3)5m×5n=5( )(m,n是正整數(shù)).引導(dǎo)學(xué)生通過從特殊到一般的三個式子的結(jié)果分析,發(fā)現(xiàn)同底數(shù)冪運算及其運算的規(guī)律,嘗試用一般式子來歸納這一規(guī)律,為下一步進行推導(dǎo)提供素材.推證結(jié)論一般地,對于任意底數(shù)a與任意正整數(shù)m,nam×an=(a·a……a)·(a·a……a)=a·a……a=am+n .因此,我們有am·an=am+n(m,n都是正整數(shù)).即同底數(shù)冪相乘,底數(shù)不變,指數(shù)相加.引導(dǎo)學(xué)生回到定義去,利用乘方的意義推證 am×an=am+n,教材給出了詳細的推證過程,進一步形成了文字結(jié)論,為學(xué)生理解和運用性質(zhì)提供了充分的路徑.鞏固新知例1 計算(1)x2·x5 ;(2)a·a6;(3)(-2)×(-2)4×(-2)3;(4)xm·x3m+1.(解題過程略)給定4道不同類型的同底數(shù)冪的運算,引導(dǎo)學(xué)生通過計算與過程分享,交流同底數(shù)冪的乘法的運算性質(zhì)及運用策略.練習(xí):計算(1)b5·b;(2)(-12)×(-12)2×(-12)3;(3)a2·a5;(4)y2n·yn+1.教材例題配套的4道練習(xí),供學(xué)生鞏固全課所學(xué)使用.

2 課堂再現(xiàn)及對比分析

2.1 教學(xué)過程再現(xiàn)

問題1我們學(xué)過了整式的哪些運算了?猜一猜,接下來會學(xué)習(xí)什么運算?

問題2am表示什么?(-2)2表示什么?(-2)3呢?(-2)m呢?(-a)m呢?

問題3教材問題1

活動二 規(guī)律探究

教材探究歸納出一般規(guī)律,并用式子表示為am·an=am+n(m,n都是正整數(shù))．

活動三 推證結(jié)論

立項與可行性研究報告的申報及批復(fù)是項目實施的前提，如果沒有上級主管的批復(fù)，意味著項目沒有“正名”，接下來的資金、政策、人力等支持都是不可能的，也是“不合規(guī)不合法的”。因此，在農(nóng)業(yè)基建項目管理中，甲方單位必須特別重視前期立項及可行性研究報告編制，確保報告文本的科學(xué)性、項目實施的可行性、立項的成功率。一旦立項及可行性研究報告得到上級部門批復(fù)，項目就可以依此獲得相應(yīng)的資金支持。同時，甲方還可以此批復(fù)去與地方行業(yè)管理部門溝通，取得項目實施所必須的合法證件，而這在農(nóng)業(yè)基礎(chǔ)項目建設(shè)中是必不可少的環(huán)節(jié)。

引導(dǎo)學(xué)生從乘方的定義出發(fā)證明am·an=am+n(m,n都是正整數(shù)),并歸納出文字結(jié)論．

活動四 鞏固新知

例1計算:(1)x2·x5;(2)a·a6;(3)xm·x3m+1;(4)(2a+b)2m+1×(2a+b)3×(2a+b)．

例2計算:(1)-a3·(-a)2·(-a)3;(2)(n-m)5·(m-n)2;(3)b2·b3+b5．

例3今年上半年,某新開樓盤銷售商品房8.2×103m2,該樓盤商品房平均售價為1.7×104元/m2,該樓盤上半年商品房銷售總額是多少元?

活動五 課堂小結(jié)

請學(xué)生回顧全課收獲,教師釋疑解惑．

活動六 反饋訓(xùn)練

題1計算:(1)3×32×35;(2)x3·xn+1;(3)-b3·b2;(4)(s-t)m·(s-t)m+1．

題2已知am=2,an=2,求am+n的值．

2.2 對比分析

(1)教學(xué)環(huán)節(jié)

這節(jié)課,比教材多出了兩個環(huán)節(jié),即“活動五課堂小結(jié)”和“活動六反饋訓(xùn)練”．

(2)教學(xué)內(nèi)容

拋開活動五、六,活動一、四出現(xiàn)明顯增加的教學(xué)內(nèi)容,活動一中,增加了對已學(xué)整式運算的回顧和即將開展運算的猜想,并通過對am,(-2)2,…,(-a)m等式子含義及運算方法的追問,回顧冪的各部分名稱、含義及乘方運算的意義.活動四中,例1的計算將(2)a·a6換成(4)(2a+b)2m+1×(2a+b)3×(2a+b),把底數(shù)從單項式擴展到了多項式,例1之后的配套鞏固練習(xí),新增了(5)(x-y)5·(x-y)2,這是對教材“教學(xué)化”后例1(4)的回應(yīng).

例2,例3均為新增內(nèi)容．例2的3道小題中(1)(2)難度大,學(xué)生在運算結(jié)果符號的確定耗費了大量的教學(xué)時間,但效果依然不佳．例3的計算同樣如此,學(xué)生看似列出了(8.2×103)×(1.7×104)的算式,但究竟如何得出運算結(jié)果,眾說紛紜,效果遠未達到．

(3)教學(xué)方法

與教材編排基本相同,對同底數(shù)冪乘法性質(zhì)的探索都是沿著從特殊到一般展開的．學(xué)生幾乎都經(jīng)歷了觀察、計算、猜想、推理、驗證的進程,而對運算基本性質(zhì)的應(yīng)用,學(xué)生又經(jīng)歷了從一般到特殊的過程,把學(xué)到的性質(zhì)回到一般的運算之中,要特別說明的是,教師對性質(zhì)探索反復(fù)強調(diào)了要“回到定義去”,這是教材始終如一堅持的方法,在很多新知的學(xué)習(xí)與應(yīng)用中都有體現(xiàn)．要說學(xué)習(xí)方法上,這節(jié)課與教材的差別,主要體現(xiàn)在活動一與活動六上,活動一增加了對整式已學(xué)運算的回顧,這是本節(jié)課認知基礎(chǔ)的喚醒,是教師引導(dǎo)學(xué)生從舊經(jīng)驗出發(fā)開展新學(xué)習(xí)的提醒,而隨之對am,(-2)2,…,(-a)m等式子的意義的追問,則從課時學(xué)習(xí)所需的角度,充分回顧了冪、指數(shù)、底數(shù)的意義及乘方的意義和求值方法,真正為課時學(xué)習(xí)奠定堅實的基礎(chǔ)．活動六是教師基于課標對“教—學(xué)—評”一體化課堂教學(xué)評價現(xiàn)狀的一種轉(zhuǎn)變回應(yīng),以“反饋訓(xùn)練”的較高匹配度檢驗學(xué)生學(xué)業(yè)的效度,達成評價反推教學(xué)變革、影響推動學(xué)生發(fā)展的美好局面．

2.3 優(yōu)化建議

(1)從教學(xué)匹配角度優(yōu)化復(fù)習(xí)內(nèi)容．

復(fù)習(xí)內(nèi)容或者說引入環(huán)節(jié),從原來的一個問題增加到3個問題組,實際上是8個問題,顯然,這樣的復(fù)習(xí)提問是多了,而且關(guān)于(-a)m的復(fù)習(xí)對本節(jié)課的學(xué)習(xí)是有明顯干擾的．對(-a)m結(jié)果的討論,本身就有很多的情況,要分別對a的正負性,m的奇偶性展開配對討論,情況之多,耗時之長,效果之差,與課時教學(xué)顯然是不適宜的．何況,從教師為研究例題“計算-a3·(-a)2·(-a)3”,而復(fù)習(xí)(-a)m這一角度出發(fā),這樣的設(shè)計是十分不妥的．對(-a)2,(-a)3甚至(-a)m的結(jié)果符號的探討可能學(xué)習(xí)積的乘方的性質(zhì)“(ab)m=ambm(m是正整數(shù))”之后,把(-a)m轉(zhuǎn)化[(-1)·a]m來交流或許更為簡便容易些,何必在此耗費時間和精力呢?因此,筆者建議可把(-a)m意義及運算方法結(jié)果的探討從活動一中刪去．

(2)從學(xué)科發(fā)展角度刪去部分例題

本節(jié)隨堂課中,新增了活動四中的例題和鞏固練習(xí),活動六的反饋練習(xí),而這種新增很大程度上是教師為了把底數(shù)由數(shù)字拓展到單項后進一步拓展到多項式,這種拓展如果不涉及到符號的變化,筆者以為是適宜,但如果涉及到的結(jié)果中符號的討論,那就不太妥當了．因為,這會嚴重影響學(xué)生對本課時知識的認知．把學(xué)生探索的視線轉(zhuǎn)移到下一節(jié)課的學(xué)習(xí)內(nèi)容．如,(n-m)5·(m-n)2可以等于(n-m)7,也可以等于-(m-n)7,至于為什么這兩個結(jié)果都可以,抑或是這兩個結(jié)果為什么相等,教師可以以“(m-n)2=(n-m)2”一句話含糊地帶過去,但事實上,沒有“(ab)m=ambm(m是正整數(shù))”或者是“(m-n)2=m2-2mn+n2=(n-m)2”(下稱式①)的支撐,這樣的含糊是過不去的．所以,筆者以為此時與其講得不清不楚,不如等乘方學(xué)完后,給出“(m-n)2=[(-1)·(n-m)]2=(-1)2·(n-m)2=(n-m)2”或是學(xué)完完全平方公式后來交流式①,對“(m-n)2=(n-m)2”的理解更為深刻．再來說說例3,先看例3所列算式“(8.2×103)×(1.7×104)”,是不是很象接下去“14.1.4整式乘法”(第1課時)問題所列的式子“(3×105)×(5×102)”,很明顯,教師對問題1的回應(yīng)用到了3節(jié)課之后所學(xué)的內(nèi)容,或許刪去更好.

(3)從教材吻合角度調(diào)整部分反饋練習(xí)

對于同底數(shù)冪的相關(guān)乘法運算,人教版初中數(shù)學(xué)教材一般都會給出,其指數(shù)為正整數(shù)的限制,如am·an=am+n(m,n為正整數(shù))．這里對指數(shù)所提要求應(yīng)為本學(xué)段整式乘法的性質(zhì)應(yīng)用的前提,作為對教材的回應(yīng),我們設(shè)計的練習(xí)自然應(yīng)與之匹配,然而,在筆者觀摩的這節(jié)隨堂課上,教師給出的反饋練習(xí)題2中,“am=2,an=2”是無法同時保證“m,n均為正整數(shù)”的．這樣的設(shè)計顯然是不利于學(xué)生真正理解和應(yīng)用同底數(shù)冪乘法的運算性質(zhì)的,所以,筆者建議把這道題改為“如果2m=4,2n=16,則2m+n=______”或許更為妥當些．

3 幾點思考

3.1 理解教材,形成“鏈+”源頭

教材是最重要的教學(xué)工具．我們應(yīng)充分認識教材的重要性,對教材進行全面深入的解讀,形成課時教學(xué)“鏈+”的源頭．理解教材,不只是讀懂課時教學(xué)內(nèi)容,教學(xué)流程,還應(yīng)努力厘清課時內(nèi)容在學(xué)段乃至數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中所處的地位和作用,要能清晰知曉所學(xué)內(nèi)容的認知基礎(chǔ)和發(fā)展方向,進而給教學(xué)以準確的定位,形成教材優(yōu)化整合的邊界,避免如本課中出現(xiàn)(n-m)5·(m-n)2之類的例題及配套練習(xí)情形的出現(xiàn)．理解教材,要重視對課堂教學(xué)基礎(chǔ)的分析,要適當補充教材欠缺,避免沖淡課堂主題而弱化表述的復(fù)習(xí)環(huán)節(jié)的教學(xué)內(nèi)容,讓學(xué)生能形成課時“鏈+”探究的源頭,明明白白地開展探究．比如本節(jié)課對am,(-2)2,…,(-a)m等式子的含義及運算方法的回顧就是一種有效的內(nèi)容增加,是教師基于對教材深度理解之上的一次有效“補缺”,為課堂教學(xué)的有效開展真正奠基．

3.2 變式拓展,守住認知邊界

基于學(xué)情發(fā)展需求,對于教材給的內(nèi)容缺少的課時,常會增加一些教學(xué)內(nèi)容,尤其是一些相關(guān)的例題式練習(xí),這在本節(jié)課十分明顯,但由于教師對學(xué)生認知邊界的界定不清,例題或練習(xí)的添加常會越過邊界,使新增的內(nèi)容成為學(xué)生課時學(xué)習(xí)的羈絆,嚴重影響教學(xué)進程的推進,文中對(m-n)2,(n-m)2,-a3,(-a)2,(-a)3等式子的探索就是此情形.筆者以為,在對教學(xué)內(nèi)容進行添加前,教師應(yīng)去厘清學(xué)生認知的邊界在哪里．邊界的確定可以從學(xué)情發(fā)展的速度上來考量,即學(xué)生能不能學(xué)得了,還要從教學(xué)內(nèi)容的目標是否合規(guī)上來判斷.有時,課標給定的目標并非教學(xué)中的課時目標,想要學(xué)生在一節(jié)課實現(xiàn)目標幾乎沒有可能,我們就不能盲目地直接增加課標目標指向的例題或練習(xí).而有時,一些例題或練習(xí)的解答,借用后面的所學(xué)能更為便捷講清說明,教師完全可以尊重數(shù)學(xué)知識發(fā)展的規(guī)律,順其自然,等到易于探究且便于解釋時再來剖析,這樣的教學(xué)尊重了教材、學(xué)情,守住了學(xué)生認知的邊界,效果自然會很好．

3.3 過程“鏈+”,注重本質(zhì)研究

研究數(shù)學(xué)知識,要重視“引導(dǎo)學(xué)生經(jīng)歷觀察實驗、猜想計算、推理驗證、數(shù)據(jù)分析等完整過程”,只有在此過程中學(xué)生才能真正理解數(shù)學(xué),才能在后續(xù)學(xué)習(xí)中用好所學(xué)解決新的問題．而事實上,在很多教材給定內(nèi)容少、流程清晰的數(shù)學(xué)課上教師把過程“鏈+”的重心放到了知識的應(yīng)用上去了,因為內(nèi)容少,所以用例題或練習(xí)來補充,以期用大量重復(fù)訓(xùn)練來提升學(xué)習(xí)的成效,這顯然與“習(xí)題的設(shè)計要關(guān)注數(shù)學(xué)的本質(zhì),關(guān)注通性通法”[3]的課標新要求是背離的.以本節(jié)課為例,并不是說學(xué)生得到了“am·an=am+n(m,n為正整數(shù))”的式子并能解答好幾道例題、練習(xí),學(xué)生就理解了同底數(shù)冪的運算的性質(zhì)．教師如果忽略了對等式含義的剖析,并引導(dǎo)學(xué)生有“回到定義去”的意識,他們是很難得出推理的過程,而事實上如果缺少了對am的意義的回顧與分析,或許學(xué)生對活動二中這個式子的特征的歸納,甚至連同底數(shù)冪為何物都未必能理清道明,哪來的后續(xù)的探索與應(yīng)用呢?因而,對此類涉及到知識本質(zhì)的理解的探究,我們完全可以通過拉長學(xué)程,回歸本質(zhì)的反復(fù)交流,來實現(xiàn)對數(shù)學(xué)知識的深刻理解,以達成提質(zhì)增效的目的,為在課內(nèi)策應(yīng)“雙減”落地助力．

教材“教學(xué)化”,是對教材給定教學(xué)內(nèi)容、流程的優(yōu)化與完善,必要的補充與調(diào)整是難免的．但這種調(diào)整一定要適可而止,要充分考慮教材編排的邏輯體系和學(xué)生發(fā)展的許可范圍,在教材的充分應(yīng)用和學(xué)生的充分發(fā)展間找到平衡點．