一維超導微波腔晶格中反旋波效應對拓撲相變和拓撲量子態(tài)的調制*

鄭智勇 陳立杰 向呂 王鶴 王一平

(西北農林科技大學理學院,楊凌 712100)

1 引言

近年來,拓撲絕緣體結構基于其獨特的優(yōu)勢(如物理性質和化學性質),已經在不同領域展現出極其的重要性,更為凝聚態(tài)物理的研究開辟了 一個嶄新的平臺[1-3].不同于普通絕緣體,拓撲絕緣體是一種全新的物質形式,其內部可以展現絕緣體性質,但在邊界處可以呈現出金屬特性[4,5];在能帶間隙中存在邊緣態(tài),不僅受到能隙的保護,而且受到時間反演對稱性的制約;系統中無序和缺陷以及操縱帶來的擾動,邊緣態(tài)對它們都具有魯棒性[6-9].目前,在原子、分子、光學物理和材料物理與化學等領域,研究人員正在構建新的拓撲結構,同時也提出了許多新理論模型和實驗方案,用于模擬和探索拓撲絕緣體特性,從而更深入研究其中的拓撲物態(tài)和量子物質,這已經成為一個研究熱點問題[10-12].

隨著微納米器件制備工藝的成熟,進一步促進了微納量子器件的發(fā)展,并開啟了一個嶄新的研究領域——微納光子學,其主要研究在微納尺度下光與物質相互作用的規(guī)律,以及光的產生、傳輸、調控、探測和傳感等[13-16].例如,光學微腔系統可以將光束縛在微小的區(qū)域范圍內,可以極大地增強光與物質的相互作用,并且通過制備高品質因子的光學微腔,可提高系統在傳感和探測方面的靈敏度[17-22].特別地,超導微波器件能夠有效提高光子集成度,進而集成在芯片上應用于量子光學、量子信息處理和量子模擬等領域,這已經成為最具吸引力的平臺之一[23-29].另外,微納米量子器件在模擬拓撲絕緣體方面已經取得了具大的突破,如超導微波腔、RLC電路、納米機械振子、超導量子比特和NV自旋,相互耦合構建一維或二維晶格系統,并通過微波相干調控,以展示許多新奇的拓撲物理現象,如拓撲相變和邊緣態(tài)、非厄米拓撲絕緣體、拓撲不變量等,來實現一些特殊功能的量子器件[30-36].例如,Koch等[37]和Mei等[38]分別利用超導微波腔構建一維晶格系統實現了拓撲Chern絕緣體,后者對系統的拓撲邊緣模和不變量進行了探測;此外,Cai等[39]和Cao等[40]利用超導電路系統構建二維晶格系統,分別研究磁子絕緣態(tài)和能帶結構與異常環(huán).因此,基于之前的研究工作[33-40],本文利用超導微波腔系統構建一維的拓撲系統,考慮系統的反旋波項的效應,分析、研究和調控其中的拓撲絕緣體性質.

本文構建了基于超導微波腔的一維拓撲晶格系統,其中包含兩種微波腔晶胞元素,通過磁通量子比特耦合晶胞元素,來分析和研究其中的拓撲絕緣體特性.這里保留晶格之間相互作用的反旋波項,使拓撲超導體中的p-波超導配對項與其相映射,得到具有p-波超導配對項的一維超導微波腔晶格方案.研究發(fā)現,p-波超導配對項可以調制系統中拓撲量子態(tài),可以實現多通道的拓撲量子信息傳輸.此外,當考慮p-波超導配對項和次近鄰相互作用時,發(fā)現能帶的波動可以誘導系統產生新的能帶,邊緣態(tài)發(fā)生彎曲,但其簡并性保持穩(wěn)定,通過調制可以實現拓撲量子態(tài)不同的傳輸路徑;然而,當調控超過閾值時,系統的能隙將會閉合,使邊緣態(tài)湮滅在新的能帶中.另外,考慮系統存在隨機的缺陷時,發(fā)現能帶呈現無規(guī)則的波動,邊緣態(tài)有微小的擾動;當缺陷強度超過閾值時,能帶導致強烈的無規(guī)則波動,使邊緣態(tài)融入能帶中.

2 系統模型及哈密頓量

如圖1(a)所示的一維超導微波腔晶格系統,其中包含an和bn兩種微波腔晶胞元素,并且通過兩種不同類型的量子比特互相交叉耦合.此外,如圖1(b)所示,an和bn微波腔晶胞耦合在一個頻率可調的控制場上,其頻率在ωan=ωa+λncos(υt+?)和ωbn=ωb+γncos(υt+?)的范圍內調制,ωa和ωb是微波腔晶胞的固有頻率,λn(γn) 是微波腔晶胞的頻率調制強度,υ描述微波腔晶胞的調制頻率,?是相位因子.因此,該一維晶格電路系統的哈密頓量可以寫成

圖1 (a)基于超導微波腔組成的一維晶格系統,Q1 (Q2)是晶胞之間的耦合磁通量子比特,g1 (g2)表示 an (bn)和 bn (an+1)的耦合參數,T表 示 an和an+1 (bn和bn+1)的耦合參數;(b) an和bn 耦合在一個頻率可調的控制場上,g1 (g2) 可以通過磁通量子比特外部磁通調控,T通過電容C耦合調制Fig.1.(a) Schematic of the 1D superconducting microwave cavity lattice system,Q1 (Q2) is the coupling flux qubit between the unit cell,an and bn (bn and an+1) coupling coefficient is g1 (g2),an and an+1 (bn and bn+1) coupling coefficient is T;(b) an and bn are connected in a tunable frequency field,g1 (g2) can be modulated by the external flux of qubits,T is modulated by the capacitance C coupling.

其中,ω1±=(ωa±ωb)t+(λn±γn)sin(υt+?),ω2±=(ωa±ωb)t+(λn+1±γn)sin(υt+?),第1項和第3項為最近鄰微波腔晶胞間耦合的反旋波項,第2項和第4項為微波腔晶胞間最近鄰耦合.這里,先不考慮次近鄰作用,即T=0,研究系統中的反旋波項在晶格電路系統中的作用.利用exp[iKsin(υt)]=為關于貝塞爾函數的m次序),使相位?=0,對哈密頓量H1展開,(2)式可以寫成:

其中,G11=g1Jm1(K1,n),G12=g1Jm2(K2,n),G23=g2Jm3(K3,n),G24=g2Jm4(K4,n),K1,n=λn+γn,K2,n=λn-γn,K3,n=λn+1+γn,K4,n=λn+1-γn.當系統在共振條件下ωa=ωb=υ,λn+1=γn=λn,取m1=m3=-2,m2=m4=0 時,m1(m2,m3,m4) 求和項和(3)式中的e指數項可以忽略,哈密頓量H2描述為

3 結果與討論

3.1 反旋波項調制

在拓撲絕緣體中,p-波超導配對項的存在能夠誘導許多新奇的物理現象.這里考慮頻率調控的方法,使一維晶格電路的反旋波項與p-波超導配對項關聯,通過調控反旋波項,從而得到帶有p-波超導配對項的一維拓撲電路晶格系統,這為探索豐富的拓撲特性和相變提供一種新思路.首先,考慮沒反旋波項的調制,即通過貝塞爾函數來調控p-波超導配對項的強度為零,那么哈密頓量H3可以簡化,從而得到一個標準的一維拓撲緊束縛模型,對應的哈密頓量為H4=因此,根據上述哈密頓量H4,可以繪制系統的能譜圖,來研究和分析其中拓撲邊緣態(tài)的概率分布.在這里,定義藍色和紅色邊緣態(tài)的概率分布,即 ||ψblue〉|2和||ψred〉|2,相對應的能量本征值為Eblue和Ered.圖2給出了系統的能譜和邊緣態(tài)與晶格數目的關系.如圖2(a)所示,能譜有δE的能帶間隙,并且存在兩個簡并的邊緣態(tài).圖2(b)和圖2(c)展示了邊緣態(tài)(第50 (藍色)和第51(紅色))的概率分布,可以清楚地看到邊緣態(tài)分布在一維拓撲晶格電路系統的兩端.

圖2 (a)系統能譜與晶格數目的關系;(b)藍色和(c)紅色邊緣態(tài)的概率分布圖;其中 =0.15,=0.3 和晶格數N=100Fig.2.(a) Energy spectrum of the system via the lattice numbers;(b),(c) probability distributions of (b) blue and (c) red edge states.=0.15,=0.3 and lattice size N=100.

圖3 系統能譜與晶格數目的關系 (a) ==0.003;(b) ==0.03;(c) ==0.06;(d) ==0.15;(e) ==0.165;(f) ==2.1;其他參數為 =0.15,=0.3 和晶格數N=200Fig.3.Energy spectrum of the system via the lattice numbers: (a) ==0.003;(b) ==0.03;(c) ==0.06;(d) ==0.15;(e) ==0.165;(f) ==2.1.Other parameters are =0.15,=0.3 and lattice size N=200.

此外,如圖4所示,我們分析了系統4個簡并邊緣態(tài)的概率分布.從圖4(a)和圖4(b)可以清楚地看到,當逐漸增加p-波超導配對項耦合強度時,紅色邊緣態(tài)的分布發(fā)生了翻轉過程,也就是說,紅色邊緣態(tài)從系統最左邊傳遞到腔的最右邊.與圖4(a)和圖4(b)對比,從圖4(c)可以看到,紅色邊緣態(tài)分布在系統的兩端,通過調控p-波超導配對項耦合強度,可以使邊緣態(tài)分布在右端(圖4(d))或者左端(圖4(e)).另外,從圖4 中觀察到其他3個邊緣態(tài)(藍、黑、綠),在系統中分布的位置各有差異,那么通過調制p-波超導配對項耦合強度,在系統中可以實現多路徑的拓撲量子信息傳輸.

圖4 4個不同邊緣態(tài)的概率分布圖 (a) ==0.003;(b) ==0.006;(c) ==0.009;(d) ==0.015;(e) ==0.021;(f) ==0.027;其他參數為 =0.15,=0.3 和晶格數 N=200Fig.4.State distributions of four different edge states: (a) ==0.003;(b) ==0.006;(c) ==0.009;(d) ==0.015;(e) ==0.021;(f) ==0.027.Other parameters are =0.15,=0.3 and lattice size N=200.

3.2 次近鄰相互作用

在一維拓撲晶格電路的結構中,通過調控晶格之間的相互作用,可以研究和探索其中許多有趣的拓撲現象.接下來考慮p-波超導配對項和次近鄰相互作用對系統拓撲性質的影響,系統的哈密頓量可表示為

其中,T0=TJ0(K2,n) 用來描述一維拓撲晶格電路系統中次近鄰相互作用.根據(5)式中的次臨近相互作用和p-波超導配對項,進一步研究和分析兩者對系統的拓撲性質的影響.這里考慮其周期調控,即參數為T0=Tcosθ和==0.08(1+cosθ),通過分析能譜結構的變化特征,研究系統的拓撲相變和拓撲通道.

圖5(a)給出了次近鄰相互作用T=0 時系統能譜與相位的關系,可以清楚地看到能帶中存在4個簡并的零模邊緣態(tài)(藍色),它們分別和上下能帶存在間隙,類似于圖3(a).然而,當T=0.05 時,系統的上下能帶發(fā)生波動,并引起4個邊緣態(tài)起伏,但簡并度沒有發(fā)生變化,例如,在θ∈[0.5π,1.5π]位置有4個邊緣態(tài)(藍色)凸起,在θ∈[0,0.5π] 和θ∈[1.5π,2π]位置有4個邊緣態(tài)下降.由上述分析可知,當p-波超導配對項調制恒定時,周期調制次臨近相互作用可引起能帶和邊緣態(tài)的周期起伏變化.如圖5(c)所示,當T=0 時,周期調制p-波超導配對項,即==0.08(1+cosθ),可以看到系統上下能帶變化不同于圖5(b),4個簡并邊緣態(tài)(藍色)保持穩(wěn)定.從上面的討論分析可以發(fā)現,它們對系統的拓撲能帶結構調制不同,也就是說,這兩者的變化可以導致系統進入不同的拓撲相中.

圖5 系統能譜與相位的關系 (a) ==0.1,T=0;(b) ==0.1,T=0.05;(c) ==0.08(1+cosθ),T=0;其他參數為 =0.2,=0.4 和晶格數N=200Fig.5.Energy spectrum of the system via the phase:(a) ==0.1,T=0;(b) ==0.1,T=0.05;(c) ==0.08(1+cosθ),T=0.Other parameters are =0.2,=0.4 and lattice size N=200.

為了進一步深入探索其中的拓撲特征,圖6給出了不同p-波超導配對項調制系統的能譜圖.從圖6(a)和圖6(b)可以發(fā)現,p-波超導配對項調制強度不斷增加時,系統的能帶間隙將逐漸變小,并且能帶結構發(fā)生變化,使上下能帶產生新的能帶,但4個邊緣態(tài)依然保持簡并,并且在一個穩(wěn)定的狀態(tài),沒有發(fā)生混亂.然而,從圖6(c)清楚地看到,當p-波超導配對項調制強度達到一定值時,部分邊緣態(tài)融入到新的能帶中,而另一部分邊緣態(tài)保留在θ∈[0.25π,0.75π]和θ∈[1.25π,1.75π] 區(qū)域的能隙中.如圖6(d)所示,當p-波超導配對項調制強度超過閾值時,上下能帶產生的新能帶使邊緣態(tài)全部湮滅在其中,進入另一個拓撲相.

圖6 系統能譜與相位的關系 (a) ==0.08;(b) ==0.16;(c) ==0.24;(d) ==0.32;其他參數為 =0.2,=0.4,T=0.1 和晶格數N=200Fig.6.Energy spectrum of the system via the phase: (a) ==0.08;(b) ==0.16;(c) ==0.24;(d) ==0.32.Other parameters are =0.2,=0.4,T=0.1 and lattice size N=200.

此外,當p-波超導配對項的調制恒定時,通過周期性調控次近鄰相互作用,分析其對系統的拓撲特征的影響.如圖7(a)和圖7(b)所示,當次近鄰相互作用T逐漸增加時,能帶和邊緣態(tài)結構發(fā)生變化,比如在θ=π 位置上下能帶發(fā)生重疊,部分邊緣態(tài)湮滅在重疊區(qū)域.然而,從圖7(c)和圖7(d)可以發(fā)現,當T增加到一定時,上下能帶將全部重合,邊緣態(tài)將融入能帶中.

圖7 系統能譜與相位的關系(a)T=0.1;(b) T=0.2;(c) T=0.3;(d) T=3;其他參數為=0.2,=0.4,==0.04 和晶格數N=200Fig.7.Energy spectrum of the system via the phase: (a) T=0.1;(b) T=0.2;(c) T=0.3;(d) T=3.Other parameters are=0.2,=0.4,==0.04 and lattice size N=200.

根據前面的討論,p-波超導配對項和次近鄰相互作用的調控,可以會引起能帶的波動,但4個邊緣態(tài)的簡并性一直保持穩(wěn)定,并且沒有發(fā)生混亂和擾動,那么可以利用邊緣態(tài)的拓撲特性,在系統中進行量子信息的傳輸和儲存操作.圖8繪制了不同相位θ下4個邊緣態(tài)的概率密度分布圖,對其中的拓撲量子通道進行分析和研究.從圖8(a)和圖8(b)可以發(fā)現,當θ=π/2 時,對p-波超導配對項調控的耦合強度進行調制,4個邊緣態(tài)可以分別從系統的一端轉移到另一端,比如藍色的邊緣態(tài)分布在最右邊的位置(圖8(a1)),通過耦合強度調制后,藍色的邊緣態(tài)分布在最左邊的位置(圖8(b1)).因此,通過調控和大小,可以使系統的邊緣態(tài)分布呈現一個翻轉過程,這可以應用于量子信息的傳輸通道.

圖8 4個不同邊緣態(tài)的分布圖 (a) θ=π/2,==0.08;(b) θ=π/2,==0.1;(c) θ=3π/2,==0.08;(d) θ=3π/2,==0.1.其他參數為 T=0.1,=0.2,=0.4 和晶格數N=200Fig.8.State distributions of four different edge states: (a) θ=π/2,==0.08;(b) θ=π/2,==0.1;(c) θ=3π/2,==0.08;(d) θ=3π/2,==0.1.Other parameters are T=0.1,=0.2,=0.4 and lattice size N=200.

另外,從圖8(a2)和圖8(c2)可以看出,當θ=π/2時,紅色的邊緣態(tài)分布在最左邊的位置;當θ=2π/3時,紅色的邊緣態(tài)分布在最右邊的位置.可以調控相位參數θ,即調制次近鄰相互作用,使系統的邊緣態(tài)分布呈現一個翻轉過程,也就是說,在次近鄰作用下,可以實現4個不同通道的量子拓撲信息傳輸.此外,與圖8(a)和圖8(c)相比,在圖8(b)和圖8(d)中只有兩個邊緣態(tài)(藍色和紅色)展現一個翻轉過程,其他兩個分布位置保持不變,這源于p-波超導配對項耦合和次近鄰相互作用之間潛在的相輔性,引起邊緣態(tài)分布的差異性,正如圖8(b)和圖8(c)所示,4個邊緣態(tài)的分布位置完全相同,但所使用參數不同,那么通過優(yōu)化系統的參數可以實現多通道的拓撲量子信息傳輸.

3.3 隨機缺陷的擾動

在目前的實驗中,由系統漲落引起的無序以及操縱帶來的微擾,這些將會影響系統拓撲性質,并且是不可回避的問題,需要深入的研究和分析.接下來,把無序和微擾看作系統的隨機缺陷,進一步討論其對系統的拓撲的影響,哈密頓量表示為

其中ω,ν和τ分別描述反旋波項、最近鄰和次近鄰相互作用項的隨機缺陷強度,δ∈[-0.5,0.5] 是隨機數.

圖9繪制了不同隨機缺陷下的系統能譜圖.從圖9(a)—(c)可以看到,在ν=τ=0 時,隨著ω逐漸增加,系統的上下能帶開始無規(guī)則地波動,同時4個簡并的邊緣態(tài)也輕微地擾動,但邊緣態(tài)可以區(qū)分;然而,當ω≥0.7 時,上下能帶開始重疊,導致邊緣態(tài)湮滅在能帶中,如圖9 (d)所示.另外,如圖9(e)—(g)所 示,當ω=τ=0 時,隨 著ν逐 漸增加,系統的上下能帶也產生無規(guī)則波動,但邊緣態(tài)的擾動比圖9(a)—(c)中的輕微一點,邊緣態(tài)可以區(qū)分.如圖9(h)所示,當ν≥0.4 時,上下能帶的帶隙閉合,導致邊緣態(tài)湮滅在能帶中,這和圖9(d)所示相同.此外,從圖9(a)—(h)中能帶和邊緣態(tài)的變化趨勢可以清楚地看到,ω和ν導致的擾動各有異同,例如,能帶的無規(guī)則波動和邊緣態(tài)的擾動程度不同,也發(fā)現能帶的無規(guī)則波動引起的帶隙閉合趨勢相同,其中ω值要比ν值大多.

圖9 系統能譜與隨機缺陷的關系圖 (a) ω=0.1,ν=τ=0;(b) ω=0.3,ν=τ=0;(c) ω=0.5,ν=τ=0;(d) ω=0.7,ν=τ=0;(e) ν=0.1,ω=τ=0;(f) ν=0.2,ω=τ=0;(g) ν=0.3,ω=τ=0;(h) ν=0.4,ω=τ=0;(i) τ=0.1,ω=ν=0;(j) τ=0.2,ω=ν=0;(k) τ=0.3,ω=ν=0;(l) τ=0.4,ω=ν=0;其他參數為=0.2,=0.4,==0.04,T=0.1和晶格數N=200Fig.9.Energy spectrum of the system via the random defects: (a) ω=0.1,ν=τ=0;(b) ω=0.3,ν=τ=0;(c) ω=0.5,ν=τ=0;(d) ω=0.7,ν=τ=0;(e) ν=0.1,ω=τ=0;(f) ν=0.2,ω=τ=0;(g) ν=0.3,ω=τ=0;(h) ν=0.4,ω=τ=0;(i) τ=0.1,ω=ν=0;(j) τ=0.2,ω=ν=0;(k) τ=0.3,ω=ν=0;(l) τ=0.4,ω=ν=0.Other parameters are =0.2,=0.4,==0.04,T=0.1 and lattice size N=200.

另一方面,如圖9(i)—(k)所示,當ω=ν=0時,τ增加到一定程度時,可以看到上下能帶逐漸閉合,邊緣態(tài)將融合在能帶中,但邊緣態(tài)的擾動程度大于圖9(a)—(h)所示;當τ≥0.4 時,上下能帶的帶隙閉合,邊緣態(tài)在能帶中湮滅,而這和圖9(d)、圖9(h)所示相同.根據上面的分析與討論可以得到,系統的不同隨機缺陷都會影響其能帶結構特征,但較小值的缺陷對系統的邊緣態(tài)擾動微小,能隙中邊緣態(tài)可以區(qū)分,說明其具有魯棒性;然而,當缺陷較大時,能帶間隙閉合,邊緣態(tài)將湮滅在能帶中.此外還發(fā)現,三者對邊緣態(tài)的擾動程度不同,次臨近相互作用的缺陷對邊緣態(tài)的擾動最大,最近鄰相互作用的缺陷對邊緣態(tài)擾動最小.因此,在實驗制備和操作中,需要考慮這些缺陷引起的擾動,盡可能地調控在合適的范圍,使實驗結果具有建設性和應用性,進一步拓展拓撲量子信息的儲存和傳輸方式.

4 結論

本文提出基于超導微波腔的一維晶格理論方案,通過磁通量子比特調控晶胞之間的耦合,考慮反旋波項與p-波超導配對項相映射,獲得p-波超導配對項的一維晶格方案,來模擬和探索其中拓撲絕緣體特性.研究發(fā)現,通過調控p-波超導配對項,系統可以實現4個邊緣態(tài)的拓撲量子信息傳輸通道.此外,當加入次近鄰相互作用時,其可以誘導能帶產生新的能帶,邊緣態(tài)的簡并性穩(wěn)定,可以實現不同路徑的拓撲量子態(tài)傳輸;然而,當次近鄰相互作用調控超過閾值時,能隙會閉合,邊緣態(tài)湮滅在新的能帶中.另外,當系統存在缺陷時,發(fā)現缺陷較小時,邊緣態(tài)對其具有魯棒性;當缺陷超過閾值時,能帶會導致劇烈的波動,使邊緣態(tài)消失.本文的研究結果具有廣泛的潛在應用,對未來建立可擴展量子網絡具有重要的指導性建議.