四元數(shù)矩陣方程最小二乘Toeplitz解的半張量積方法

閆立梅, 趙琳琳, 丁文旭, 李 瑩, 范洪彪

(1. 德州學(xué)院 數(shù)學(xué)與大數(shù)據(jù)學(xué)院, 山東 德州 253000; 2. 聊城大學(xué) 數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院, 山東 聊城 252000)

為了克服普通矩陣乘法受維數(shù)的限制,程代展等[1-2]提出了矩陣的半張量積理論,矩陣的半張量積是矩陣普通乘法的推廣和延展.該理論一經(jīng)提出,在與矩陣有關(guān)的諸多領(lǐng)域得到了廣泛應(yīng)用.Fan等[3]和Cheng等[4]提出了求解模糊關(guān)系方程的半張量積方法,給出了模糊關(guān)系方程有解的充分必要條件,找到了所研究模糊關(guān)系方程全部的精確解;Fu等[5]使用矩陣的半張量積方法研究了有限Boolean代數(shù)的分解以及同構(gòu)和同態(tài)問題;Cheng等[6]使用半張量積方法討論了多值邏輯的完備性問題;葛美俠等[7]在半張量積的理論框架下研究了網(wǎng)絡(luò)演化博弈,給出了網(wǎng)絡(luò)演化博弈策略一致性的充要條件;丁文旭等[8],王棟等[9]和Ding等[10]將半張量積理論用于求解四元數(shù)矩陣方程,提出了四元數(shù)矩陣的實(shí)向量表示方法,得到了較好的效果;半張量積理論在其它領(lǐng)域也得到了成功的應(yīng)用[11-13].

本文使用矩陣的半張量積方法研究四元數(shù)線性系統(tǒng)(1)的最小二乘Toeplitz型矩陣解和Hermitian Toeplitz型矩陣解.

(1)

Toeplitz矩陣在超視距雷達(dá)[14]、噪音消除[15]、計(jì)算機(jī)視覺[16]等工程應(yīng)用領(lǐng)域發(fā)揮著重要的作用,是矩陣?yán)碚摰难芯績(jī)?nèi)容之一.

1 預(yù)備知識(shí)

定義1[17]設(shè)x1,x2,x3,x4∈R,稱

x=x1+x2i+x3j+x4k

為四元數(shù).其中,i,j,k滿足i2=j2=k2=ijk=-1,ij=-ji=k,jk=-kj=i,ki=-ik=j.

定義2設(shè)X∈Qn×n,稱

為四元數(shù)Toeplitz矩陣.顯然,四元數(shù)Toeplitz矩陣由它的第一行和第一列上共2n-1個(gè)元素決定.

定義3[1-2]設(shè)A∈Rm×n,B∈Rp×q,t=lcm(n,p)是n和p的最小公倍數(shù),稱

為A和B的矩陣半張量積.

矩陣半張量積一般不具有交換性.但可以在換位矩陣的協(xié)助下具有一定的交換性,稱之為準(zhǔn)交換性.

定義4[1-2]稱

故有,

簡(jiǎn)記為

W[m,n]=δmn[1,…,(n-1)m+1,…,m,…,mn]

換位矩陣可以起到交換兩個(gè)行向量和列向量相乘順序的作用.

性質(zhì)1[1-2]設(shè)x∈Rm,y∈Rn,A∈Rp×q,則

ij=1,2,…,kj;j=1,2,…,n

設(shè)

稱MF為F的結(jié)構(gòu)矩陣.

定義6[8]設(shè)四元數(shù)x=x1+x2i+x3j+x4k,稱vR(x)=(x1,x2,x3,x4)T為x的實(shí)排列.

設(shè)x,y∈Q,xy的實(shí)排列vR(xy)可以通過半張量積方法用實(shí)向量vR(x),vR(y)來表示.

引理1[1-2]設(shè)x,y∈Q,則

其中

為兩個(gè)四元數(shù)乘積的結(jié)構(gòu)矩陣.

丁文旭等[8]提出了四元數(shù)行向量和列向量的實(shí)排列以及四元數(shù)矩陣的實(shí)行排和實(shí)列排概念.

定義7[8]設(shè)x=(x1,x2,…,xn)為四元數(shù)行向量,y=(y1,y2,…,yn)T為四元數(shù)列向量,稱

分別為四元數(shù)向量x和y的實(shí)排列,vR(x),vR(y)∈R4n.

定義8[8]設(shè)A∈Qm×n,Rowi(A),Colj(A),i=1,2,…,m;j=1,2,…,n分別是A的第i行和第j列,稱

四元數(shù)向量和四元數(shù)矩陣的實(shí)向量表示具有下面的性質(zhì).

R4mp×16mn2p

引理4[18]設(shè)A∈Rm×n,b∈Rm,則不相容線性方程組Ax=b的最小二乘解的通式為x=A+b+(In-A+A)y,其中y∈Rn是任意的向量.

引理5[18]設(shè)A∈Rm×n,b∈Rm,則線性方程組Ax=b有解的充分必要條件是AA+b=b,且其通解為x=A+b+(In-A+A)y,其中y∈Rn是任意的向量.

2 方程(1)的最小二乘Toeplitz解和Hermitian Toeplitz解

稱XT為四元數(shù)矩陣方程(1)的極小范數(shù)最小二乘Toeplitz解.

定理1設(shè)X∈TQn×n,且

定理2設(shè)Xi∈TQn×n,i=1,2,…,k,記

定理3設(shè)Ai∈Qm×n,Bi∈Qn×p,i=1,2,…,k,C∈Qm×p,則四元數(shù)矩陣方程(1)的最小二乘Toeplitz解為

其極小范數(shù)最小二乘Toeplitz解XT滿足:

(2)

式中

G′與G在引理3中已交待(其維數(shù)不同), 矩陣J如定理2 中所示.

證明由引理2、引理3和定理2 可得

則

y∈R4k(2n-1)

其極小范數(shù)最小二乘Toeplitz解XT滿足:

推論1設(shè)Ai∈Qm×n,Bi∈Qn×p,i=1,2,…,k,C∈Qm×p,四元數(shù)矩陣方程(1)有解的充要條件:

其通解為

y∈R4k(2n-1)

其極小范數(shù)Toeplitz解XT滿足:

證明

因此,

y∈R4k(2n-1)

其極小范數(shù)Toeplitz解XT滿足:

問題2設(shè)Ai∈Qm×n,Bi∈Qn×p,i=1,2,…,k,C∈Qm×p且

欲求XHT∈SHT,滿足:

稱XHT為四元數(shù)矩陣方程(1)的極小范數(shù)最小二乘Hermitian Toeplitz解.

定理4設(shè)X∈HTQn×n,記

則

其中

定理5設(shè)Xi∈HTQn×n,i=1,2,…,k,記

問題2與問題1的不同在于解的取值范圍是不同的,仿照定理3與推論1給出四元數(shù)矩陣方程(1)的最小二乘Hermitian Toeplitz解的結(jié)論.

定理6設(shè)Ai∈Qm×n,Bi∈Qn×p,i=1,2,…,k,C∈Qm×p,則四元數(shù)矩陣方程(1)的最小二乘Hermitian Toeplitz解為

其極小范數(shù)最小二乘Hermitian Toeplitz解XHT滿足:

(3)

推論2設(shè)Ai∈Qm×n,Bi∈Qn×p,i=1,2,…,k,C∈Qm×p,四元數(shù)矩陣方程(1)有解的充要條件是

其通解為

y∈R4kn

其極小范數(shù)Hermitian Toeplitz解XHT滿足:

3 數(shù)值實(shí)驗(yàn)分析

算法

步驟1 輸入矩陣Ai∈Qm×n,Bi∈Qn×p,i=1,2,…,k,C∈Qm×p,G′,G,W[4np,4n2],J;

步驟2 計(jì)算

下面的算例驗(yàn)證了該算法在求解四元數(shù)矩陣方程Toeplitz解時(shí)的精度和有效性.

算例1針對(duì)不同維數(shù)的四元數(shù)矩陣方程(1),檢驗(yàn)上述算法的精度.取k=2,隨機(jī)生成四元數(shù)矩陣,

Ai=rand(m,n)+rand(m,n)i+ rand(m,n)j+rand(m,n)ki=1,2

Bi=rand(n,p)+rand(n,p)i+ rand(n,p)j+rand(n,p)ki=1,2

圖1 矩陣不同維數(shù)下的誤差ζFig.1 Errors ζ under different dimensions of matrix

4 結(jié)論

同時(shí)考慮矩陣的半張量積理論和四元數(shù)矩陣的實(shí)向量表示方法,構(gòu)建了求解四元數(shù)矩陣方程的最小二乘Toeplitz解和Hermitian Toeplitz解的半張量積方法.針對(duì)解矩陣的特殊結(jié)構(gòu),提取有效消息去除冗余,降低了計(jì)算復(fù)雜度,提高了運(yùn)算精度.這種方法可以推廣使用求解其它的四元數(shù)矩陣方程,是一種求解四元數(shù)矩陣方程特殊形式解的有效方法.