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    核心素養(yǎng)引領(lǐng)下的“初中數(shù)學(xué)教學(xué)之習(xí)題設(shè)計”

    2024-01-05 13:50:58孫程程
    關(guān)鍵詞:數(shù)學(xué)思想核心素養(yǎng)

    孫程程

    摘要:數(shù)學(xué)教學(xué)的習(xí)題設(shè)計要聚焦幾個核心問題——注重習(xí)題的變式,一題多解,習(xí)題設(shè)計要體現(xiàn)數(shù)學(xué)知識的結(jié)構(gòu),習(xí)題訓(xùn)練中能暴露新知的易錯點,善于在習(xí)題中滲透數(shù)學(xué)思想方法.追求精益求精的習(xí)題設(shè)計能力是值得持之以恒探索的課題.

    關(guān)鍵詞:核心素養(yǎng);習(xí)題設(shè)計;知識結(jié)構(gòu)化;數(shù)學(xué)思想

    羅增儒老師說過,誰也無法教會所有的題,重要的是通過有限道題的學(xué)習(xí),領(lǐng)悟那種可以解決無限道題的數(shù)學(xué)素養(yǎng).高昂的時間成本是教學(xué)活動難以逾越的障礙,一節(jié)課如果內(nèi)容太多,任務(wù)太重,學(xué)生很忙,思考力就難以提升.因此,作為教學(xué)設(shè)計者和執(zhí)行人的教師,要反復(fù)研讀教材,在尊重學(xué)生認知規(guī)律的前提下設(shè)計合理可行的習(xí)題,體現(xiàn)教學(xué)重難點,不讓學(xué)生做廉價的發(fā)現(xiàn)、無畏的探索.教師在習(xí)題設(shè)計中要恰當(dāng)?shù)卦O(shè)置障礙,讓學(xué)生的思維始終處于活躍狀態(tài).鑒于此,筆者結(jié)合多年初中數(shù)學(xué)一線教學(xué)經(jīng)驗,具體談?wù)劤踔袛?shù)學(xué)教學(xué)中“習(xí)題設(shè)計”的理念.

    1 精心設(shè)計習(xí)題的變式

    變式教學(xué)具有得天獨厚的優(yōu)勢,它不是一味地灌輸知識,而是點燃思維的火焰.變式可以引領(lǐng)學(xué)生不斷面對新的問題,運用所學(xué)知識來解決問題,逐步讓知識向深處漫溯,形成知識結(jié)構(gòu)的建構(gòu),從而促進思維能力的提高.善于變式體現(xiàn)了一個教師的專業(yè)功底.好的變式是一節(jié)好課的心臟,能讓一節(jié)課“活”起來,觸發(fā)學(xué)生的思考.各變式之間,要具備并列或遞進的關(guān)系,要具有層次性,由易到難,層層遞進,環(huán)環(huán)相扣,前一個問題是后一個問題的基礎(chǔ)與鋪墊,即思維逐層深入,逐步拓展,達到“會一題通一類”的效果.

    下面以“勾股定理”中的習(xí)題為例進行變式設(shè)計.

    例 在Rt△ABC中,∠C=90°,若a=3,b=4,求c的長.

    變式1 如圖1,一棵垂直于地面的樹被臺風(fēng)吹倒,在離樹頂部5 m處折斷,樹頂距樹底部4 m,則樹高為_________m.

    分析:已知直角三角形斜邊為5,一直角邊為4,則另一直角邊為3.學(xué)生在實際解決中,容易錯把3 m作為答案,忘記樹高還要再加折斷的5 m,正確答案應(yīng)是8 m.

    設(shè)計意圖:變式1在勾股定理的基礎(chǔ)上,用數(shù)學(xué)的思維來解決實際問題.變式1用勾股定理搭建思維的扶梯,用數(shù)學(xué)的眼光來看待現(xiàn)實生活中的實際問題,體會數(shù)學(xué)的價值與意義.

    變式2 一直角三角形的兩邊長分別為3和4,則此直角三角形的第三邊長為_________.

    分析: 邊長4可以作直角邊,也可以作斜邊.①當(dāng)4為直角邊時,第三邊為5;②當(dāng)4為斜邊時,第三邊為7.

    設(shè)計意圖: 變式2從實際問題再回歸到數(shù)學(xué)問題,例題及變式1的解決,為變式2做了足夠的鋪墊,凸顯了分類討論思想,屬于暴露易錯點的變式.變式1到變式2的過渡,從形象到抽象,關(guān)注了知識的內(nèi)涵和外延,增強了學(xué)生對數(shù)學(xué)思想方法的感悟以及對數(shù)學(xué)技能的掌握,積累數(shù)學(xué)活動經(jīng)驗.

    變式3 如圖2,三個正方形的邊圍成一個直角三角形,兩個正方形的面積分別為225和144,則正方形A的面積是_________.

    設(shè)計意圖:把勾股定理融入變式中,從數(shù)到形,數(shù)形結(jié)合,讓學(xué)生在最近發(fā)展區(qū)引發(fā)思考,促進思維的進階,深度參與解決問題.

    變式4 如圖3,在直線l上依次擺放著七個正方形,已知斜放置的三個正方形的面積分別是1,2,3,正放置的四個的正方形的面積依次是S1,S2,S3,S4,則S1+S2+S3+S4=_________.

    設(shè)計意圖:變式4屬于拓展型變式,熟練方能收獲巧思,通過變式,增加重復(fù)的價值,比投身題海戰(zhàn)術(shù)收效更大.認知結(jié)構(gòu)上的同化與順應(yīng),促進新圖式構(gòu)建與元認知能力的發(fā)展,充分挖掘思維潛能,發(fā)展思維的靈活性與深刻性.

    變式5 如圖4是一個三級臺階,它的每一級的長、寬和高分別為20 dm,3 dm,2 dm,A和B是這個臺階兩個相對的端點,A點有一只螞蟻,想到B點去吃可口的食物,則螞蟻沿著臺階面爬到B點最短路程是多少?

    設(shè)計意圖:臺階中的最值問題,讓學(xué)生感悟解決現(xiàn)實問題要關(guān)注數(shù)學(xué)知識背景,在建立模型的過程中學(xué)會用數(shù)學(xué)的思維思考現(xiàn)實世界,有效拓展,深刻理解模型的關(guān)鍵條件,強化數(shù)學(xué)建模意識,把復(fù)雜問題化歸為簡單熟悉的問題,將知識縱向遷移,提高解題能力.

    變式是鞏固新知識的好方法,運用變式教學(xué),層層遞進,逐步深挖,突破思維定式,激起學(xué)生好奇心.通過一系列的變式教學(xué),始終圍繞“勾股定理”這個知識“點”,通過變式串成一條“線”,再拓展延伸成“面”.將所學(xué)知識融會貫通,在潤物無聲中培養(yǎng)學(xué)生的探知能力,實現(xiàn)從理解知識到掌握知識的飛躍,提升并發(fā)展學(xué)生數(shù)學(xué)核心素養(yǎng).

    2 善于設(shè)計一題多解的習(xí)題

    培養(yǎng)思維不設(shè)限,一題多解,多方面多角度思考,可以拓寬思路,優(yōu)化學(xué)生的思維品質(zhì),提升思維的廣闊性、深刻性、靈活性、批判性、獨創(chuàng)性;知道為什么這樣做,還可以怎么做.學(xué)生思維一旦激活,奇思妙想就會宛如“千樹萬樹梨花開”,既鞏固了技能,又培養(yǎng)了能力,比再練一道同類題目收益更大.

    如:若x=2是一元二次方程x2+4x-p=0的一個根,求該方程的另一個根.

    解法一:把 x=2代入方程x2+4x-p=0,得4+8-p=0,解得p=12.

    把p=12代入方程x2+4x-p=0,得x2+4x-12=0,解得x1=2,或x2=-6.

    所以方程的另一個根為-6.

    解法二:設(shè)方程的一個根x1=2,另一個根為x2,由根與系數(shù)關(guān)系,得2+x2=-4,解得x2=-6.

    本題以一元二次方程為載體,通過一題多解,讓學(xué)生感受到應(yīng)用根與系數(shù)的關(guān)系解題的優(yōu)越性,體現(xiàn)發(fā)展為本的理念,讓學(xué)生從“惑”中走出來,知識、素養(yǎng)、經(jīng)驗、智慧都拾級而上.

    3 設(shè)計體現(xiàn)知識結(jié)構(gòu)、串聯(lián)新舊知識點的習(xí)題

    《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)(2022年版)》課程實施中提出的教學(xué)建議為整體把握教學(xué)內(nèi)容,注重教學(xué)內(nèi)容的結(jié)構(gòu)化.

    如,人教版“23.2.3關(guān)于原點對稱的點的坐標(biāo)”的教學(xué)中,當(dāng)學(xué)生探索并掌握了“平面內(nèi)的兩個點關(guān)于原點對稱,橫、縱坐標(biāo)互為相反數(shù)”這一規(guī)律時,筆者設(shè)計如下習(xí)題.

    如:已知二次函數(shù)y=ax2+4ax+4a-1的圖象是C1,求C1關(guān)于原點(0,0)成中心對稱的圖象C2的函數(shù)解析式.

    解析:二次函數(shù)的解析式可以化為y=a(x+2)2-1,

    所以其頂點坐標(biāo)為(-2,-1).

    于是與C1關(guān)于原點(0,0)成中心對稱的圖象C2的頂點坐標(biāo)為(2,1),且開口與C1相反.

    故C2的解析式為y=-a(x-2)2+1.

    拓展 二次函數(shù)y=a(x-h)2+k(a≠0)關(guān)于原點中心對稱的拋物線C2的解析式是什么?你發(fā)現(xiàn)了什么規(guī)律?

    解析:二次函數(shù)y=a(x-h)2+k關(guān)于原點成中心對稱的圖象開口與原圖象相反,頂點坐標(biāo)是原頂點坐標(biāo)(h,k)的相反數(shù),即(-h,-k).

    所以C2解析式為y=-a(x+h)2-k.

    延伸 二次函數(shù)y=a(x-h)2+k(a≠0)關(guān)于x軸對稱的拋物線C2的解析式是什么?你又發(fā)現(xiàn)了什么規(guī)律?

    解析:二次函數(shù)y=a(x-h)2+k關(guān)于x軸對稱的圖象開口與原圖象相反,頂點坐標(biāo)與原頂點坐標(biāo)(h,k)關(guān)于x軸對稱,即(h,-k).

    所以C2的解析式為y=-a(x-h)2-k.

    歸納:關(guān)于某點成中心對稱即是把一個圖形繞著某一點旋轉(zhuǎn)180°,其特征為無論作何種變換,拋物線的形狀一定不會發(fā)生變化,因此|a |永遠不變.求變換后的拋物線的解析式時,可以先確定原拋物線的頂點坐標(biāo)及開口方向,再確定變換后拋物線的頂點坐標(biāo)及開口方向,然后再寫出其變換后拋物線的一般表達式.

    設(shè)計意圖:把坐標(biāo)平面內(nèi)“點”的中心對稱遷移到“拋物線”的中心對稱或軸對稱,綜合應(yīng)用了中心對稱、軸對稱和二次函數(shù)的聯(lián)系,提高學(xué)生的知識遷移能力.因此,習(xí)題設(shè)計的“結(jié)構(gòu)化”體現(xiàn)了課時內(nèi)容的疊加,把碎片化的知識點有機整合起來,把不同章節(jié)的新舊知識點串聯(lián)起來,由新知聯(lián)想舊知,通過對比、分析、推理,深入理解知識的內(nèi)涵和外延,豐富知識網(wǎng)絡(luò),完善知識體系,形成高效教學(xué),提升并發(fā)展數(shù)學(xué)核心素養(yǎng).

    4 善于在習(xí)題中滲透數(shù)學(xué)思想方法

    以“轉(zhuǎn)化思想”為例:如圖5,在△ABC中,AB=6,AC=8,BC=10,P為邊BC上一動點(且點P不與點B,C重合),PE⊥AB于點E,PF⊥AC于點F,則EF的最小值為().

    A.4 B.4.8 C.5.2 D.6

    本題立足于“垂線段最短”這一知識“生長點”,由已知條件可得四邊形AEPF為矩形,鎖定已知,構(gòu)建聯(lián)系;利用矩形對角線相等的性質(zhì),把線段EF的長轉(zhuǎn)化為AP的長;再根據(jù)垂線段最短原理,利用等積法即可求解.此過程中讓學(xué)生積極參與探索,了解問題的實質(zhì),產(chǎn)生新舊知識沖突,感受數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn)與創(chuàng)造的快樂,真正做到“懂”“通”“透”,培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)抽象與邏輯推理能力,對數(shù)學(xué)素養(yǎng)的提升起到“春風(fēng)化雨,潤物無聲”的效果.

    數(shù)學(xué)教學(xué)的習(xí)題設(shè)計能力是每一個教師需要終身修煉的教學(xué)基本功.它需要教師深入研讀教材,重視教材內(nèi)容的解讀,聚焦核心素養(yǎng),把要傳授的內(nèi)容濃縮體現(xiàn)在習(xí)題之中,并將其加工滲透于習(xí)題之中,而這又是專業(yè)基本功的體現(xiàn).因此,在教師生涯中,追求精益求精的習(xí)題設(shè)計能力是值得持之以恒探索的課題.

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