二維莫爾超晶格中的非線性霍爾效應(yīng)*

吳澤飛 黃美珍 王寧

1)(香港科技大學(xué)物理系,香港 999077)

2)(曼徹斯特大學(xué)物理與天文系及英國(guó)國(guó)家石墨烯中心,曼徹斯特 M13 9PL,英國(guó))

1 引言

霍爾效應(yīng)是指在平行方向施加電流時(shí)在垂直于電流方向產(chǎn)生電壓的現(xiàn)象.自1879年發(fā)現(xiàn)以來(lái)[1],霍爾效應(yīng)家族已經(jīng)成為一個(gè)龐大的群體[2–7],對(duì)其進(jìn)行深入的研究是現(xiàn)今凝聚態(tài)物理學(xué)領(lǐng)域的重要課題.新近發(fā)現(xiàn)的非線性霍爾效應(yīng)是霍爾效應(yīng)家族的新成員[8–15].與以往大部分霍爾效應(yīng)不同的是,非線性霍爾效應(yīng)不需要打破系統(tǒng)的時(shí)間反演對(duì)稱性,而需要打破空間反演對(duì)稱性.自2015年以來(lái),非線性霍爾效應(yīng)被預(yù)測(cè)并證實(shí)存在于少數(shù)能帶中貝里曲率不均勻分布的材料中.具體來(lái)說(shuō),當(dāng)在材料中施加縱向交流電場(chǎng)時(shí),會(huì)在橫向產(chǎn)生與注入電流二次方成正比的霍爾電信號(hào).這個(gè)霍爾電信號(hào)包含兩個(gè)成分: 一個(gè)是以注入電流兩倍頻率振蕩的橫向電壓,另一個(gè)是由注入電流轉(zhuǎn)換而來(lái)的直流信號(hào).隨著實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)的積累和理論分析的深入,人們意識(shí)到非線性霍爾效應(yīng)的產(chǎn)生機(jī)制大概可以分為內(nèi)稟和散射兩類(lèi): 內(nèi)稟機(jī)制由貝里曲率偶極矩導(dǎo)致,理論上可以在一些具有傾斜能帶結(jié)構(gòu)的量子材料和第二類(lèi)半金屬材料中實(shí)現(xiàn)[8];散射機(jī)制的產(chǎn)生原因比較復(fù)雜,現(xiàn)階段還難以實(shí)現(xiàn)有效調(diào)控[16].盡管非線性霍爾效應(yīng)的發(fā)現(xiàn)僅僅數(shù)年,其在無(wú)線通信、能量收集和紅外探測(cè)器等領(lǐng)域廣泛的應(yīng)用前景卻已被普遍認(rèn)可.主要原因在于非線性霍爾效應(yīng)中電信號(hào)的倍頻和整流是通過(guò)材料的固有量子特性——貝里曲率偶極矩決定的,不具有傳統(tǒng)電子器件中的電壓閾值或過(guò)渡時(shí)間限制[17–19].然而,貝里曲率偶極矩的存在對(duì)體系的晶格對(duì)稱性除了空間反演破缺外還有更嚴(yán)格的要求,可供選擇的材料十分有限.這大大降低了人們優(yōu)化非線性霍爾效應(yīng)信號(hào)大小的能力,限制了非線性霍爾效應(yīng)的應(yīng)用與發(fā)展.

近年來(lái),快速發(fā)展的范德瓦耳斯堆疊技術(shù)為設(shè)計(jì)、剪裁和調(diào)控晶格的對(duì)稱性,制備具有特殊物理性質(zhì)的人工莫爾晶體提供了一個(gè)嶄新的途徑.二維莫爾超晶格的出現(xiàn)吸引了大批學(xué)者的目光.最近,對(duì)石墨烯超晶格[20–29]以及過(guò)渡金屬硫族化合物超晶格[30–33]的理論和實(shí)驗(yàn)研究已經(jīng)表明,人工莫爾超晶格材料相比天然非莫爾晶體具有更大的貝里曲率偶極矩,在產(chǎn)生和調(diào)控非線性霍爾效應(yīng)方面具有明顯的優(yōu)勢(shì).另一方面,人們?cè)诙S超晶格材料中觀測(cè)到了豐富的強(qiáng)關(guān)聯(lián)效應(yīng),譬如非常規(guī)超導(dǎo)[34,35]、關(guān)聯(lián)絕緣態(tài)[36,37]、金屬-絕緣態(tài)二階相變[30,38,39]等.研究這些效應(yīng)與非線性霍爾效應(yīng)的關(guān)聯(lián)可以加深對(duì)非線性霍爾效應(yīng)的認(rèn)識(shí).此外,是否可以利用非線性霍爾效應(yīng)去更好地研究以上這些量子關(guān)聯(lián)態(tài),是一個(gè)方興未艾的研究方向.簡(jiǎn)而言之,對(duì)二維莫爾超晶格中非線性霍爾效應(yīng)的研究不僅可以使人們對(duì)材料貝里曲率的動(dòng)量空間分布有新的認(rèn)識(shí),對(duì)實(shí)現(xiàn)更穩(wěn)定的拓?fù)漭斶\(yùn)、關(guān)聯(lián)絕緣態(tài)和超流體非常重要,還極大地拓展了莫爾超晶格材料的功能空間,對(duì)設(shè)計(jì)新型電子和光電器件具有重要的意義.

本文首先介紹非線性霍爾效應(yīng)的誕生和發(fā)展,討論貝里曲率偶極矩和無(wú)序散射這兩種非線性霍爾效應(yīng)的產(chǎn)生機(jī)制、區(qū)分方式以及在非莫爾超晶格材料當(dāng)中非線性霍爾效應(yīng)的實(shí)現(xiàn).隨后,介紹二維莫爾超晶格在實(shí)現(xiàn)和探索非線性霍爾效應(yīng)方面具有的四點(diǎn)特性: 可觀的貝里曲率,對(duì)稱性破缺,強(qiáng)關(guān)聯(lián)效應(yīng)和可調(diào)控的能帶結(jié)構(gòu).接下來(lái),回顧并總結(jié)石墨烯超晶格以及過(guò)渡金屬硫族化合物超晶格中非線性霍爾效應(yīng)的理論和實(shí)驗(yàn)進(jìn)展.最后,對(duì)未來(lái)基于莫爾超晶格材料的非線性霍爾效應(yīng)的研究方向和潛在應(yīng)用進(jìn)行展望.

2 非線性霍爾效應(yīng)的誕生和發(fā)展

2.1 貝里曲率偶極矩導(dǎo)致的非線性霍爾效應(yīng)

霍爾效應(yīng)是指載流子縱向運(yùn)動(dòng)時(shí)產(chǎn)生橫向電壓的現(xiàn)象.線性霍爾效應(yīng)中,霍爾電導(dǎo)正比于貝里曲率的積分.貝里曲率在空間反演下不變,在時(shí)間反演下變號(hào)[40].因此,在有時(shí)間反演的系統(tǒng)中,積分時(shí)正動(dòng)量和負(fù)動(dòng)量的部分會(huì)抵消,霍爾電導(dǎo)為零.需要通過(guò)外加磁場(chǎng)或材料內(nèi)部磁化打破時(shí)間反演對(duì)稱性來(lái)實(shí)現(xiàn)非零霍爾電導(dǎo)[41–44].

2015年,Sodemann 和Fu[8]提出一 種在時(shí)間反演不變的系統(tǒng)中仍然可以出現(xiàn)的霍爾效應(yīng)——非線性霍爾效應(yīng).他們?cè)陔娮臃植己瘮?shù)中添加二階非線性項(xiàng)后求解玻爾茲曼輸運(yùn)方程,發(fā)現(xiàn)縱向交流電場(chǎng)可以在橫向產(chǎn)生零倍頻(直流)和二倍頻的電信號(hào).產(chǎn)生的直流和二倍頻電流密度分別為,其中ε是沿下標(biāo)方向的外加電場(chǎng)的振幅,非線性系數(shù)可以寫(xiě)為

其中εadc是Levi-Civita 符號(hào),ω是縱向電場(chǎng)頻率,τ是弛豫時(shí)間,?d是貝里曲率,f0是費(fèi)米分布.這時(shí),定義貝里曲率偶極矩為

則可以得到非線性霍爾信號(hào)正比于貝里曲率偶極矩的結(jié)論.觀察(2)式,可以發(fā)現(xiàn)貝里曲率偶極矩是對(duì)費(fèi)米面下所有貝里曲率的一階導(dǎo)數(shù)積分,也就是說(shuō),非線性霍爾效應(yīng)是貝里曲率的高階效應(yīng),所以是新物理.

利用分部積分,還可以得到貝里曲率偶極矩的另一種表達(dá)形式:

也就是費(fèi)米面上的群速度乘以貝里曲率的積分.利用(3)式,可以分析產(chǎn)生非線性霍爾效應(yīng)的條件.

首先,在時(shí)間反演下,群速度和貝里曲率都反號(hào),它們的乘積不變號(hào),說(shuō)明有時(shí)間反演的時(shí)候也可以觀測(cè)到非線性霍爾效應(yīng).其次,在空間反演下,群速度反號(hào),貝里曲率不反號(hào),它們的乘積反號(hào),因此積分的時(shí)候正動(dòng)量和負(fù)動(dòng)量的部分會(huì)抵消,貝里曲率偶極矩為零.如果想觀察到非線性霍爾效應(yīng),必須破壞空間反演對(duì)稱性.此外,通過(guò)分析貝里曲率偶極矩在不同對(duì)稱性操作下的變化,可以找到允許非零非線性霍爾信號(hào)的晶體點(diǎn)群結(jié)構(gòu)[45].對(duì)于三維晶體,非零貝里曲率偶極矩可以在18 種回旋點(diǎn)群[46]中存在.對(duì)于二維材料,要想有非零貝里曲率偶極矩,材料至多只能存在一條鏡面對(duì)稱軸.根據(jù)材料的對(duì)稱性和貝里曲率,理論計(jì)算指出,在三維外爾半金屬[11,47–51]、三維拓?fù)浣^緣體[52]、二維過(guò)渡金屬硫族化合物[10,53–55]、二維莫爾超晶格[22,25,27–29,31,32]以及某些低對(duì)稱性晶體[56–62]中可以實(shí)現(xiàn)非線性霍爾效應(yīng).

2.2 無(wú)序?qū)е碌姆蔷€性霍爾效應(yīng)

在貝里曲率偶極矩的理論被提出之后,人們開(kāi)始思考是否還有其他因素可以導(dǎo)致非線性霍爾效應(yīng).Du 等[16]、Isobe 等[17]和K?nig 等[63]在半經(jīng)典玻爾茲曼輸運(yùn)方程的框架下,發(fā)現(xiàn)無(wú)序所導(dǎo)致的邊跳作用(side-jump)和斜散射(skew-scattering)同樣會(huì)對(duì)非線性霍爾效應(yīng)產(chǎn)生影響.此外,人們還試圖突破半經(jīng)典框架[64–69].Xiao 等[64]發(fā)現(xiàn)在量子動(dòng)力學(xué)理論中,帶間相干效應(yīng)會(huì)對(duì)霍爾電導(dǎo)有額外貢獻(xiàn),這一貢獻(xiàn)在半經(jīng)典理論中不存在.Du 等[65]利用費(fèi)曼圖構(gòu)建了非線性霍爾效應(yīng)的量子理論,發(fā)現(xiàn)了更多半經(jīng)典描述中不存在的量子修正項(xiàng).

非線性霍爾效應(yīng)總是要求費(fèi)米面穿過(guò)能帶,因此無(wú)序散射不可避免,無(wú)序?qū)魻栯妼?dǎo)的貢獻(xiàn)甚至?xí)蓉惱锴逝紭O矩更大.無(wú)序和貝里曲率偶極矩的并存使非線性霍爾效應(yīng)的研究變得更加有趣和復(fù)雜.接下來(lái)介紹區(qū)分這兩個(gè)機(jī)制的3 種方式(見(jiàn)表1): 分析材料對(duì)稱性,測(cè)量縱向的倍頻信號(hào),測(cè)量非線性霍爾信號(hào)對(duì)縱向電導(dǎo)的依賴關(guān)系.

表1 非線性霍爾效應(yīng)兩種機(jī)制的比較Table 1.Comparison between dipole-and disorder-induced nonlinear Hall effect.

第一,對(duì)稱性分析可以幫助區(qū)分無(wú)序與貝里曲率偶極矩這兩個(gè)機(jī)制.以二維體系(z方向不存在電極)為例,非零的貝里曲率偶極矩只在對(duì)稱性極低的體系中存在,材料至多只能存在一條鏡面對(duì)稱軸(對(duì)應(yīng)點(diǎn)群C1,C1v)[8].而無(wú)序?qū)е碌姆蔷€性霍爾效應(yīng)在更高的對(duì)稱性下依然可能存在.比如,在C3,C3h,C3v,D3h和D3這些點(diǎn)群中,貝里曲率偶極矩為零,但無(wú)序貢獻(xiàn)不為零,可以觀察到純粹的無(wú)序?qū)е碌姆蔷€性霍爾效應(yīng)[65].需要注意的是,表1中對(duì)非線性霍爾效應(yīng)的對(duì)稱性分析中僅考慮旋轉(zhuǎn)軸垂直于二維平面(旋轉(zhuǎn)軸為z軸)的情況,如果旋轉(zhuǎn)軸在二維平面內(nèi),在C2和C2v點(diǎn)群中也可以產(chǎn)生二維體系的非線性霍爾效應(yīng).

第二,無(wú)序與貝里曲率偶極矩導(dǎo)致的效應(yīng)具有不同的縱向響應(yīng).貝里曲率偶極矩引起的非線性信號(hào)可以由公式描述.這一公式說(shuō)明貝里曲率偶極矩引起的信號(hào)垂直于縱向輸入電壓Eω,只有霍爾方向(橫向)的分量.而無(wú)序?qū)е碌姆蔷€性信號(hào)則沒(méi)有方向性,縱向與橫向應(yīng)該有同量級(jí)的信號(hào)輸出.

第三,無(wú)序與貝里曲率偶極矩導(dǎo)致的非線性霍爾信號(hào)對(duì)于縱向電導(dǎo)的依賴性不同.根據(jù)計(jì)算,非線性霍爾效應(yīng)的霍爾電壓與縱向電導(dǎo)σxx存在標(biāo)度關(guān)系,

2.3 非線性霍爾效應(yīng)的實(shí)現(xiàn)

圖1 總結(jié)了目前為止各種實(shí)現(xiàn)非線性霍爾效應(yīng)的非莫爾超晶格體系.根據(jù)最早Fu 提出的理論,實(shí)現(xiàn)非零貝里曲率偶極矩最簡(jiǎn)單的模型是傾斜的狄拉克錐.因此,非線性霍爾效應(yīng)最有可能在外爾半金屬,拓?fù)浣^緣體或過(guò)渡金屬硫族化合物此類(lèi)具有非零貝里曲率以及傾斜能帶的材料中實(shí)現(xiàn).事實(shí)上,非線性霍爾效應(yīng)確實(shí)首先在外爾半金屬中實(shí)現(xiàn).雙層WTe2具有一對(duì)非對(duì)稱耦合的狄拉克費(fèi)米子,因此具有非零的貝里曲率偶極矩.2019年,Ma等[12]在無(wú)外磁場(chǎng)的情況下,對(duì)雙層WTe2施加交流電流,觀測(cè)到了與注入電流成平方關(guān)系的二倍頻霍爾電壓.此外,由于觀測(cè)到的非線性霍爾效應(yīng)來(lái)源于貝里曲率偶極矩,霍爾方向的電壓響應(yīng)遠(yuǎn)大于縱向電壓響應(yīng),非線性霍爾角接近90°.幾乎同一時(shí)間,Kang 等[13]報(bào)道了多層WTe2中的非線性霍爾效應(yīng),通過(guò)測(cè)量霍爾電導(dǎo)率的溫度依賴性,發(fā)現(xiàn)內(nèi)在的貝里曲率偶極矩和外在的無(wú)序散射都對(duì)觀察到的非線性信號(hào)做出了貢獻(xiàn).Xiao 等[86]報(bào)道了WTe2中層相關(guān)的貝里曲率偶極矩導(dǎo)致的非線性霍爾效應(yīng),發(fā)現(xiàn)極性反轉(zhuǎn)相變可以有效地調(diào)控材料貝里曲率偶極矩,在奇數(shù)層WTe2中甚至可以造成貝里曲率偶極矩反號(hào)的現(xiàn)象.Tiwari 等[71]、Ma 等[87]和Shvetsov 等[88]研究了更厚WTe2以及具有類(lèi)似晶體結(jié)構(gòu)的MoTe2中的非線性霍爾霍爾效應(yīng),發(fā)現(xiàn)材料越厚,無(wú)序散射在產(chǎn)生非線性信號(hào)時(shí)占比越高,甚至能占據(jù)主導(dǎo)地位.

圖1 實(shí)現(xiàn)非線性霍爾效應(yīng)的各種非莫爾超晶格材料,圖片來(lái)源文獻(xiàn)[19,71—85]Fig.1.Experimental observation of the nonlinear Hall effect in various kinds of non-moiré materials.Figures are reproduced from Refs.[19,71–85].

由于散射導(dǎo)致的非線性霍爾信號(hào)大小由雜質(zhì)濃度決定,而雜質(zhì)濃度在實(shí)際應(yīng)用中較難調(diào)控,人們將非線性霍爾效應(yīng)的實(shí)驗(yàn)研究擴(kuò)展到了其他材料,試圖尋找其他貝里曲率偶極矩占據(jù)主導(dǎo)地位的材料.在外爾半金屬Ce3Bi4Pd3,TaIrTe4,NbP,(Pb1–xSnx)1–yInyTe 中[72,89–91],人們觀測(cè)到了貝里曲率偶極矩導(dǎo)致的非線性霍爾效應(yīng).其中,TaIrTe4[72]和NbP[19,89]中貝里曲率偶極矩引起的非線性霍爾效應(yīng)甚至可以在室溫下存在,展示了非線性霍爾效應(yīng)在倍頻和整流相關(guān)應(yīng)用方向上巨大的潛力.此外,在拓?fù)浣^緣體Pb1–xSnxTe[74],ZrTe5[75],自旋-能谷鎖定的狄拉克材料BaMnSb2[76],狄拉克半金屬Cd3As2[88],有機(jī)材料α-(BEDT-TTF)2I3[92]等具有非零貝里曲率偶極矩的材料中,人們也觀測(cè)到了非線性霍爾信號(hào).

上述介紹的都是自身具有貝里曲率偶極矩的材料.由于非零貝里曲率偶極矩對(duì)材料對(duì)稱性的要求,在實(shí)現(xiàn)非線性霍爾效應(yīng)時(shí)可選擇的材料十分有限.部分材料需要復(fù)雜的合成方法,甚至不能在空氣中穩(wěn)定存在,嚴(yán)重限制了非線性霍爾效應(yīng)的實(shí)際應(yīng)用.此外,這些材料的電子性質(zhì)由晶體結(jié)構(gòu)和成分組成決定,難以按照要求修改.這降低了我們優(yōu)化非線性霍爾效應(yīng)信號(hào)大小的能力.因此,研究者們開(kāi)始思考在自身沒(méi)有貝里曲率偶極矩的材料中是否也能產(chǎn)生非線性霍爾效應(yīng).在拓?fù)浣^緣體Bi2Se3和外爾半金屬CoTe2中,He 等[79]和Hu 等[80]分別發(fā)現(xiàn)了純粹的無(wú)序?qū)е碌姆蔷€性霍爾效應(yīng).通過(guò)堆疊不同材料,Duan 等[81]在WSe2/SiP 界面上、Lesne 等[93]在LaAlO3/SrTiO3界面上觀察到了非零貝里曲率偶極矩.在具有鏡面與滑移鏡像對(duì)稱性的WTe2塊材內(nèi),Ye 等[82]發(fā)現(xiàn),通過(guò)施加面內(nèi)直流電場(chǎng)打破對(duì)稱性,可以實(shí)現(xiàn)貝里曲率偶極矩由無(wú)到有的變化.除此以外,應(yīng)力也可以打破對(duì)稱性,產(chǎn)生非零貝里曲率偶極矩.在2H相過(guò)渡金屬硫族化合物中,Son 等[83]將MoS2放在柔性襯底上,Qin 等[84]將WSe2放在壓電襯底上,均觀察到了應(yīng)力導(dǎo)致的非零貝里曲率偶極矩.Ho 等[85]將雙層石墨烯放在人工制備的波紋狀BN 上,同樣測(cè)量到非線性霍爾效應(yīng).不足的是,由于材料的貝里曲率和能夠承受的應(yīng)力有限,目前通過(guò)施加應(yīng)力產(chǎn)生的貝里曲率偶極矩往往較小(埃米量級(jí)).是否還有其他的方法或是材料能夠產(chǎn)生更大、更方便調(diào)控的非線性霍爾信號(hào)呢?

3 二維莫爾超晶格的特性

隨著二維范德瓦耳斯堆疊技術(shù)的發(fā)展,人們意識(shí)到,當(dāng)以較小的旋轉(zhuǎn)角度堆疊具有相同或相似晶格常數(shù)的兩片二維層狀材料時(shí),會(huì)產(chǎn)生如圖2 中間所示的二維莫爾超晶格.二維莫爾超晶格在小轉(zhuǎn)角時(shí)自發(fā)的原子重構(gòu)現(xiàn)象會(huì)形成應(yīng)力場(chǎng)打破材料的對(duì)稱性(圖2(a),(b)[94]),并且有機(jī)會(huì)有較大的貝里曲率(圖2(c),(d)[30]).這兩點(diǎn)特性使得貝里曲率偶極矩能夠存在,因此能夠產(chǎn)生非線性霍爾效應(yīng).此外,莫爾超晶格還具有相互作用強(qiáng)(圖2(e),(f)[36]),能帶及輸運(yùn)性質(zhì)可調(diào)(圖2(g)[39])這兩點(diǎn)特性.在這一系統(tǒng)中,非線性霍爾信號(hào)可能會(huì)展現(xiàn)出普通材料沒(méi)有的特殊性質(zhì),并能夠便捷地被轉(zhuǎn)角、載流子濃度、外加電場(chǎng)等參數(shù)調(diào)控,極大拓展了非線性霍爾效應(yīng)的應(yīng)用空間.以下對(duì)這4 種特性進(jìn)行詳細(xì)介紹.

圖2 二維莫爾超晶格的特性 (a)2.6°轉(zhuǎn)角MoS2 的局部應(yīng)變圖[94];(b)系統(tǒng)中平均應(yīng)力大小與旋轉(zhuǎn)角度的關(guān)系[94];(c)無(wú)應(yīng)力的情況下,轉(zhuǎn)角WSe2 第一莫爾價(jià)帶的貝里曲率分布,白色六邊形對(duì)應(yīng)莫爾布里淵區(qū)[30];(d)沿zigzag 方向引入0.6% 應(yīng)力后的貝里曲率分布[30],不均勻的分布可以誘導(dǎo)貝里曲率偶極矩的產(chǎn)生;(e)1.08°轉(zhuǎn)角雙層石墨烯的能帶結(jié)構(gòu),藍(lán)線標(biāo)注的兩個(gè)能帶十分平坦[36];(f)不同轉(zhuǎn)角下能帶帶寬W(藍(lán)色粗線)與庫(kù)侖相互作用能U(細(xì)彩色線)比較[36];(g)轉(zhuǎn)角過(guò)渡金屬硫族化合物中可調(diào)控的電子特性,藍(lán)色區(qū)域?yàn)橘M(fèi)米液體(T2)態(tài),紅色區(qū)域?yàn)槠娈惤饘?T-linear)態(tài),灰色區(qū)域?yàn)榻^緣態(tài)[39]Fig.2.Characteristics of two dimensional moiré superlattices: (a)Calculated patterns of local strain for twisted MoS2 at twist angle 2.6°[94];(b)the average (local)strain in the system as a function of twist angle[94];(c)the Berry curvature of the top moiré valence band of twisted WSe2 without strain.The white hexagon indicates the moiré Brillouin zone[30];(d)the Berry curvature distribution after introducing a strain strength of 0.6% along zigzag direction[30],the unbalanced distribution results in finite Berry curvature dipole;(e)the band energy E of magic angle twisted bilayer graphene calculated using an ab initio tight-binding method,the bands shown in blue are ultra-flat[36];(f)comparison between the bandwidth W (thick blue line)and the on-site Coulomb interaction energy U (thin coloured lines for different values of κ)for different twist angles θ[36];(g)a summary of tunable electronic properties in twisted transition metal dichalcogenides verified by different temperature dependences,blue showed Fermi liquid (T2)behaviour,red showed strange metal (T-linear)behaviour,grey showed insulating behaviour[39].

3.1 二維莫爾超晶格的對(duì)稱性

考慮到非零貝里曲率偶極矩只在低對(duì)稱性材料中存在,因此分析莫爾超晶格的對(duì)稱性是很有必要的.以常見(jiàn)的轉(zhuǎn)角石墨烯和轉(zhuǎn)角過(guò)渡金屬硫族化物為例: 轉(zhuǎn)角石墨烯屬于D6點(diǎn)群,轉(zhuǎn)角2H相過(guò)渡金屬硫族化合物較為復(fù)雜,同質(zhì)結(jié)為D3點(diǎn)群,異質(zhì)結(jié)為C3v點(diǎn)群.雖然莫爾超晶格的對(duì)稱性相較轉(zhuǎn)角之前有所降低,材料仍然具有三重或六重旋轉(zhuǎn)對(duì)稱性,這一對(duì)稱性會(huì)使得材料貝里曲率偶極矩為零.只有1T相過(guò)渡金屬硫族化合物這一類(lèi)本身對(duì)稱性就比較低的材料旋轉(zhuǎn)堆疊后形成的莫爾超晶格才滿足非線性霍爾效應(yīng)的對(duì)稱性要求.這是否意味著非線性霍爾效應(yīng)只能在轉(zhuǎn)角1T相過(guò)渡金屬硫族化合物中存在呢? 答案是否定的.

以上的點(diǎn)群描述的都是完美的莫爾超晶格材料.而在實(shí)際中,范德瓦耳斯相互作用能和界面彈性能會(huì)導(dǎo)致原子發(fā)生重構(gòu)現(xiàn)象并產(chǎn)生應(yīng)力場(chǎng).這一現(xiàn)象在石墨烯/BN 超晶格[95]、轉(zhuǎn)角石墨烯[96]、轉(zhuǎn)角過(guò)渡金屬硫族化合物[97–100]中都已被觀察到.在這些材料中,由于不同區(qū)域具有不同堆疊方式和不同的堆疊能量,在原子重構(gòu)作用下,堆疊能量低(高)的區(qū)域會(huì)擴(kuò)張(收縮).以轉(zhuǎn)角MoS2為例,最終會(huì)形成如圖2(a)所示的由疇壁分隔的具有三角形Bernal 堆積構(gòu)型的疇陣列[94].通過(guò)觀察透射電子顯微鏡中衍射圖像的強(qiáng)度,Yoo 等[96]發(fā)現(xiàn)轉(zhuǎn)角石墨烯中的原子重構(gòu)現(xiàn)象僅在θ＜1°比較明顯,隨角度變大逐漸減弱.與轉(zhuǎn)角石墨烯相比,轉(zhuǎn)角過(guò)渡金屬硫族化合物因過(guò)渡金屬硫族化合物缺乏反轉(zhuǎn)對(duì)稱性而具有更多樣的特性.研究者們通過(guò)透射電子顯微鏡、掃描隧道顯微鏡、原子力顯微鏡等多種手段對(duì)不同轉(zhuǎn)角、不同堆疊層數(shù)的轉(zhuǎn)角過(guò)渡金屬硫族化合物進(jìn)行觀察,發(fā)現(xiàn)在θ<3°的樣品中均可觀察到原子重構(gòu)現(xiàn)象[97–100].原子重構(gòu)會(huì)在超晶格中產(chǎn)生復(fù)雜的應(yīng)力場(chǎng)(圖2(b))[94,101],此外,在樣品制備過(guò)程中也會(huì)引入一些微小應(yīng)力,這一應(yīng)力足以打破材料對(duì)稱性.Xie 等[102]和Kerelsky 等[103]在掃描隧道顯微鏡下觀測(cè)到的低對(duì)稱性圖形證實(shí)了這一點(diǎn).因此,小轉(zhuǎn)角時(shí),莫爾超晶格的對(duì)稱性被自身的原子重構(gòu)或外界應(yīng)力打破,滿足非線性霍爾效應(yīng)的要求.

3.2 二維莫爾超晶格的貝里曲率特性

除了需要滿足對(duì)稱性要求外,產(chǎn)生貝里曲率偶極矩的另一個(gè)條件是材料有非零的貝里曲率.Serlin 等[104]和Sharpe 等[105]發(fā)現(xiàn),在魔角石墨烯導(dǎo)帶被填充至3/4 時(shí),電子填充到自旋和能谷都極化的具有非零陳(Chern)數(shù)的莫爾子帶,導(dǎo)致了可觀測(cè)的反?；魻栃?yīng).這一現(xiàn)象證明轉(zhuǎn)角石墨烯體系具有非平庸的拓?fù)湫再|(zhì).Ma 等[106]和Sinha 等[107]分別在單層+單層和雙層+雙層的轉(zhuǎn)角石墨烯中觀測(cè)到了由非平庸拓?fù)浜拓惱锴蕦?dǎo)致的非定域(nonlocal)輸運(yùn)信號(hào).不僅如此,后續(xù)的理論計(jì)算和實(shí)驗(yàn)測(cè)量發(fā)現(xiàn)轉(zhuǎn)角石墨烯中的貝里曲率可以影響體系的輸運(yùn)性質(zhì): 貝里曲率分布的均一性可以影響轉(zhuǎn)角石墨烯中的分?jǐn)?shù)關(guān)聯(lián)絕緣態(tài)[108,109],超導(dǎo)剛度也與量子幾何相關(guān)[110,111].雖然貝里曲率對(duì)轉(zhuǎn)角石墨烯輸運(yùn)性質(zhì)的具體影響還有待進(jìn)一步研究,目前研究足以說(shuō)明轉(zhuǎn)角石墨烯體系中具有非零的貝里曲率.

單層六方結(jié)構(gòu)過(guò)渡金屬硫族化合物由于反演對(duì)稱中心的缺失而具有非零的貝里曲率[112–117],對(duì)于轉(zhuǎn)角過(guò)渡金屬硫族化合物,不同研究組都對(duì)其貝里曲率進(jìn)行過(guò)計(jì)算(圖2(c),(d)[30]),并對(duì)貝里曲率對(duì)材料性質(zhì)的影響進(jìn)行過(guò)預(yù)測(cè).Wu 等[118]計(jì)算了轉(zhuǎn)角MoTe2中的貝里曲率,通過(guò)對(duì)莫爾布里淵區(qū)內(nèi)的貝里曲率進(jìn)行積分,發(fā)現(xiàn)莫爾超晶格的能帶具有非平庸的拓?fù)湫再|(zhì).當(dāng)費(fèi)米面處于第一和第二莫爾價(jià)帶之間的能隙時(shí),系統(tǒng)是一個(gè)量子自旋霍爾絕緣體.Yu 等[119]對(duì)實(shí)空間中轉(zhuǎn)角MoSe2貝里相位的分布進(jìn)行了計(jì)算,同樣認(rèn)為系統(tǒng)可以實(shí)現(xiàn)量子自旋霍爾效應(yīng).Devakul 等[120]計(jì)算了轉(zhuǎn)角WSe2的能帶及貝里曲率,認(rèn)為莫爾超晶格中的平帶和均勻分布的貝里曲率相結(jié)合,有望在分?jǐn)?shù)填充時(shí)實(shí)現(xiàn)分?jǐn)?shù)量子反?；魻栃?yīng).實(shí)驗(yàn)結(jié)果與理論預(yù)測(cè)一致,Li 等[121]制作了接近60°轉(zhuǎn)角的MoTe2/WSe2,在體系價(jià)帶半填滿時(shí)觀測(cè)到了量子反?；魻栃?yīng),在價(jià)帶完全填滿時(shí)觀測(cè)到了量子自旋霍爾效應(yīng).Cai等[122]和Zeng 等[123]在轉(zhuǎn)角MoTe2體系中,通過(guò)光學(xué)手段測(cè)到了2/3 和3/5 分?jǐn)?shù)填充處的分?jǐn)?shù)量子反常霍爾效應(yīng).這一系列研究都說(shuō)明轉(zhuǎn)角過(guò)渡金屬硫族化合物具有非零貝里曲率,可以作為研究非線性霍爾效應(yīng)的平臺(tái).

3.3 強(qiáng)關(guān)聯(lián)效應(yīng)

電子在晶體內(nèi)的運(yùn)動(dòng)會(huì)受到晶格周期勢(shì)的影響,從而形成電子能帶結(jié)構(gòu).莫爾超晶格會(huì)產(chǎn)生空間尺度幾十甚至上百倍于原子晶格常數(shù)的周期性勢(shì)場(chǎng),反映在倒空間內(nèi),就是布里淵區(qū)縮小,能帶發(fā)生折疊產(chǎn)生帶寬為幾或幾十meV 的平帶(圖2(e)).在這樣的平帶中,電子與電子之間的庫(kù)侖相互作用強(qiáng)度將超越由帶寬決定的電子動(dòng)能(圖2(f)),引發(fā)強(qiáng)關(guān)聯(lián)效應(yīng)[36].

早在2011年,Bistritzer 和MacDonald[124]就計(jì)算了不同轉(zhuǎn)角時(shí)轉(zhuǎn)角石墨烯的能帶結(jié)構(gòu).他們發(fā)現(xiàn),當(dāng)旋轉(zhuǎn)角度小于2°時(shí),兩層石墨烯之間的層間耦合會(huì)變得很強(qiáng),最低能帶的帶寬和狄拉克點(diǎn)的費(fèi)米速度會(huì)發(fā)生急劇變化,并呈現(xiàn)出非單調(diào)行為.在某些獨(dú)特的角度(θ=1.05°,0.5°,0.35°,0.24°,0.2°),即現(xiàn)在公認(rèn)的魔角(magic angle)處,狄拉克點(diǎn)費(fèi)米速度為零.同時(shí),最低導(dǎo)帶和最高價(jià)帶極為平坦,可以導(dǎo)致強(qiáng)關(guān)聯(lián)效應(yīng).然而由于技術(shù)發(fā)展的限制和樣品制備的困難,較少有課題組實(shí)現(xiàn)精確的轉(zhuǎn)角,對(duì)轉(zhuǎn)角石墨烯的探索集中在范霍夫奇點(diǎn)以及莫爾能帶全填滿處的絕緣態(tài)[125–130].直到 2018年,Cao等[36]成功制備出魔角石墨烯電子器件.他們發(fā)現(xiàn),魔角石墨烯在能帶半填充時(shí)表現(xiàn)出絕緣態(tài),并認(rèn)為這種絕緣態(tài)可能來(lái)源于電子在超晶格中局域化而產(chǎn)生的莫特相變,這在沒(méi)有強(qiáng)關(guān)聯(lián)效應(yīng)的情況下是不可能出現(xiàn)的.此外,通過(guò)調(diào)節(jié)載流子濃度使體系脫離這些關(guān)聯(lián)絕緣態(tài)時(shí),他們還觀察到了與銅氧化物高溫超導(dǎo)類(lèi)似的超導(dǎo)現(xiàn)象.超導(dǎo)轉(zhuǎn)變溫度與玻色愛(ài)因斯坦凝聚溫度的比值高達(dá)0.37,說(shuō)明觀測(cè)到的超導(dǎo)來(lái)源于電子-電子之間的強(qiáng)相互作用而不是電子-聲子耦合[34].這兩項(xiàng)發(fā)現(xiàn)證明轉(zhuǎn)角體系是研究強(qiáng)相互作用的理想材料,在短時(shí)間內(nèi)引起了科研人們的興趣.

隨后,人們?cè)诟鞣N轉(zhuǎn)角體系中觀察到了更多強(qiáng)關(guān)聯(lián)作用導(dǎo)致的有趣物理現(xiàn)象.在非魔角單層+單層轉(zhuǎn)角石墨烯,雙層+雙層轉(zhuǎn)角石墨烯,單層+雙層轉(zhuǎn)角石墨烯,單層+單層+單層轉(zhuǎn)角三層石墨烯等各種石墨烯超晶格中,探測(cè)到了諸如整數(shù)和分?jǐn)?shù)填充的關(guān)聯(lián)絕緣態(tài)[131–140]、超導(dǎo)[141–144]、奇異金屬態(tài)[145]、向列相[146–148]等現(xiàn)象.在轉(zhuǎn)角過(guò)渡金屬硫族化合物中,由于其能帶帶寬隨角度連續(xù)變化,強(qiáng)關(guān)聯(lián)效應(yīng)可以在更大角度范圍內(nèi)出現(xiàn).在轉(zhuǎn)角WSe2,WSe2/WS2,MoSe2/WS2和MoSe2/WSe2體系中探測(cè)到了諸如關(guān)聯(lián)絕緣態(tài)[37,149]、Wigner 晶格態(tài)[150]、非傳統(tǒng)鐵電[151]、莫爾激子[152–155]等物理現(xiàn)象.目前看來(lái),強(qiáng)關(guān)聯(lián)效應(yīng)在小轉(zhuǎn)角莫爾超晶格體系中普遍存在,這一效應(yīng)是否會(huì)對(duì)非線性霍爾效應(yīng)產(chǎn)生影響成為一個(gè)值得探索的問(wèn)題.

3.4 可調(diào)控的電子特性

在莫爾超晶格體系中探索非線性霍爾效應(yīng)的另一個(gè)好處是莫爾超晶格的能帶和輸運(yùn)性質(zhì)可以便捷地被組成成分、轉(zhuǎn)角、載流子濃度、電場(chǎng)等各個(gè)因素調(diào)控.通過(guò)選擇不同的二維材料和不同的堆疊方式,可以在保留單層二維材料特殊性質(zhì)的同時(shí)按需設(shè)計(jì)體系對(duì)稱性、自旋自由度和能谷自由度等參數(shù),實(shí)現(xiàn)對(duì)體系結(jié)構(gòu)和物性的控制.

通過(guò)控制兩層材料之間的轉(zhuǎn)角,可形成具有不同周期的莫爾超晶格.同質(zhì)結(jié)的超晶格周期長(zhǎng)度L與旋轉(zhuǎn)角度θ 關(guān)系為L(zhǎng)=a0/2sin (θ/2),其中a0為材料的晶格常數(shù).異質(zhì)結(jié)的超晶格周期長(zhǎng)度為,其中δ=|a2-a1|/a2為兩種材料晶格常數(shù)a1和a2的不匹配度.不同轉(zhuǎn)角對(duì)應(yīng)不同周期性勢(shì)場(chǎng)以及不同能帶寬度,1.5°以上的轉(zhuǎn)角過(guò)渡金屬硫族化合物的能帶寬度甚至隨轉(zhuǎn)角單調(diào)變化[37,120],方便人們調(diào)控.

此外,通過(guò)改變載流子濃度和電場(chǎng),可以連續(xù)調(diào)節(jié)能帶結(jié)構(gòu),實(shí)現(xiàn)能隙的開(kāi)啟和閉合以及不同輸運(yùn)能態(tài)的切換.在以魔角石墨烯為代表的轉(zhuǎn)角石墨烯體系中,通過(guò)調(diào)節(jié)載流子濃度,系統(tǒng)可以從普通絕緣態(tài)切換到奇異金屬態(tài)、關(guān)聯(lián)絕緣態(tài)甚至鐵磁態(tài)[145,156].而在轉(zhuǎn)角過(guò)渡金屬硫族化合物中,Li 等[38]、Ghiotto 等[39]和Huang 等[30]觀察到了載流子濃度和電場(chǎng)引發(fā)的金屬-絕緣體連續(xù)相變,在相變點(diǎn)附近看到了關(guān)聯(lián)絕緣態(tài)、費(fèi)米液體和奇異金屬態(tài)(圖2(g)).這種豐富的電子態(tài)不僅可以使人們探索不同電子態(tài)以及量子臨界位置的非線性霍爾效應(yīng),對(duì)非線性霍爾效應(yīng)的基本機(jī)制有新的認(rèn)識(shí),還極大拓展了二維材料的功能空間,對(duì)設(shè)計(jì)新型電子和光電器件非常重要.

4 石墨烯超晶格中非線性霍爾效應(yīng)的進(jìn)展

對(duì)石墨烯超晶格中非線性霍爾效應(yīng)的探索起源于理論預(yù)測(cè)的巨大貝里曲率偶極矩.Pantaleón等[29]用一個(gè)單軸應(yīng)力描述原子重構(gòu)產(chǎn)生的應(yīng)力場(chǎng),對(duì)有應(yīng)力的轉(zhuǎn)角石墨烯中的貝里曲率偶極矩做出計(jì)算.他們發(fā)現(xiàn),應(yīng)力可通過(guò)在兩層中產(chǎn)生相反符號(hào)的有效規(guī)范場(chǎng)(gauge field)以及改變堆疊結(jié)構(gòu)從而改變層間隧穿效應(yīng),這兩種效應(yīng)顯著扭曲能帶結(jié)構(gòu)(圖3(a)).轉(zhuǎn)角石墨烯中平帶的出現(xiàn)使得費(fèi)米速度和貝里曲率集中分布在能帶反交叉(anticrossing)的位置附近(圖3(b)),而不是像普通材料一樣彌散在整個(gè)布里淵區(qū)中,因而體系的貝里曲率偶極矩能達(dá)到十幾納米(圖3(c),(d)),比普通材料大兩個(gè)數(shù)量級(jí).Zhang 等[22]計(jì)算了不同轉(zhuǎn)角及不同應(yīng)力大小的轉(zhuǎn)角石墨烯中的貝里曲率偶極矩.他們發(fā)現(xiàn),巨大的貝里曲率偶極矩僅在轉(zhuǎn)角為魔角1.1°附近時(shí)出現(xiàn)(圖3(e)),這是由于其他轉(zhuǎn)角時(shí)體系的能帶寬度遠(yuǎn)大于應(yīng)力導(dǎo)致的規(guī)范勢(shì),應(yīng)力并不能顯著影響貝里曲率的均勻分布.此外,他們還計(jì)算了應(yīng)力-柵壓空間內(nèi)的偶極矩,發(fā)現(xiàn)應(yīng)力為±0.2% 時(shí)的導(dǎo)帶頂端和價(jià)帶底端出現(xiàn)了拓?fù)淠軒Х崔D(zhuǎn)導(dǎo)致的蝴蝶狀圖案(圖3(f)).這一特性可以用于拓?fù)湎嘧兊奶綔y(cè).

圖3 石墨烯超晶格中非線性霍爾效應(yīng)的理論研究 (a)1.05°魔角石墨烯在0.3% 應(yīng)力下的能帶結(jié)構(gòu)(紅線和黑線),無(wú)應(yīng)力時(shí)的能帶結(jié)構(gòu)為綠色虛線[29];(b)第一莫爾導(dǎo)帶的貝里曲率分布[29];(c),(d)貝里曲率偶極矩x (c)和y (d)方向的分量在莫爾布里淵區(qū)內(nèi)的分布,插圖為貝里曲率和偶極矩集中區(qū)域的放大圖[29];(e)貝里曲率偶極矩對(duì)旋轉(zhuǎn)角度和摻雜的依賴性,轉(zhuǎn)角接近第一個(gè)魔角時(shí),帶邊出現(xiàn)約200 ?的巨大貝里曲率偶極矩[22];(f)貝里曲率偶極矩對(duì)于費(fèi)米面和應(yīng)力的依賴性[22];(g)拓?fù)湎嘧冞^(guò)程中能帶邊緣附近貝里曲率分布的變化,貝里曲率偶極矩在相變過(guò)程中發(fā)生符號(hào)反轉(zhuǎn)[27]Fig.3.Theoretical studies of the nonlinear Hall effect in graphene superlattices: (a)Band structure of twisted bilayer graphene with a twist angle θ=1.05° and uniaxial strain of 0.3% (red and black lines),the band structure for the unstrained twisted bilayer graphene is shown as green dotted lines[29];(b)Berry curvature of the bottom moiré conduction band[29];(c),(d)distribution of the x (c)and y (d)component of the Berry curvature dipole,insets in each panel are the enlarged regions where the corresponding Berry curvature and dipole are concentrated[29];(e)twist angle and doping dependence of the Berry curvature dipole,a giant Berry curvature dipole of order～200 ? appears near all the band edges for a twist angle near the first magic angle[22];(f)evolution of the Berry curvature dipole with respect to both the Fermi energy EF and the strain ε[22];(g)the change of the Berry curvature distribution near the band edges during the topological phase transition,Berry curvature dipole undergoes a sign reversal across the phase transition[27].

在理論方面將非線性霍爾效應(yīng)與探測(cè)體系相變關(guān)聯(lián)起來(lái)的還有Chakraborty 等[27]、Pantaleón等[25]和Yang 等[28].Chakraborty 等[27]計(jì)算了有應(yīng)力的雙層+雙層轉(zhuǎn)角石墨烯中的非線性霍爾響應(yīng),發(fā)現(xiàn)垂直電場(chǎng)引起的拓?fù)湎嘧儼殡S著特定動(dòng)量點(diǎn)的能帶閉合,會(huì)改變?cè)搫?dòng)量點(diǎn)附近的貝里曲率的分布,從而導(dǎo)致相變時(shí)貝里曲率偶極矩的符號(hào)變化以及非線性霍爾響應(yīng)的方向變化(圖3(g)).Pantaleón 等[25]發(fā)現(xiàn)當(dāng)魔角石墨烯能帶被填充到某些位置時(shí),遠(yuǎn)程(remote)能帶對(duì)霍爾信號(hào)貢獻(xiàn)很大,而中心能帶的貢獻(xiàn)會(huì)受到抑制.在出現(xiàn)摻雜引起的能帶反轉(zhuǎn)時(shí),遠(yuǎn)程能帶引起的霍爾信號(hào)會(huì)得到顯著增強(qiáng).Yang 等[28]認(rèn)為非線性霍爾響應(yīng)可以用于區(qū)分能帶半填滿時(shí)金屬-絕緣態(tài)相變后絕緣態(tài)的性質(zhì).體系是自旋極化的谷間相干態(tài)時(shí),C2T對(duì)稱性的存在將導(dǎo)致貝里曲率偶極矩為零,無(wú)法觀察到非線性霍爾效應(yīng).僅當(dāng)體系是自旋極化的量子霍爾態(tài)時(shí),貝里曲率偶極矩才不為零.自旋-能谷極化態(tài)和自旋極化的能谷霍爾態(tài)可以靠磁場(chǎng)下的非線性霍爾效應(yīng)區(qū)分.對(duì)于自旋極化的能谷霍爾態(tài),僅當(dāng)z方向存在磁場(chǎng)時(shí),貝里曲率偶極矩才非零.而對(duì)于自旋-能谷極化態(tài),在x方向或z方向存在磁場(chǎng)時(shí),都能出現(xiàn)非零貝里曲率.

實(shí)驗(yàn)上,Sinha 等[20]在雙層+雙層轉(zhuǎn)角石墨烯材料中測(cè)到了貝里曲率偶極矩導(dǎo)致的非線性霍爾效應(yīng).在這一體系中,垂直電場(chǎng)可以通過(guò)調(diào)制能帶結(jié)構(gòu)來(lái)改變平帶的陳數(shù),引發(fā)拓?fù)湎嘧?他們發(fā)現(xiàn),相變前后體系中的非線性霍爾信號(hào)發(fā)生劇烈變化(圖4(a)),從實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)中得出的貝里曲率偶極矩出現(xiàn)變號(hào)現(xiàn)象(圖4(b)).他們對(duì)體系的能帶計(jì)算進(jìn)一步說(shuō)明貝里曲率偶極矩的變號(hào)的確來(lái)源于垂直電場(chǎng)引發(fā)的拓?fù)湎嘧?這項(xiàng)工作不僅證明了石墨烯超晶格中貝里曲率偶極矩的存在,還展示了非線性霍爾效應(yīng)在探測(cè)拓?fù)湎嘧兎矫娴目赡苄?

圖4 石墨烯超晶格中非線性霍爾效應(yīng)的實(shí)驗(yàn)研究 (a)非線性霍爾電壓(左軸)和縱向電導(dǎo)率的平方(右軸)對(duì)轉(zhuǎn)角雙層+雙層石墨烯中垂直電場(chǎng)的依賴性,能帶的谷陳數(shù)在兩個(gè)區(qū)域中發(fā)生變化(區(qū)域 I 具有淺綠色背景,區(qū)域 II 具有淺藍(lán)色背景)[20];(b)貝里曲率偶極矩在兩各區(qū)域內(nèi)符號(hào)相反[20];(c)石墨烯/氮化硼超晶格中的非線性電導(dǎo)率與遷移率的立方成線性關(guān)系,表明觀測(cè)到的非線性霍爾效應(yīng)由無(wú)序引起[24];(d)雜質(zhì)、聲子和混合偏斜散射對(duì)非線性霍爾信號(hào)的貢獻(xiàn)對(duì)溫度依賴性[23];(e)非線性霍爾效應(yīng)的相圖,虛線表示貝里曲率偶極矩和散射對(duì)非線性霍爾信號(hào)的貢獻(xiàn)相等的位置,紅色(藍(lán)色)區(qū)域代表偶極矩(散射)主導(dǎo)的區(qū)域[26];(f)轉(zhuǎn)角單層+單層石墨烯中的二次諧波霍爾電壓符號(hào)隨摻雜和垂直電場(chǎng)改變[26]Fig.4.Experimental observations of the nonlinear Hall effect in graphene superlattices: (a)Dependence of normalized nonlinear Hall voltage (left axis)and square of longitudinal conductivity (right axis)on displacement field in twisted double bilayer graphene,the valley Chern numbers of the bands change across the two regimes (regime I with the light-green background and regime II with the light-blue background)[20];(b)extracted Berry curvature dipole shows opposite sign for the two regimes[20];(c)the nonlinear conductivity scales linearly with the cube of mobility in graphene/BN superlattices,indicating disorder-induced nonlinear Hall effect[24];(d)temperature dependence of the distribution of the contributions to the nonlinear Hall signal from impurity,mixed,and phonon skew scatterings[23];(e)phase diagram of the nonlinear Hall effect,the dashed line represents the position where the Berry curvature dipole and the scattering contribute equally to the nonlinear Hall signal,the red (blue)area represents the dipole (scattering)dominated area[26];(f)the second harmonic Hall voltage in twisted bilayer graphene change signs when tuning the filling and displacement field[26].

有趣的是,在單層石墨烯與BN 形成的超晶格[24]以及單層+單層轉(zhuǎn)角石墨烯[23]中,實(shí)驗(yàn)顯示觀測(cè)到的非線性信號(hào)由無(wú)序?qū)е?He 等[24]認(rèn)為,單層石墨烯與BN 形成的超晶格體系中存在的三重旋轉(zhuǎn)對(duì)稱性會(huì)導(dǎo)致貝里曲率偶極矩為零,而體系的空間反演對(duì)稱性破缺會(huì)使得石墨烯K和K′ 能谷具有相反的手性,導(dǎo)致斜散射的發(fā)生,從而產(chǎn)生非線性信號(hào).實(shí)驗(yàn)中,他們?cè)诹愦艌?chǎng)下在縱向(xx)和橫向(xy)方向上同時(shí)觀察到顯著的正比于輸入電流二次方的二倍頻信號(hào).不同溫度下的非線性霍爾信號(hào)顯示二倍頻電導(dǎo)與系統(tǒng)遷移率的三次方成正比(圖4(c)),換算后即為以上兩個(gè)證據(jù)證明觀察到的非線性霍爾信號(hào)由斜散射造成.

在轉(zhuǎn)角石墨烯體系中,Duan 等[23]觀察到了無(wú)序?qū)е碌姆蔷€性信號(hào)并對(duì)其進(jìn)行仔細(xì)研究.他們發(fā)現(xiàn),零溫下的非線性信號(hào)完全由雜質(zhì)斜散射決定.隨著溫度升高,聲子斜散射貢獻(xiàn)增加,但雜質(zhì)斜散射貢獻(xiàn)減少,在較高溫度下兩種機(jī)制會(huì)互相競(jìng)爭(zhēng)(圖4(d)).雖然這兩項(xiàng)工作默認(rèn)三重旋轉(zhuǎn)對(duì)稱性沒(méi)有被打破,各種實(shí)驗(yàn)表明器件制備過(guò)程中引入的應(yīng)變而引起的三重旋轉(zhuǎn)對(duì)稱性破缺會(huì)導(dǎo)致非零的貝里曲率偶極矩.盡管Duan 等[23]認(rèn)為,即便應(yīng)力存在,應(yīng)力產(chǎn)生的貝里曲率偶極矩產(chǎn)生的非線性信號(hào)應(yīng)該比觀察到的無(wú)序?qū)е碌姆蔷€性信號(hào)小3 個(gè)數(shù)量級(jí),Pantaleón 等[25]認(rèn)為Hartree 勢(shì)和BN 襯底的存在而導(dǎo)致的能帶結(jié)構(gòu)重整化可以增大貝里曲率偶極矩,在無(wú)需考慮無(wú)序的情況下解釋Duan 等[23]觀察到的大信號(hào).石墨烯超晶格體系中的非線性霍爾效應(yīng)究竟是由貝里曲率偶極矩主導(dǎo)還是由無(wú)序主導(dǎo),成為了一個(gè)需要解決的問(wèn)題.

Zhong 等[21]通過(guò)調(diào)節(jié)AB-BA 堆疊雙層+雙層轉(zhuǎn)角石墨烯中的載流子濃度和垂直電場(chǎng),發(fā)現(xiàn)了由無(wú)序主導(dǎo)向貝里曲率偶極矩主導(dǎo)的非線性霍爾效應(yīng)的轉(zhuǎn)變.具體來(lái)說(shuō),當(dāng)系統(tǒng)電導(dǎo)較大時(shí),貝里曲率偶極矩占主導(dǎo);當(dāng)系統(tǒng)電導(dǎo)變小時(shí),斜散射逐漸加強(qiáng)并超越偶極矩的貢獻(xiàn).

而在最新一項(xiàng)工作中,Huang 等[26]在高遷移率單層+單層轉(zhuǎn)角石墨烯樣品中探測(cè)到了非線性霍爾信號(hào).消失的縱向非線性信號(hào)以及非線性霍爾信號(hào)對(duì)載流子濃度、垂直電場(chǎng)、溫度的響應(yīng)證明信號(hào)來(lái)自貝里曲率偶極矩而不是無(wú)序.他們對(duì)石墨烯超晶格中兩種產(chǎn)生非線性霍爾效應(yīng)的機(jī)制的研究進(jìn)一步表明: 貝里曲率偶極矩在應(yīng)力大且雜質(zhì)濃度低的樣品中占主導(dǎo);反之,無(wú)序在應(yīng)力小且雜質(zhì)濃度高的樣品中主導(dǎo)(圖4(e)).此外,雖然過(guò)往的實(shí)驗(yàn)結(jié)論認(rèn)為垂直方向的電場(chǎng)對(duì)這個(gè)體系非線性霍爾效應(yīng)的調(diào)制能力是有限的,并不會(huì)導(dǎo)致莫爾能帶產(chǎn)生或關(guān)閉能隙[124,130].Huang 等[26]發(fā)現(xiàn)垂直方向電場(chǎng)能夠在不改變能帶拓?fù)湫再|(zhì)的同時(shí)(沒(méi)有發(fā)生拓?fù)湎嘧?,通過(guò)改變貝里曲率熱點(diǎn)在能帶上的位置有效地調(diào)控貝里曲率偶極矩,甚至改變偶極矩的方向(圖4(f)).這項(xiàng)工作不僅使得人們可以利用非線性霍爾效應(yīng)來(lái)探測(cè)能帶內(nèi)貝里曲率在動(dòng)量空間的分布,而且對(duì)于實(shí)現(xiàn)更穩(wěn)定的拓?fù)漭斶\(yùn),關(guān)聯(lián)絕緣態(tài)和超流體具有重要的意義.

5 過(guò)渡金屬硫族化合物超晶格中非線性霍爾效應(yīng)的進(jìn)展

作為目前除石墨烯超晶格體系外另一類(lèi)具有穩(wěn)定強(qiáng)關(guān)聯(lián)效應(yīng)和非平庸拓?fù)湫再|(zhì)的體系,過(guò)渡金屬硫族化合物超晶格中的非線性霍爾效應(yīng)也引起人們的關(guān)注.Huang 等[30]首先在單層+單層轉(zhuǎn)角二硒化鎢體系中觀察到貝里曲率偶極矩導(dǎo)致的非線性霍爾效應(yīng).他們發(fā)現(xiàn),在轉(zhuǎn)角WSe2的第一個(gè)莫爾價(jià)帶被半填滿時(shí),系統(tǒng)的非線性霍爾電壓信號(hào)相比于遠(yuǎn)離半填滿狀態(tài)時(shí)出現(xiàn)了2—3 個(gè)數(shù)量級(jí)的增強(qiáng)(圖5(a)).相應(yīng)的非線性霍爾信號(hào)產(chǎn)生效率為1000 V–1,比之前報(bào)道的非轉(zhuǎn)角材料的最大值(6.25 V–1)至少高兩個(gè)數(shù)量級(jí).盡管遠(yuǎn)離半填充的非線性霍爾信號(hào)可以用非零應(yīng)力導(dǎo)致的非零貝里曲率偶極矩來(lái)解釋,半填充附近非線性霍爾信號(hào)的巨大增強(qiáng)無(wú)法用有限的貝里曲率來(lái)理解(圖5(b)).為此,他們研究了體系半填充附近體系電阻隨溫度的變化,在半填充附近觀測(cè)到連續(xù)莫特轉(zhuǎn)變以及與重費(fèi)米子材料類(lèi)似的質(zhì)量發(fā)散特性,發(fā)現(xiàn)這一特性可以用于解釋觀測(cè)到的巨大非線性信號(hào)(圖5(c)).這項(xiàng)研究不僅展示了電子-電子相互作用如何與貝里曲率偶極矩結(jié)合產(chǎn)生新的量子現(xiàn)象,而且首次展現(xiàn)了非線性霍爾效應(yīng)作為一種新工具研究量子臨界(凝聚態(tài)物理學(xué)中最具挑戰(zhàn)性和有趣的問(wèn)題之一)的潛力.

圖5 過(guò)渡金屬硫族化合物超晶格中非線性霍爾效應(yīng)的研究 (a)轉(zhuǎn)角WSe2 中在半填充附近觀察到巨大的非線性霍爾信號(hào)[30];(b)非相互作用框架中理論計(jì)算的偶極矩(下圖)可用于理解遠(yuǎn)離半填充位置(上圖)的實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)[30];(c)半填充時(shí)觀察到的巨大信號(hào)(黑點(diǎn))可用有效質(zhì)量發(fā)散模型(紅線)解釋[30];(d)Dx (x 分量貝里曲率偶極矩)對(duì)Vz (垂直電場(chǎng))和nh (空穴填充數(shù))依賴性,Dx 在相變點(diǎn)附近顯著增大[31];(e)轉(zhuǎn)角雙層WTe2 的能帶結(jié)構(gòu)(θ=29.4°)[32];(f)轉(zhuǎn)角雙層WTe2 (θ=29.4°)和普通雙層WTe2 的貝里曲率偶極矩隨溫度的變化[32];(g)非線性霍爾信號(hào)在莫爾勢(shì)存在(P <0)和不存在時(shí)(P >0)隨填充因子的變化.僅當(dāng) P ＜ 0 時(shí),才能在關(guān)聯(lián)絕緣狀態(tài)下觀察到非線性霍爾信號(hào)[33]Fig.5.Studies of the nonlinear Hall effect in transition metal dichalcogenides superlattices: (a)Second harmonic Hall voltage versus filling in twisted WSe2,a sharp peak is observed near the half-filling[30];(b)theoretical calculated dipole in non-interacting picture(bottom panel)can be used to understand the experimental data away from half-filling (top panel)[30];(c)theoretical fitting using the effective mass divergence formula (red line)can be used to understand the observed giant signal at half filling (black dots)[30];(d)Vz (out of plane displacement field)and nh (number of holes per unit cell)dependence of Dx (x component Berry dipole),Dx is strongly enhanced near the phase transition point[31];(e)the band structure of twisted bilayer WTe2 (θ=29.4°)[32];(f)the temperature dependence of Berry curvature dipole for twisted bilayer WTe2 (θ=29.4°)and prefect bilayer WTe2[32];(g)filling-factor-dependent nonlinear Hall signal for with (P <0)and without (P >0)moiré potential,respectively.Nonlinear anomalous Hall resets are observed at the correlated insulating states only for P <0[33].

Hu 等[31]對(duì)這一體系的理論計(jì)算進(jìn)一步顯示,垂直電場(chǎng)的改變可以導(dǎo)致第一莫爾價(jià)帶和第二莫爾價(jià)帶相互接觸并交換貝里曲率從而產(chǎn)生拓?fù)湎嘧?相變點(diǎn)附近貝里曲率偶極矩會(huì)顯著增強(qiáng).更重要的是,他們發(fā)現(xiàn)非線性霍爾信號(hào)會(huì)在拓?fù)湎嘧兦昂蟾淖兎?hào)(圖5(d)),這一發(fā)現(xiàn)提供了一種探測(cè)拓?fù)湎嘧兒推綆負(fù)涮匦缘男路椒?

相比于石墨烯超晶格,過(guò)渡金屬硫族化合物超晶格的復(fù)雜性在于過(guò)渡金屬硫族化合物本身可以具有六方晶系以外的晶體結(jié)構(gòu).比如,屬于正交晶系的Td相WTe2比六方晶系的2H相WTe2能量更低.He 和Weng[32]提出,轉(zhuǎn)角WTe2體系的能帶結(jié)構(gòu)十分復(fù)雜,當(dāng)費(fèi)米能級(jí)從電荷中性點(diǎn)偏移時(shí),費(fèi)米能級(jí)在狹窄的能量區(qū)域內(nèi)經(jīng)歷多個(gè)能帶反交叉(圖5(e)),導(dǎo)致電荷中性點(diǎn)周?chē)呢惱锴逝紭O矩發(fā)生劇烈的符號(hào)變化.多次的能帶交叉會(huì)使得能帶邊緣具有較大的貝里曲率梯度,從而導(dǎo)致巨大的貝里曲率偶極矩和強(qiáng)烈的非線性霍爾響應(yīng).以29.4°轉(zhuǎn)角WTe2為例,He 和Weng[32]的計(jì)算表明體系的貝里曲率偶極矩在低溫下(＜20 K)有顯著提升,甚至能達(dá)到140 nm (圖5(f)).

盡管轉(zhuǎn)角WTe2體系中的非線性霍爾效應(yīng)還沒(méi)有在實(shí)驗(yàn)上被觀測(cè)到,Kang 等[33]制備了雙層Td-WTe2與單層1H-WSe2的莫爾超晶格,探測(cè)了這一面心長(zhǎng)方點(diǎn)陣中的非線性霍爾效應(yīng).他們發(fā)現(xiàn),由于雙層Td-WTe2具有鐵電特性,這一體系中的莫爾勢(shì)場(chǎng)可以通過(guò)調(diào)節(jié)電場(chǎng)方向開(kāi)啟或關(guān)閉.在莫爾勢(shì)場(chǎng)關(guān)閉的情況下,貝里曲率及其偶極矩集中在WTe2導(dǎo)帶和價(jià)帶邊緣附近,非線性霍爾信號(hào)在電荷中性點(diǎn)附近很強(qiáng);在莫爾勢(shì)場(chǎng)開(kāi)啟并產(chǎn)生平帶時(shí),貝里曲率布里淵區(qū)內(nèi)重新分布,相反符號(hào)的貝里曲率偶極矩集中在Hubbard 帶邊,從而導(dǎo)致在關(guān)聯(lián)絕緣態(tài)處觀察到非線性霍爾電壓的劇烈變化(圖5(g)).這一工作說(shuō)明材料鐵電特性對(duì)非線性霍爾效應(yīng)的調(diào)控不僅可以發(fā)生在非莫爾超晶格材料中[86],對(duì)莫爾超晶格材料同樣適用,展示了通過(guò)結(jié)合不同對(duì)稱性材料來(lái)創(chuàng)造新的功能性莫爾超晶格的潛力.

6 總結(jié)與展望

由于非線性霍爾效應(yīng)在整流以及倍頻器件中巨大的應(yīng)用潛力,該效應(yīng)自提出以來(lái)一直受到人們的廣泛關(guān)注.二維莫爾超晶格由于具有可觀的貝里曲率、對(duì)稱性破缺、強(qiáng)關(guān)聯(lián)效應(yīng)和可調(diào)控的能帶結(jié)構(gòu)這四點(diǎn)特性,可以為非線性霍爾效應(yīng)的研究引入更多可能性.本文總結(jié)了以石墨烯超晶格和過(guò)渡金屬硫族化合物超晶格為代表的二維莫爾超晶格中近年有關(guān)非線性霍爾效應(yīng)的研究進(jìn)展(不同系統(tǒng)中非線性霍爾效應(yīng)的強(qiáng)度和主導(dǎo)機(jī)制已在表2 中列出),發(fā)現(xiàn)這兩個(gè)系統(tǒng)各具特點(diǎn),從基礎(chǔ)研究的角度展現(xiàn)出了對(duì)非線性霍爾效應(yīng)大小和方向的調(diào)控,以及利用非線性霍爾效應(yīng)探測(cè)拓?fù)湎嘧?、貝里曲率?dòng)量空間分布和量子臨界的潛力.根據(jù)本文內(nèi)容,對(duì)二維莫爾超晶格中非線性霍爾效應(yīng)的研究方向和潛在應(yīng)用做出以下展望.

表2 不同材料系統(tǒng)中非線性霍爾效應(yīng)實(shí)驗(yàn)總結(jié).最大V 2w 為實(shí)驗(yàn)中測(cè)得的最大二倍頻輸出,V w,I w 為此時(shí)輸入電壓、電流,非線性霍爾效應(yīng)強(qiáng)度可由 V 2w/(V w)2 或 V 2w/(Iw)2 反映Table 2.Nonlinear Hall effect observed in different systems.V 2w is the observed highest second harmonic signal,V w and I w are the input voltage and current at this time,respectively.The strength of the nonlinear Hall effect can be determined by V 2w/(V w)2 or V 2w/(Iw)2 .

6.1 尋找具有更大貝里曲率偶極矩的材料

目前實(shí)驗(yàn)觀測(cè)到非線性霍爾效應(yīng)的二維超晶格體系還局限于石墨烯和二硒化鎢的超晶格系統(tǒng).石墨烯和二硒化鎢的能帶本身都不具備傾斜的狄拉克錐結(jié)構(gòu),實(shí)現(xiàn)非零貝里曲率偶極矩是通過(guò)制備器件過(guò)程中引入的微小應(yīng)力.作為基礎(chǔ)研究的平臺(tái),微小的應(yīng)力已經(jīng)足以打破體系的三次對(duì)稱性,產(chǎn)生可觀測(cè)的非線性霍爾效應(yīng).而從未來(lái)應(yīng)用的角度,器件還需要引入更大的應(yīng)力以實(shí)現(xiàn)更大的貝里曲率偶極矩.一種可行的方法是利用化學(xué)氣相沉積制備具有大應(yīng)力結(jié)構(gòu)的莫爾超晶格陣列(圖6(a))[157].另一種有效的方法是采用第二類(lèi)外爾半金屬或者第二類(lèi)狄拉克半金屬這兩類(lèi)本身具有貝里曲率偶極矩的材料.比如,理論計(jì)算單層+單層轉(zhuǎn)角WTe2的貝里曲率偶極矩可達(dá)到140 nm,遠(yuǎn)大于雙層WTe2中的6 nm[32].更多轉(zhuǎn)角第二類(lèi)半金屬材料的莫爾超晶格結(jié)構(gòu)是否在費(fèi)米面附近具有可觀的貝里曲率偶極矩,還需要未來(lái)更多理論計(jì)算的研究[160].

圖6 非線性霍爾效應(yīng)的潛在研究和應(yīng)用 (a)利用化學(xué)氣相沉積制備具有大應(yīng)力結(jié)構(gòu)的莫爾超晶格陣列[157];(b)利用非線性霍爾效應(yīng)探測(cè)莫爾超晶格的相變[158];(c)利用二維超晶格器件進(jìn)行高靈敏度應(yīng)力探測(cè)[159];(d)基于二維莫爾超晶格中非線性霍爾效應(yīng)的太赫茲探測(cè)[19]Fig.6.Potential research area and application of the nonlinear Hall effect: (a)Fabrication of moiré superlattice arrays with large stress structures by chemical vapor deposition[157];(b)probing the phase transiton of moiré superlattice using nonlinear Hall effect[158];(c)high-sensitivity strain detection using two-dimensional superlattice devices[159];(d)terahertz detection based on nonlinear Hall effect in moiré superlattice[19].

6.2 研究產(chǎn)生非線性霍爾效應(yīng)的其他可能機(jī)制

目前為止,大部分研究者認(rèn)為貝里曲率偶極矩和無(wú)序是兩種可以產(chǎn)生非線性霍爾效應(yīng)的機(jī)制.但在實(shí)驗(yàn)中出現(xiàn)了觀測(cè)到的二倍頻霍爾信號(hào)遠(yuǎn)大于理論計(jì)算的情況[20],盡管作者用實(shí)驗(yàn)中應(yīng)力的復(fù)雜性解釋這一現(xiàn)象,我們不排除還有其他產(chǎn)生非線性霍爾效應(yīng)機(jī)制的可能性.比如,目前大部分人在計(jì)算時(shí)僅考慮能帶內(nèi)的躍遷(intraband transition)對(duì)非線性霍爾效應(yīng)的貢獻(xiàn),而Kaplan 等[161]的計(jì)算表明在多個(gè)能帶同時(shí)存在的情況下,帶間躍遷(interband process)可能會(huì)貢獻(xiàn)額外的非線性霍爾效應(yīng)信號(hào).是否還有其他被忽略的貢獻(xiàn),以及是否還有獨(dú)立于貝里曲率偶極矩和無(wú)序的新機(jī)制,是未來(lái)值得探索的問(wèn)題.

6.3 利用非線性霍爾效應(yīng)探測(cè)莫爾超晶格的相變

金屬(摻雜)狄拉克系統(tǒng)中相互作用驅(qū)動(dòng)的對(duì)稱性破缺可以表現(xiàn)為埋在費(fèi)米能級(jí)以下節(jié)點(diǎn)(nodal point)處的自發(fā)能隙生成.在這個(gè)轉(zhuǎn)變過(guò)程中,線性電導(dǎo)率大小及變化是有限的,這使得在線性傳輸中直接觀測(cè)變得相對(duì)困難.2020年,Rostami 和Juri?i?[158]提出了利用非線性霍爾效應(yīng)作為反演對(duì)稱性破缺時(shí)這種轉(zhuǎn)變的直接探測(cè)方法(圖6(b)),因?yàn)榉蔷€性霍爾電導(dǎo)率只有在反演對(duì)稱打破時(shí)才是非零的.目前的實(shí)驗(yàn)也表明在體系相變點(diǎn)附近,非線性霍爾信號(hào)會(huì)發(fā)生劇烈的變化[20,30,86].我們相信,非線性霍爾效應(yīng)可以作為新的探測(cè)手段,在探測(cè)體系相變方面發(fā)揮重要作用.

6.4 利用非線性霍爾效應(yīng)研究二維莫爾磁性材料的磁結(jié)構(gòu)

磁性材料中尼爾矢量(Néel vector)作為新型自旋電子器件的狀態(tài)變量,其精確測(cè)量是一個(gè)具有挑戰(zhàn)性的問(wèn)題.理論研究發(fā)現(xiàn)非線性霍爾效應(yīng)對(duì)尼爾矢量方向有靈敏的響應(yīng),可以用來(lái)探測(cè)PT 不變(PT-invatiant)反鐵磁材料的磁序[162–165].利用二維超晶格結(jié)構(gòu)調(diào)控范德瓦耳斯磁性材料的磁性行為是目前新興的研究方向[166].我們相信未來(lái)非線性霍爾效應(yīng)作為一個(gè)有效的探測(cè)手段,會(huì)在二維莫爾磁性材料的磁結(jié)構(gòu)探測(cè)方面發(fā)揮出更大的作用.

6.5 基于二維莫爾超晶格的太赫茲探測(cè)和應(yīng)力探測(cè)

高頻整流廣泛應(yīng)用于紅外、遠(yuǎn)紅外和亞毫米波段的探測(cè)器和傳感器技術(shù).然而,電子二極管和光子二極管的工作頻率之間存在所謂的太赫茲間隙(terahertz gap,0.1—10 THz)[167].該頻率范圍內(nèi)的整流技術(shù)仍在開(kāi)發(fā)中.通過(guò)在二維超晶格材料中調(diào)控貝里曲率偶極矩,有望實(shí)現(xiàn)室溫下具有巨大響應(yīng)和超高靈敏度的太赫茲探測(cè)(圖6(d))[17].除此之外,二維超晶格材料器件在高靈敏度應(yīng)力探測(cè)領(lǐng)域也有令人期待的潛力(圖6(c))[159,168].