多思妙解：一道高三一模聯(lián)調(diào)解析幾何題的探究

曹均

摘要：依托于問題的不同數(shù)學(xué)思維的展開與應(yīng)用，是全面提升與開拓?cái)?shù)學(xué)邏輯思維與能力的關(guān)鍵所在.基于一道高考解析幾何模擬題中相關(guān)三角形面積的求解，借助平面解析幾何與平面幾何等不同數(shù)學(xué)思維視角進(jìn)行“一題多解”，開拓解題思路，發(fā)散數(shù)學(xué)思維，有助于指導(dǎo)教師的教學(xué)與解題研究.

關(guān)鍵詞：直線；拋物線；垂直；面積；射影定理

圓錐曲線中的最值或定值問題，一直是高考數(shù)學(xué)考查此模塊知識(shí)比較常見的基本題型之一.此類問題往往以直線與圓錐曲線的位置關(guān)系為問題場景，結(jié)合圓錐曲線中的元素（離心率、漸近線斜率等）、點(diǎn)的坐標(biāo)、參數(shù)值或相應(yīng)的代數(shù)式，以及相關(guān)的距離、角度、面積等綜合應(yīng)用，有“動(dòng)”有“靜”，有“數(shù)”有“形”，變化多端，創(chuàng)新新穎，趣味性高，可以很好體現(xiàn)高考命題的基礎(chǔ)性、綜合性與應(yīng)用性等.

1 問題呈現(xiàn)

問題〔2023屆江蘇省蘇北四市（徐州、連云港、宿遷、淮安）高三上學(xué)期第一次聯(lián)合調(diào)研測試（一模）（1月）數(shù)學(xué)試卷·15〕已知拋物線y2=2x與過點(diǎn)T（6，0）的直線相交于A，B兩點(diǎn)，且OB⊥AB（O為坐標(biāo)原點(diǎn)），則△OAB的面積為.

此題以直線與拋物線的位置關(guān)系為情境，通過過定點(diǎn)的直線以及兩直線的垂直關(guān)系來合理構(gòu)建相應(yīng)的幾何場景，進(jìn)而確定對(duì)應(yīng)三角形的面積問題，題目簡捷明了，條件簡潔易懂，難度中等.

在實(shí)際解決問題時(shí)，關(guān)鍵是剖析問題的內(nèi)涵與實(shí)質(zhì)，通過平面解析幾何問題的基本屬性，可以借助解析幾何思維來合理數(shù)學(xué)運(yùn)算與邏輯推理，是處理問題的“通技通法”；也可以借助平面幾何思維來合理直觀想象與數(shù)形結(jié)合等，是處理問題的“巧技妙法”.無論從哪種基本思維切入，都可以很好地挖掘問題的本質(zhì)，進(jìn)而得以分析與求解問題.

2 問題破解

2.1 思維視角——解析幾何思維

抓住問題本質(zhì)，從平面解析幾何的內(nèi)涵入手，通過直線AB的方程、點(diǎn)B的坐標(biāo)的設(shè)置以及點(diǎn)的軌跡應(yīng)用等來切入，結(jié)合兩直線的垂直關(guān)系加以分析，利用直線與拋物線方程的聯(lián)立，通過合理的數(shù)學(xué)運(yùn)算來轉(zhuǎn)化與應(yīng)用.

方法1：設(shè)線法+向量法.

解析：設(shè)直線AB的方程為x=my+6，A（x1，y1），B（x2，y2），x1>0，x2>0，如圖1所示.

聯(lián)立x=my+6，y2=2x，消去x并整理，得y2－2my－12=0，則有y1+y2=2m，y1y2=－12，

可得x1x2=y212·y222=36.

由于OB⊥AB，則有OB·AB=（x2，y2）·（x2－x1，y2－y1）=x2（x2－x1）+y2（y2－y1）=x22+y22－24=x22+2x2－24=0.

解得x2=4或x2=－6（舍去），則有y22=2x2=8，不失一般性，取y2=－22.

所以x1=9，y1=32，得|OB|=16+8=26，|AB|=25+50=53.

所以△OAB的面積S=12|OB||AB|=152.

故填答案：152.

方法2：設(shè)點(diǎn)法+向量法.

解析：不失一般性，設(shè)點(diǎn)B在第四象限，其坐標(biāo)為Bm22，m，m<0，則TB=m22-6，m.

由于OB⊥AB，因此可得OB·TB=m22，m·m22－6，m=m22m22－6+m2=14m4－2m2=0，

即m2=8，解得m=－22.

所以直線AB的斜率為kTB=mm22－6=2，于是直線AB的方程為y=2（x－6），即y=2x－62.

聯(lián)立y=2x－62，y2=2x，消去x并整理，可得y2－2y－12=0，解得yA=32.

所以△OAB的面積S=12|OT||yA－m|=12×6×52=152.故填答案：152.

方法3：設(shè)點(diǎn)法+斜率法.

解析：不失一般性，設(shè)點(diǎn)B在第四象限，其坐標(biāo)為Bm22，m，m<0.

由OB⊥AB，可得kOBkTB=mm22·mm22－6=－1，即m2=8，解得m=－22.

下同方法2的部分解析.

方法4：軌跡法.

解析：由于OB⊥AB，直線AB過點(diǎn)T（6，0），則知點(diǎn)B的軌跡方程為（x－3）2+y2=9，

與拋物線y2=2x聯(lián)立，消去x并整理，可得x2－4x=0，解得x=4或x=0（舍去）.

不失一般性，取點(diǎn)B的坐標(biāo)為（4，－22），則直線AB的斜率為kTB=－224－6=2，所以直線AB的方程為y=2（x－6），即y=2x－62.

下同方法2的部分解析.

解后反思：根據(jù)平面解析幾何思維，或利用設(shè)線法切入，或利用設(shè)點(diǎn)法切入，或利用點(diǎn)的軌跡法等切入，這些都是解決平面解析幾何問題中的“通技通法”.解決此類問題的關(guān)鍵是通過對(duì)應(yīng)直線方程的構(gòu)建，然后與圓錐曲線方程聯(lián)立，借助函數(shù)與方程思維的轉(zhuǎn)化，從“數(shù)”的視角來邏輯推理與數(shù)學(xué)運(yùn)算，實(shí)現(xiàn)問題的巧妙解決與應(yīng)用，達(dá)到解題的目的.

2.2 思維視角——平面幾何思維

抓住問題內(nèi)涵，從平面幾何的直觀入手，結(jié)合直角三角形中的場景，通過射影定理以及點(diǎn)的特征來確定對(duì)應(yīng)的線段長度，并結(jié)合兩直角三角形的相似來構(gòu)建關(guān)系式，得以確定其他線段的長度，通過合理的直觀想象來轉(zhuǎn)化與應(yīng)用.

方法5：射影定理法.

解析：過A，B兩點(diǎn)分別作x軸的垂線，垂足分別為C，D，如圖2所示.

由于OB⊥AB，在Rt△OBT中，由射影定理可得|BD|2=|OD||DT|.

由點(diǎn)A，B在拋物線y2=2x上，可知|AC|2=2|OC|，|BD|2=2|OD|.

所以|BD|2=|OD||DT|=2|OD|，解得|DT|=2，則|OD|=4，|BD|=22.

由Rt△BDT∽R(shí)t△ACT，可得|DT||BD|=|CT||AC|，即222=12|AC|2－6|AC|，亦即|AC|2－2|AC|－12=0，解得|AC|=32.

所以△OAB的面積S=12|OT|（|BD|+|AC|）=12×6×52=152.故填答案：152.

解后反思：根據(jù)平面幾何思維，回歸平面解析幾何的本質(zhì)，利用平面圖形的結(jié)構(gòu)與性質(zhì)加以直觀分析與處理，是解決平面解析幾何問題中的“巧技妙法”.解決此類問題的關(guān)鍵是通過平面幾何圖形的構(gòu)建，挖掘圓錐曲線方程相關(guān)問題的內(nèi)涵，通過數(shù)形結(jié)合思維的直觀與轉(zhuǎn)化，從“形”的視角來邏輯推理與直觀想象，進(jìn)而實(shí)現(xiàn)問題的“數(shù)”與“形”的轉(zhuǎn)化與巧妙應(yīng)用.

3 變式拓展

回歸問題本質(zhì)，改變問題的求解方式，將“△OAB的面積”的求解轉(zhuǎn)化為“弦AB的長度”的求解，得到相應(yīng)的變式與拓展.

變式已知拋物線y2=2x與過點(diǎn)T（6，0）的直線相交于A，B兩點(diǎn)，且OB⊥AB（O為坐標(biāo)原點(diǎn)），則弦AB的長度為.

答案：53.（具體解析過程可以參照原問題的方法1以及其他相關(guān)方法，這里不多加敘述.）

4 教學(xué)啟示

4.1 比較解題方法，提升數(shù)學(xué)能力

原問題的解法中，平面解析幾何思維是“通技通法”，需要學(xué)生牢固掌握，并結(jié)合具體場景來合理選擇切入視角；在此基礎(chǔ)上，回歸平面解析幾何的本質(zhì)與內(nèi)涵，平面幾何思維是“巧技妙法”，有利于學(xué)生借助平面幾何圖形進(jìn)行直觀分析與代數(shù)運(yùn)算，有效調(diào)控?cái)?shù)學(xué)運(yùn)算過程并提升數(shù)學(xué)運(yùn)算與邏輯推理能力等，實(shí)現(xiàn)平面解析幾何與平面幾何等相關(guān)知識(shí)之間的融會(huì)貫通，達(dá)成知識(shí)與方法的綜合.

4.2 開展“一題多解”，實(shí)現(xiàn)“一題多得”

2019年發(fā)行的《中國高考評(píng)價(jià)體系》為今后的高考試題改革指明了方向，其中包括“高考試題要體現(xiàn)基礎(chǔ)性、綜合性、應(yīng)用性和創(chuàng)新性”等，為高考命題與高中教學(xué)提供了更加直接有效的方向.

這就要求教師在平時(shí)的教學(xué)與解題研究中，在強(qiáng)化學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識(shí)、基本方法與基本技能等方面訓(xùn)練的基礎(chǔ)上，以習(xí)題的“一題多解”探究為載體，開闊學(xué)生解題視野，使他們熟練掌握更多解題方法；同時(shí)，在此基礎(chǔ)上做到深度學(xué)習(xí)，合理“一題多變”，達(dá)到“一題多得”，總結(jié)解題規(guī)律，有效避免題海戰(zhàn)術(shù)，真正有效培養(yǎng)學(xué)生的邏輯思維能力、數(shù)學(xué)運(yùn)算能力和創(chuàng)新應(yīng)用能力等.