數(shù)學試題的創(chuàng)新情境類型與應用

廖如舟

摘要：“三新”背景下的高考數(shù)學創(chuàng)新情境類試題，是有效考查學生“四基”與創(chuàng)新精神的一個重要載體.結合常見的數(shù)學試題的創(chuàng)新情境類型，從新定義、新圖形與新公式等幾個視角切入，實例剖析，總結規(guī)律與應用，有效指導數(shù)學教學與復習備考.

關鍵詞：新教材；新課程；新高考；創(chuàng)新；情境；應用

新教材（人民教育出版社2019年國家教材委員會專家委員會審核通過）、新課程〔《普通高中數(shù)學課程標準（2017年版2020年修訂）》〕、新高考的“三新”對數(shù)學課堂教學改革的四點啟示是價值導向、綜合化、情境化與開放化.

在高考數(shù)學試題的命制中，合適的問題情境是考查數(shù)學學科核心素養(yǎng)的重要載體之一.數(shù)學問題創(chuàng)新情境包括現(xiàn)實情境、數(shù)學情境、科學情境等，每種情境又可以分為數(shù)學的情境、關聯(lián)的情境、綜合的情境等.一個情境是否合適，并不僅僅取決于情境本身，而在于所提出的問題是否能夠揭示數(shù)學的本質，以及是否能夠有效考查學生的數(shù)學能力與數(shù)學核心素養(yǎng)等.

本文中結合高考數(shù)學試題命制中常見的情境類型及其應用加以實例剖析，展示情境問題的特色與應用.

1 “新定義”情境

“新定義”情境是基于現(xiàn)實問題背景或學術問題背景，給出一些新概念，提出一些新問題等，要求學生理解并主動思考，建立新知識與已掌握知識之間的聯(lián)系，進而分析和解決問題.

例1（2023屆浙江省寧波市高考數(shù)學一模試卷）（多選題）如果定義在R上的函數(shù)f（x）滿足：對任意x>y，有f2（x）≤f（y），則稱其為“好函數(shù)”，所有“好函數(shù)”f（x）形成集合Γ.下列結論正確的有（）.

A.任意f（x）∈Γ，均有f（x）≥0

B.存在f（x）∈Γ及x0∈R，使f（x0）=2 022

C.存在實數(shù)M，對于任意f（x）∈Γ，均有f（x）≤M

D.存在f（x）∈Γ，對于任意x∈R，均有f（x）≥x

分析：從題設中的“新定義”情境入手，結合“好函數(shù)”的定義及各選項中的具體條件，通過歸納推理、反證法的應用等來分析與求解.

解析：對于選項A，任意f（x）∈Γ，取y>x，則有f（x）≥f2（y）≥0，即f（x）≥0.故選項A正確.

對于選項B，假如存在f（x）∈Γ及x0∈R，使f（x0）=2 022.

任取x0+δ>x0，δ>0，對n∈N*有f（x0）≥f2x0+δn≥f4x0+2δn≥……≥f2n（x0+δ）.

因此f2n（x0+δ）≤2 022， 從而f（x0+δ）≤2 02212n.令n→+∞，得f（x0+δ）≤1.

任取x0－δ0，對n∈N*有f（x0－δ）≥f2x0－（n－1）δn≥f4x0－（n－2）δn≥……≥f2n（x0）=2 0222n.

令n→+∞，得f（x0－δ）=+∞，這表明δ→0，f（x）在x0處無定義，與f（x）定義在R上矛盾.故選項B錯誤.

對于選項C，利用反證法，反設結論對于任意M∈R，存在f（x）∈Γ，使得f（x）>M，那么取M=2 021，存在x0∈R，使得f（x0）=2 022>2 021，由選項B中的分析知有矛盾，所以假設不成立，因此原命題為真.故選項C正確.

對于選項D，若此選項成立，則f（x）→+∞（x→+∞），與選項C中的結論矛盾.故選項D錯誤.

故選擇答案：AC.

點評：本題以“新定義”情境來合理創(chuàng)設，結合函數(shù)的基本性質、抽象函數(shù)與函數(shù)不等式等知識，有效考查邏輯推理等能力及函數(shù)與方程思想、分類討論思想等，特別是歸納推理、反證法等的應用，導向數(shù)學抽象、邏輯推理等數(shù)學核心素養(yǎng)的考查.

“新定義”情境試題要求考生能夠借助數(shù)量關系與空間形式，直接抽象出相應的數(shù)學概念和規(guī)則等，進而歸納并形成簡單的數(shù)學命題，合理利用學過的數(shù)學方法解決簡單問題，有效考查數(shù)學抽象等核心素養(yǎng).

2 “新圖形”情境

“新圖形”情境是基于真實的事物或事物的背景，提取其中主要的數(shù)學特征等，建立相應的幾何模型，形成圖形與數(shù)學知識之間的聯(lián)系，要求學生在理解模型的基礎上運用所學知識解決問題.

例2〔福建省泉州市2023屆高中畢業(yè)班質量監(jiān)測（三）數(shù)學試卷（3月）〕圖1中，正方體ABCD-EFGH的每條棱與正八面體MPQRSN（八個面均為正三角形）的一條棱垂直且互相平分.將該正方體的頂點與正八面體的頂點連接，得到圖2的十二面體，該十二面體能獨立密鋪三維空間.若AB=1，則點M到直線RG的距離等于（）.

A.2

B.3

C.62

D.72

分析：從題設中的“新圖形”情境入手，結合空間圖形的結構特征，借助空間中點、線、面的關系與對應的性質、定理等加以合理推理與論證，通過相應的數(shù)學運算來確定點到直線的距離問題.

解析：如圖3所示，設AB與MP交于點K，RN與GH交于點T，連接KT.

依題意，由圖形特征，在正八面體MPQRSN中，MP=PN=NR=RM.

由對稱性可知MN=PR，所以四邊形MPNR是正方形，則MR⊥RN.

又MR⊥CD，CD∥GH，所以MR⊥GH.

而RN∩GH=T，所以MR⊥平面RGNH，所以MR⊥RG.

又己知四邊形MKTR是矩形，所以MR=KT=2，即點M到直線RG的距離為2.

故選擇答案：A.

點評：本題以“新圖形”情境來合理創(chuàng)設，主要考查基本立體圖形，空間中點、線、面的位置關系與度量關系等基礎知識，有效考查空間想象、抽象概括、推理論證、運算求解等能力及化歸與轉化等思想，體現(xiàn)基礎性，應用性，導向對直觀想象、數(shù)學抽象、邏輯推理、數(shù)學運算等核心素養(yǎng)的關注.

“新圖形”情境試題，要求考生能夠在熟悉的情境中，借助幾何直觀和空間想象感知事物的形態(tài)與變化，體會圖形與圖形、圖形與數(shù)量的關系，或借助圖形的性質和變換發(fā)現(xiàn)數(shù)學規(guī)律，或通過圖形直觀認識數(shù)學問題等，有效考查直觀想象等數(shù)學核心素養(yǎng).

3 “新公式”情境

“新公式”情境類似于數(shù)學的“新定義”情境，只是更加聚焦于數(shù)學學科中的公式、法則等，要求學生調動數(shù)學基礎知識和數(shù)學基本活動經(jīng)驗等，在理解新公式的基礎上解決相關數(shù)學問題.

例3（2023屆江蘇省鹽城市、南京市高三第一學期期末調研測試數(shù)學試卷）在概率論中常用散度描述兩個概率分布的差異.若離散型隨機變量X，Y的取值集合均為{0，1，2，3，……，n}（n∈N*），則X，Y的散度D（X‖Y）=∑ni=0P（X=i）lnP（X=i）P（Y=i）.若X，Y的概率分布如表1所示，其中0

分析：從題設中的“新公式”情境入手，結合X，Y的散度D（X‖Y）創(chuàng)新公式的給出及對應的數(shù)據(jù)信息，利用創(chuàng)新公式來合理構建相應的函數(shù)關系式，利用數(shù)學運算與函數(shù)性質的應用，實現(xiàn)創(chuàng)新公式所對應關系式的取值范圍的求解.

解析：根據(jù)題設中的創(chuàng)新公式，可得D（X‖Y）=P（X=0）lnP（X=0）P（Y=0）+P（X=1）lnP（X=1）P（Y=1）=12ln121－p+12ln12p=－12ln ＼.

由0＜p＜1，得p（1－p）=－（p－12）2+14∈0，14〗，則知ln ＼≤0.

所以D（X‖Y）=－12ln ＼≥0，即D（X‖Y）的取值范圍是＼點評：本題以“新公式”情境來合理創(chuàng)設，結合創(chuàng)新定義的內(nèi)涵與實質，借助數(shù)據(jù)的分析與處理，考查概率與統(tǒng)計知識、函數(shù)的基本性質等基礎知識，導向對數(shù)據(jù)分析、邏輯推理、數(shù)學運算等核心素養(yǎng)的關注.

“新公式”情境試題，要求考生能夠在熟悉的情境中，借助一些事實和命題來合理推理分析，用歸納或類比的方法，發(fā)現(xiàn)數(shù)量或圖形的性質、數(shù)量關系或圖形關系，了解數(shù)學命題的條件與結論之間的邏輯關系，掌握一些基本命題與定理的證明，并有條理地表述論證過程等，能有效考查邏輯推理等數(shù)學核心素養(yǎng).

在“三新”（新教材、新課程、新高考）背景下，進一步落實新改革理念，積極貫徹《總體方案》要求.數(shù)學創(chuàng)新情境類試題成為考查考生“四基”的一個新陣地，此類新情境試題的題量與分值大體占全卷題量與分值的20%左右，難度控制在0.3～0.7，可以有效區(qū)別各層次考生的數(shù)學能力與核心素養(yǎng)，進行合理化的高考選拔，實現(xiàn)新高考改革的導向與引領作用，推進高中教育的全面改革與創(chuàng)新.