基于載荷分級(jí)代表性條件的TWIST載荷譜離散方法

馬宏圖,楊鳳田,丁京龍,李東輝

(1.沈陽(yáng)飛機(jī)設(shè)計(jì)研究所, 沈陽(yáng) 100135; 2.遼寧通用航空研究院, 沈陽(yáng) 110136;3.上海飛機(jī)設(shè)計(jì)研究院, 上海 201210; 4.沈陽(yáng)航空航天大學(xué) 航空宇航學(xué)院, 沈陽(yáng) 110136)

0 引言

載荷譜的編制是確定飛機(jī)疲勞及損傷容限性能的先決條件。載荷譜編制的關(guān)鍵是能夠模擬真實(shí)飛行情況的載荷-時(shí)間歷程[1]。為解決運(yùn)輸飛機(jī)機(jī)翼疲勞試驗(yàn)載荷譜的標(biāo)準(zhǔn)化問題,德國(guó)結(jié)構(gòu)耐久性實(shí)驗(yàn)室(LBF)與荷蘭國(guó)家航天實(shí)驗(yàn)室(NLR)聯(lián)合提出了TWIST編譜方法[2],并在歐洲運(yùn)輸機(jī)全尺寸疲勞試驗(yàn)中成功應(yīng)用。TWIST編譜方法將連續(xù)的增量突風(fēng)載荷累積超越曲線(以下簡(jiǎn)稱連續(xù)載荷譜)離散為10級(jí),并根據(jù)這10級(jí)載荷定義10種飛行類型,因此也稱作10乘10譜。TWIST編譜方法的核心思想是通過滿足突風(fēng)載荷的統(tǒng)計(jì)規(guī)律,來(lái)最大程度模擬真實(shí)的突風(fēng)載荷時(shí)間歷程。而滿足突風(fēng)載荷統(tǒng)計(jì)規(guī)律的關(guān)鍵是每次飛行的增量突風(fēng)載荷極值近似服從特定標(biāo)準(zhǔn)差的對(duì)數(shù)正態(tài)分布。

在保留TWIST編譜核心思想的基礎(chǔ)上,為了平衡載荷譜的真實(shí)性、試驗(yàn)設(shè)備能力和研制進(jìn)度,波音公司[3]減少了載荷分級(jí),并先后在型號(hào)研制中應(yīng)用了8乘8譜和5乘5譜,其中5乘5譜在B757和B767的全尺寸疲勞試驗(yàn)中成功應(yīng)用。

TWIST載荷譜編制技術(shù)不依賴損傷模型假設(shè),能夠給出更接近于真實(shí)的疲勞載荷譜和更有代表性的試驗(yàn)結(jié)果,并且,隨著載荷分級(jí)的精簡(jiǎn),在技術(shù)要求和現(xiàn)有資源間實(shí)現(xiàn)了最佳平衡,因而得到了廣泛的認(rèn)可與應(yīng)用[4-8]。

實(shí)現(xiàn)增量突風(fēng)載荷極值對(duì)數(shù)正態(tài)分布是保證TWIST載荷譜真實(shí)性的關(guān)鍵技術(shù),國(guó)內(nèi)在相關(guān)領(lǐng)域進(jìn)行了積極探索。李元鏡[9]對(duì)國(guó)外大飛機(jī)成功應(yīng)用的5乘5飛續(xù)飛試驗(yàn)載荷譜進(jìn)行了初步介紹,其中,為了滿足增量載荷極值對(duì)數(shù)正態(tài)分布,根據(jù)波音公司的編譜經(jīng)驗(yàn),給出了推薦的載荷水平比迭代初值。潘慶榮[10]進(jìn)一步給出了增量載荷極值對(duì)數(shù)正態(tài)分布實(shí)現(xiàn)的具體方法:該方法的關(guān)鍵是在載荷譜離散化后,通過2個(gè)試湊條件,求解出對(duì)數(shù)正態(tài)分布的均值和方差;通過對(duì)n-1個(gè)載荷水平比變量(n為載荷分級(jí)數(shù))和2個(gè)對(duì)數(shù)正態(tài)分布參數(shù)變量“拉網(wǎng)式”搜索,可以得到不同載荷水平比離散條件下對(duì)數(shù)正態(tài)分布的均值和方差。劉曉明等[11-12]成功將潘慶榮提出的方法應(yīng)用于國(guó)產(chǎn)民用運(yùn)輸飛機(jī)載荷譜的編制。徐明波[13]應(yīng)用遺傳算法代替潘慶榮方法的“拉網(wǎng)式”搜索,提高了求解效率和精度。

潘慶榮提出的方法及改進(jìn)方法的搜索變量共n+1個(gè),試湊工作量極大,同時(shí),由于可行解數(shù)量較多,需要人為判斷的工作量也較大。另一方面,現(xiàn)有方法在增量載荷極值分布的離散化方面也有不足:試湊條件僅對(duì)最低一級(jí)增量載荷極值的代表性提出了要求,其他各級(jí)載荷的代表性沒有規(guī)定。為解決上述問題,本文中基于載荷分級(jí)代表性條件,提出了一種滿足增量突風(fēng)載荷極值對(duì)數(shù)正態(tài)分布的單迭代變量TWIST載荷譜離散方法。

1 載荷譜離散方法

本文中所提載荷譜離散方法的主要思路為:① 通過推導(dǎo)載荷分級(jí)代表性條件,進(jìn)而得到增量載荷極值及其邊界所對(duì)應(yīng)的累積超越飛行概率遞推公式;② 通過高載截取值得到各類飛行的飛行次數(shù);③ 以對(duì)數(shù)正態(tài)分布的標(biāo)準(zhǔn)差為迭代變量,求解增量載荷極值所服從對(duì)數(shù)正態(tài)分布的參數(shù),并得到各級(jí)離散載荷。

1.1 增量載荷極值分布的離散

增量載荷極值分布的離散化示意圖如圖1所示。每次飛行的增量載荷極值分布曲線為圖中的點(diǎn)劃線。增量載荷極值的離散共分n級(jí),并相應(yīng)定義n種飛行類型。每種飛行類型所經(jīng)歷的最大的增量載荷等于相應(yīng)分級(jí)的增量載荷極值。最粗暴的飛行類型包含第1級(jí)增量載荷極值;粗暴程度次一級(jí)的飛行類型包含第2級(jí)增量載荷極值,而不含第1級(jí);最平穩(wěn)的飛行類型僅包含第n級(jí)增量載荷極值。

圖1 增量載荷極值分布的離散化

增量載荷極值分布離散化后,最低一級(jí)的增量載荷極值Ln代表大小在其附近的連續(xù)的增量載荷極值。根據(jù)“等三角形”性質(zhì),Ln對(duì)應(yīng)的累積超越飛行次數(shù)Fn有如下關(guān)系[10]

(1)

這表明,第n級(jí)增量載荷極值的累積超越飛行次數(shù)Fn是第n級(jí)離散邊界和第n-1級(jí)離散邊界對(duì)應(yīng)的累積超越飛行次數(shù)fn和fn-1的幾何平均值。

注意到一個(gè)譜塊代表N次飛行,則有

fn=N

(2)

將式(2)代入式(1),并且兩邊除以N2則有

(3)

即第n級(jí)增量載荷極值Ln對(duì)應(yīng)的累積超越飛行概率Pn的平方等于第n-1級(jí)離散邊界對(duì)應(yīng)的累積超越飛行概率pn-1,其中

Pn=Fn/N

(4)

并且

pn-1=fn-1/N

(5)

顯然,不僅是最低一級(jí)的增量載荷極值Ln具備上述代表性。那么,將這種代表性推廣到更高一級(jí)的Ln-1上,有

(6)

將式(6)兩邊除以N2,寫成累積超越飛行概率的形式,則有

(7)

另一方面,根據(jù)“等三角形”性質(zhì),第n-1級(jí)離散邊界對(duì)應(yīng)的累積超越飛行次數(shù)有[10]

(8)

將式(8)兩邊除以N2,寫成累積超越飛行概率的形式則有

(9)

將式(3)代入式(9),消去pn-1后,整理可得

(10)

將式(3)和式(10)代入式(7),整理可得

(11)

進(jìn)一步,將增量載荷極值的代表性推廣到Li上,則有

(12)

其中,i=2,3,…,n。式(12)保證了載荷分級(jí)的代表性,因此稱為載荷分級(jí)代表性條件。滿足式(12)的載荷分級(jí)是更科學(xué)合理的。

另外,各級(jí)離散邊界對(duì)應(yīng)的累積超越飛行概率有

(13)

其中,i=2,3,…,n-1。

仿照式(11)的推導(dǎo),由式(12)和式(13)可以得到

(14)

其中,i=1,2,…,n。另一方面,仿照式(10)的推導(dǎo),由式(12)和式(13)可以得到

(15)

其中,i=2,3,…,n。

這樣就通過載荷分級(jí)代表性條件,保證了第n級(jí)至第2級(jí)增量載荷極值的代表性,同時(shí)得到了增量載荷極值及其邊界對(duì)應(yīng)的累積超越飛行概率的遞推公式。

1.2 每類飛行的次數(shù)計(jì)算

連續(xù)載荷譜的離散化示意圖如圖2所示。點(diǎn)劃線表示一個(gè)譜塊N次飛行的連續(xù)載荷譜。Li在連續(xù)載荷譜的離散化中代表離散后的第i級(jí)增量載荷。增量載荷離散邊界bi所對(duì)應(yīng)的累積超越載荷循環(huán)數(shù)為ci。第1級(jí)離散邊界b1等于高載截取值,對(duì)應(yīng)的c1=1。

圖2 連續(xù)載荷譜的離散化

在一個(gè)譜塊的N次飛行中,超過b1的增量載荷循環(huán)發(fā)生了1次,說(shuō)明增量載荷極值超過b1的飛行發(fā)生了1次,并且這次飛行屬于最粗暴的飛行類型。因此,b1也是增量載荷極值分布離散的第1級(jí)邊界,其對(duì)應(yīng)的累積超越飛行概率為

p1=1/N

(16)

將式(16)代入式(14)可以求得最低一級(jí)增量載荷極值Ln的累積超越飛行概率Pn。進(jìn)一步,根據(jù)式(14)可以繼續(xù)求得第2級(jí)至第n級(jí)增量載荷極值邊界對(duì)應(yīng)的累積超越飛行概率pi。每級(jí)增量載荷極值的發(fā)生次數(shù),即每類飛行的飛行次數(shù)為

Ti=N·(pi-pi-1)

(17)

其中,i=2,3,…,n。并且T1=1。

1.3 各級(jí)增量載荷極值計(jì)算

將Pn代入式(15),則可以得到i=2,3,…,n時(shí),各級(jí)增量載荷極值Li對(duì)應(yīng)的累積超越飛行概率Pi。

另外,注意到對(duì)高載截取值有

L1=b1

(18)

那么可以得到第1級(jí)增量載荷極值L1的累積超越飛行概率P1

P1=p1

(19)

令增量載荷極值對(duì)數(shù)正態(tài)分布的均值為μ,標(biāo)準(zhǔn)差為s,則

(lgb1-μ)/s=Φ-1(1-p1)

(20)

其中Φ-1為標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布累積概率函數(shù)的反函數(shù)。將式(16)和式(18)代入式(20)則有

(lgL1-μ)/s=Φ-1(1-1/N)

(21)

式(21)有2個(gè)未知變量μ和s。以對(duì)數(shù)正態(tài)分布的標(biāo)準(zhǔn)差s為迭代變量,通過式(21)可以求得均值μ。

進(jìn)一步,增量載荷極值Li和其對(duì)應(yīng)的累積超越飛行概率Pi同樣滿足式(21)定義的對(duì)數(shù)正態(tài)分布,則有

lgLi=μ+s·Φ-1(1-Pi)

(22)

其中,i=2,3,…,n。由式(22),可以根據(jù)第2級(jí)至第n級(jí)增量載荷極值的累積超越飛行概率Pi反求第2級(jí)至第n級(jí)增量載荷極值Li。

對(duì)于連續(xù)載荷譜的離散化,Li代表離散譜第i級(jí)增量載荷。如圖2所示,當(dāng)各級(jí)增量載荷Li被確定時(shí),可以根據(jù)“等三角形”性質(zhì),反求載荷譜各級(jí)增量載荷Li的離散邊界bi。

當(dāng)i=1時(shí),b1等于高載截取值;當(dāng)i=2,3,…,n時(shí),有遞推公式

bi=fi(Li,bi-1)

(23)

工程上,當(dāng)相鄰2個(gè)離散邊界內(nèi)的連續(xù)載荷譜近似線性時(shí),有遞推公式

bi=2Li-bi-1

(24)

根據(jù)遞推得到的最低一級(jí)載荷的離散邊界bn須等于低載刪除值。這樣,在一個(gè)譜塊的飛行數(shù)為N,載荷分級(jí)為n的條件下,由高載截取值和低載刪除值2個(gè)條件就可以求解對(duì)數(shù)正態(tài)分布的均值和標(biāo)準(zhǔn)差。以標(biāo)準(zhǔn)差s為迭代變量,問題轉(zhuǎn)化為一維搜索問題。注意到標(biāo)準(zhǔn)差s與載荷離散邊界bn負(fù)相關(guān),僅需少量迭代即可求解。根據(jù)統(tǒng)計(jì)規(guī)律和試湊經(jīng)驗(yàn),TWIST編譜[2]選用標(biāo)準(zhǔn)差為0.22;波音[3]的研究選用標(biāo)準(zhǔn)差為0.19。因此對(duì)數(shù)正態(tài)分布的標(biāo)準(zhǔn)差的迭代初值可以設(shè)置在0.2附近。

當(dāng)對(duì)數(shù)正態(tài)分布的均值和標(biāo)準(zhǔn)差確定后,就可根據(jù)式(22)求出第2級(jí)至n級(jí)增量載荷極值L2至Ln。

2 載荷譜離散算例及分析

以歐洲10乘10譜和波音5乘5譜2個(gè)典型載荷譜為例,應(yīng)用本文中方法進(jìn)行離散化,并與現(xiàn)有方法的結(jié)果進(jìn)行對(duì)比。為量化載荷分級(jí)代表性,根據(jù)式(12)定義各載荷分級(jí)代表性的偏離程度ri為

(25)

其中,i=2,3,…,n。ri的值越小,說(shuō)明載荷分級(jí)代表性的偏離程度越小,代表性越強(qiáng)。

2.1 歐洲10乘10譜

TWIST編譜[2]將增量突風(fēng)載荷分成10級(jí),并定義了10類飛行。一個(gè)譜塊定義4 000次飛行。增量載荷歸一化處理后,高載截取值為1.6;最低一級(jí)增量載荷為0.222,根據(jù)“等三角形”性質(zhì),反算低載刪除值約為0.174。

根據(jù)文中方法,以對(duì)數(shù)正態(tài)分布的標(biāo)準(zhǔn)差為迭代變量,初值取0.2,迭代8次收斂。結(jié)果滿足增量突風(fēng)載荷極值對(duì)數(shù)正態(tài)分布要求,其中對(duì)數(shù)正態(tài)分布的均值為-0.51,標(biāo)準(zhǔn)差為0.21。離散化后各級(jí)增量載荷以及各類飛行的次數(shù)如表1所示。

表1 歐洲10乘10譜離散化結(jié)果

與現(xiàn)有方法[10]對(duì)比載荷分級(jí)的代表性,結(jié)果如表2所示?，F(xiàn)有方法僅第10級(jí)的ri較小,即載荷分級(jí)僅在該級(jí)具備較強(qiáng)的代表性。與現(xiàn)有方法相比,本文中方法各載荷級(jí)的ri均較小,表明載荷分級(jí)代表性強(qiáng)。本文中方法第2至第4載荷級(jí)的ri相比其他載荷級(jí)較大,分析原因?yàn)檫@些載荷級(jí)對(duì)應(yīng)的飛行次數(shù)較少,導(dǎo)致離散過程中飛行次數(shù)取整所造成的偏差相對(duì)較大。

表2 歐洲10乘10譜載荷分級(jí)代表性對(duì)比

2.2 波音5乘5譜

波音757巡航段突風(fēng)載荷譜[3]使用了5乘5編譜方法:將增量突風(fēng)載荷分成5級(jí),并定義了5類飛行。一個(gè)譜塊定義5 000次飛行。高載截取值為32.9 ft/s,低載刪除值為5.61 ft/s。

根據(jù)文中方法,以對(duì)數(shù)正態(tài)分布的標(biāo)準(zhǔn)差為迭代變量,初值取0.2,迭代16次收斂。計(jì)算的結(jié)果滿足增量突風(fēng)載荷極值對(duì)數(shù)正態(tài)分布要求,其中對(duì)數(shù)正態(tài)分布均值為0.88,標(biāo)準(zhǔn)差為0.18。離散化后各載荷級(jí)增量載荷以及各類飛行的次數(shù)如表3所示。

表3 波音5乘5譜離散化結(jié)果

與現(xiàn)有方法[10]對(duì)比載荷分級(jí)的代表性,結(jié)果如表4所示?，F(xiàn)有方法僅第5級(jí)的ri較小,即載荷分級(jí)僅在該級(jí)具備較強(qiáng)的代表性。與現(xiàn)有方法相比,本文中方法各載荷級(jí)的ri均較小,表明載荷分級(jí)代表性強(qiáng)。

表4 波音5乘5譜載荷分級(jí)代表性對(duì)比

3 結(jié)論

本文中基于載荷分級(jí)代表性條件,提出了一種滿足增量突風(fēng)載荷極值對(duì)數(shù)正態(tài)分布的單迭代變量TWIST載荷譜離散方法,解決了現(xiàn)有方法求解變量較多,載荷分級(jí)代表性不足的問題。主要結(jié)論如下:

1) 推導(dǎo)了載荷分級(jí)代表性條件,進(jìn)而得到各級(jí)增量載荷極值及其邊界所對(duì)應(yīng)的累積超越飛行概率的遞推公式。與現(xiàn)有方法相比,對(duì)載荷分級(jí)的代表性提出了要求,并建立起各載荷級(jí)間的聯(lián)系。

2) 僅以對(duì)數(shù)正態(tài)分布標(biāo)準(zhǔn)差為迭代變量,利用高載截取值和低載刪除值,求解增量載荷極值所服從對(duì)數(shù)正態(tài)分布的參數(shù),并得到各級(jí)離散載荷。與現(xiàn)有方法需要n+1個(gè)迭代變量相比,求解效率大幅提高。

3) 將本文方法應(yīng)用于歐洲10乘10譜和波音5乘5譜2個(gè)典型載荷譜的離散化,結(jié)果表明,僅需少量迭代,載荷譜的離散就可以滿足增量突風(fēng)載荷極值對(duì)數(shù)正態(tài)分布要求。通過對(duì)比,載荷分級(jí)代表性的偏離程度遠(yuǎn)低于現(xiàn)有方法,說(shuō)明載荷分級(jí)更加科學(xué)合理。