封頭補強仿形織物的曲面幾何映射研究

姬 智 馬文鎖 許泳豪 馬振宇 漫睿東

河南科技大學 機電工程學院,河南 洛陽 471003

以碳纖維復合材料代替金屬材料作為殼體的壓力容器具有質輕、比強度和比模量高等優(yōu)點,在航空航天及儲氣領域得到廣泛的應用[1-5]。但在水壓爆破試驗過程中發(fā)現,碳纖維殼體壓力容器的封頭部分,尤其是接近金屬件邊緣處,容易產生應力集中區(qū)域,從而導致碳纖維殼體發(fā)生低壓爆破。目前,常用的解決方法是對殼體封頭部分進行補強[6]。二維織物生產工藝成熟、成本低、可織造的尺寸范圍廣,且經精確設計的織物結構及其變形范圍能夠基本滿足復合材料構件的織物設計要求,故被用作復合材料壓力容器封頭區(qū)域的補強織物[7-10]。

傳統(tǒng)經緯正交織造方法分段加工的平面二維織物在覆蓋封頭曲面時,紗線無法精確滿足封頭曲面的母線與環(huán)向正交的工程需求,且由于覆蓋過程中二維織物受到載荷的作用,紗線及纖維產生局部滑移,聚集狀態(tài)發(fā)生改變,纖維體積百分含量、力學性能及其復合材料構件性能等發(fā)生非均勻變化[11-13]。仿形織物是按部件的外形輪廓設計織制的單層機織物,織物可呈曲面結構,在成型時可將織物纏繞或層合起來,使紗線連續(xù)的同時還可以確保經緯紗之間的夾角[14]。仿形織造技術為高性能復合材料的低成本制造開辟了新的途徑。仿形織物與目標曲面貼合的關鍵在于目標曲面的精確展開。鄭鵬飛等[15]根據測地線的短程性與線上各點測地曲率為零的幾何特性,采用在不可展的封頭曲面上構建由測地線和法截線交織成線網的方法,獲得橢圓形和球形封頭展開圖的邊界。梁堰波等[16]基于能量模型將待展開曲面以三角網格形式表示,將曲面簡化為三角網格頂點組成的質點系統(tǒng),使曲面網格的劃分更具有操作性。常用的曲面展開方法和技術還有幾何逼近法[17]、力學模型法[18]、能量方程法[19-20]和三維軟件法[21]等。

合理的二維織物與曲面幾何覆蓋映射之間的關系,有利于解決無缺陷覆蓋的織物結構設計難題。本文基于封頭空間曲面的剖分式理想展開方法,研究二維織物與封頭曲面之間的幾何映射關系,提出可覆蓋封頭曲面的二維織物的加工工藝參數理論計算方法,為封頭補強仿形織物的成型加工提供理論參考。

1 封頭補強織物成型方法及二維織物的單元類型

1.1 封頭補強織物成型方法

與封頭曲面外形特征相吻合的仿形織物的成型方法有兩種,如圖1所示:一種是對平面的二維織物進行裁剪,再通過織物變形進行覆蓋,成型為所需要的封頭補強織物,即平面覆蓋法;另一種是在滿足封頭外形要求的前提下,設計加工工藝參數,在線一次仿形加工出完整的曲面補強織物,使用時將織物纏繞或層合起來,即仿形覆蓋法。平面覆蓋法補強織物產品雖然可以較好地貼合封頭曲面,但部分紗線的裁斷將導致補強織物的力學性能降低,影響補強效率和質量可靠性;仿形覆蓋法加工的織物,其環(huán)向紗線連續(xù)且與經紗方向一致,可以很好地貼合封頭曲面表面,同時可避免織物由于紗線裁斷而導致的力學性能損失[22]。

圖1 曲面封頭補強織物成型方法

1.2 二維織物的單元類型

用于覆蓋封頭曲面的二維織物的結構組織主要有平紋組織、斜紋組織和緞紋組織[23]。這3種組織的二維織物的一般單元類型為正交單元,其中包括正方單元和矩形單元。正交單元在外力作用下可變形為可逆平行四邊形單元和極限剪切單元。可逆平行四邊形單元在二維平面內結構不穩(wěn)定,在覆蓋為封頭曲面時,需實現經緯紗正交,從而使單元結構達到穩(wěn)定狀態(tài)。極限剪切單元為二維織物單元的最大剪切狀態(tài),具有極限穩(wěn)定性,在外力作用下很難發(fā)生變形。3種組織的二維織物的各單元類型如表1所示。

表1 二維織物的一般單元類型

利用二維織物覆蓋封頭曲面時,考慮紗線截面及幾何形狀在一定范圍內的變形,將織物單元的變形分為拉伸、壓縮和剪切3種,即可求得可覆蓋封頭表面的織物最大剪切單元。該單元為表面覆蓋的最小可重復單元。使用尺寸不小于最小可重復單元加工的二維織物,若其變形后仍能夠滿足工程需求,并且可無缺陷覆蓋封頭曲面,則稱這種單元為該二維織物的適配單元(不唯一)。適配單元的幾何尺寸決定封頭曲面的覆蓋程度。二維織物及其適配單元示意圖如圖2所示。

圖2 二維織物適配單元

2 仿形覆蓋加工封頭曲面的二維展開方案

封頭織物結構如圖3所示,封頭曲面由球頭面與圓柱面組合而成。經紗與徑圓重合、緯紗與回轉曲面母線重合,被認為是封頭曲面最理想的覆蓋方式。為降低織造難度,在封頭補強織物實際加工過程中可采用分段織造、間斷卷曲的加工工藝,使補強織物的局部仍表現為平面織物。針對封頭補強織物與封頭曲面貼合的部分,將回轉封頭曲面等分,采用每份曲面上覆蓋的織物緯紗與母線重合、經紗與徑圓重合的織物近似展平方法。

圖3 封頭織物結構

為考察經、緯紗展平后的軌跡,將封頭曲面沿母線和環(huán)向進行分割,再將分割后的經紗層逐條展開,其展開面的形狀為扇形,封頭圓柱部分的展開面形狀為矩形,如圖4b)所示。封頭曲面每一層展開扇形的圓弧半徑不同,但圓心均分布在中心線上。剖分式理想展開方案使得每一經紗層均能精確展開,但每一層與相鄰層之間存在間隙,且間隙的大小均不相同,層與層之間的最大間隙為Emax。并且由圖4c)可知,在剖分式理想展開過程中,平行于經紗方向的紗線連續(xù),但緯紗方向的網格不連續(xù)。二維織物的經紗在織造過程中與緯紗正交,可沿經紗方向對緯紗單元網格進行近似展開。單元網格的長度(又稱環(huán)向單元長)記為w,單元網格的寬度記為h。

圖4 剖分式理想展開

二維織物的織造過程中,經紗是相互平行的,理想展開經紗的角度較難控制,因為受織物加工工藝的影響。將理想展開的經紗投影在相互平行的位置,如圖5所示,即為平行經紗(徑圓)的近似展開方案。取短徑長為Lmin,經紗被分為5份,短徑和長徑在平行經紗上的投影長度不變,交織點的長度不發(fā)生改變,相鄰層經紗展開時的短圓弧長和長圓弧長相等,則在相鄰平行經紗的展開過程中,緯紗為傾斜的紗線。具體過程如圖6所示,緯紗與經紗的交織點均分布在平行經紗上,將經紗逐層理想展開后,網格劃分后的封頭曲面如圖6a)所示,將理想展開的經紗投影在相互平行的位置后,連接同一緯紗的交織點,形成具有一定傾斜角度的緯紗,獲得近似展開的二維織物,即經紗相互平行,緯紗呈弧線分布,如圖6b)所示。隨著交織點數量的增加,即經密和緯密的增大,緯紗的弧線近似平滑,當平行經紗的數量較多時,單元尺寸的長度較小,緯紗可以通過一定弧度進行打緯,形成近似展開的二維織物,覆蓋封頭曲面。

圖5 平行經紗近似展開

圖6 平行經紗近似展開二維織物

由于單元網格的尺寸不同,剖分式理想展開后織物與曲面幾何覆蓋映射之間的誤差也不一樣。單元尺寸取決于紗線參數和工藝參數,進而影響層與層之間的最大間隙Emax。封頭曲面的等分數同樣影響二維織物的覆蓋精度,設xoy坐標面上封頭曲面的等分數為m,則封頭曲面的幾何關系如圖7所示。

圖7 封頭曲面的幾何關系

封頭半徑為R的圓柱曲面可精確展開,封頭的局部球面本身為不可展曲面,其小端半徑為r,大端半徑為R。被等分的封頭曲面每一份的大端弧長為Li，小端弧長為li?？傻闷鋷缀侮P系為

(1)

設回轉曲面r(θ,φ)由xoz坐標面上的曲線L1和L2繞z軸旋轉而成,則曲面以θ、φ為參數的曲面方程為

r(θ,φ)={f(φ)cosθ,f(φ)sinθ,g(φ)}

(2)

曲面r(θ,φ)中的一點映射為切柱面中同緯度直線上的一點,取曲線的θ向參數為Θ,對應的可展切柱面的參數方程為

(3)

封頭不可展曲面的參數方程為

x=f1(θ,φ),y=f2(θ,φ),z=f3(θ,φ)

(4)

回轉母線L1:

x=f(φ)=Rcosφ,z=g(φ)=Rsinφ

(5)

由式(2)、式(3)和式(5)得,球面片:

r′(θ,φ)={Rcosφcosθ,Rcosφsinθ,Rsinφ}

(6)

切柱面片:

(7)

結合式(1)～式(7)即可獲得封頭曲面等分后的曲面幾何關系。

3 二維織物和封頭曲面的幾何映射

封頭曲面覆蓋的織物與相應的二維織物存在幾何對應關系。假設紗線橫截面為橢圓形且面積恒定為S=πab(a和b分別為橢圓的長半軸和短半軸);單元中紗線的長度不變,且織物在變形前后單元的數量不變。對單個不可展曲面,通過剖分式理想展開和平行經紗近似展開,將空間不可展曲面上的單元映射在二維平面,如圖8a)和圖8b)所示;再通過研究網格單元的變形,得到二維織物的單元合適形狀和尺寸范圍,如圖8c)所示。封頭曲面是由球頭面與圓柱面形成的組合曲面。Ⅰ區(qū)域對應圓柱曲面的展開,單元僅發(fā)生拉伸變形或壓縮變形,單元的4個節(jié)點組成的形狀仍為矩形。Ⅱ區(qū)域對應球頭面的展開,單元發(fā)生剪切變形,可通過單元節(jié)點的變化,探究曲母線回轉面與二維織物的幾何映射關系。

圖8 適配單元的近似展開

圖9 曲母線回轉面

在xoz平面內,曲母線z=-px2+H上切線L1的斜率為K1(K1=-2px),將過坐標原點o的曲母線切線line 1的法線line 2斜率用K2表示,由K1K2=-1可求得line 1與line 2的交點A(x1,z1)。點A與x軸上的空間曲面底面半徑BC構成一個平面(z1/x1)x+z=0,該平面與空間曲面相交構成空間曲面的剖切面ABC,相交曲線f(x,y,z)為剖切面ABC的輪廓線,如圖10所示。曲面可對稱2次完成覆蓋及幾何運算,覆蓋半回轉曲面時,經緯向紗線分別與曲線f(x,y,z)和f(y,z)吻合并均勻映射。原始平紋織物單元邊長均勻變形均布曲線段后,再向Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ和Ⅳ區(qū)域覆蓋映射,如圖11所示。

圖10 回轉曲面幾何關系

圖11 回轉曲面分區(qū)及幾何映射方法

紗線在不同區(qū)域內任意位置發(fā)生不同程度的對角協調變形,且圖11中的Ⅰ、Ⅲ區(qū)域和Ⅱ、Ⅳ區(qū)域關于平面yoz對稱。二維織物在區(qū)域內部發(fā)生對角協調變形,一個二維織物單元用4個節(jié)點描述,連續(xù)變化的四節(jié)點單元構成空間區(qū)域。以點A為基點,對應區(qū)域Ⅰ紗線節(jié)點為W(i,j),i表示沿曲線f4(x,y,z)方向的節(jié)點序列,j表示沿曲線f1(x,z)方向的節(jié)點序列。在W(1,j)和W(i,1)上單元發(fā)生內稟變形。從基點A開始在曲線f(x,y,z)上和曲線f(y,z)上以二維織物內稟變形后的單元邊長L0等分曲線段,尋找到一系列幾何節(jié)點W(1,k+1)和W(n+1,1)并作為覆蓋初始點,其中k和n分別表示需要覆蓋曲線f(x,y,z)和f(y,z)的單元數量,xi,j,yi,j,zi,j為節(jié)點W(i,j)在曲面上的空間坐標。

用基點A、點W(1,2)和點W(2,1)這3個節(jié)點尋找第一個單元的第四個節(jié)點,并確定可能的單元初始紗線夾角α1,1,換算對應夾角的單元長度L1,1=g(α1,1)。依次疊加獲得區(qū)域I內所有單元經緯紗線的夾角αi,j,并換算成對應的變形后單元邊長Li,j=g(αi,j)。αi,j和Li,j之間滿足如下關系:

(8)

以點A為基點在區(qū)域Ⅲ內以相同的方法疊加運算,即可獲得完整幾何覆蓋算法?？筛采w二維織物展開幾何輪廓如圖12所示,用設計的紗線股數和經緯密加工二維織物,保證經緯紗數量Q1和Q2,并按文中所述覆蓋方法即可精確覆蓋所述空間曲面。

圖12 半球覆蓋映射

4 二維可織織物經緯密的理論計算方法

二維織物的結構參數及外輪廓形狀取決于其經緯密的大小。為區(qū)別于傳統(tǒng)的二維織物,后文將與封頭曲面相對應的仿形織物稱作二維可織織物。二維可織織物織造時經紗的排布如圖13所示,經紗沿著封頭曲面母線均勻排布。隨著封頭曲面大端到小端圓弧半徑的逐漸減小,緯紗數量逐漸減少。沿封頭曲面的回轉母線,對封頭曲面按照第2節(jié)描述的剖分式理想展開法進行精確展開。取m等分后的一個曲面,曲面圓弧對應封頭曲面內的角度為2π/m,不可展曲面部分沿平行經紗層逐條展開,展開面形狀為扇形;可展曲面部分的展開形狀為矩形,如圖14a)所示。

圖13 織造過程中的經紗排列

圖14 剖分式理想展開的經紗層間關系

精確展開的經紗層與層之間的關系如圖14b)所示,第j層與相鄰層之間的公用圓弧長度相等,但由于每一層的圓弧展開角度不同,導致各層之間存在間隙。經紗展開后的空間弧線段長度為

(9)

假設最長空間弧線段具有K個節(jié)點,其將弧線等分為K-1段,各段的長度與紗線的參數相關,且均勻分布在經紗上。隨著封頭曲面大端到小端圓弧半徑的逐漸減小,空間弧線段上的節(jié)點數減少。由于單元的長度w是固定的,且空間弧線段上的節(jié)點數是確定的,最終得到展開圓弧段的長度為

(10)

在經紗層的展開過程中,短圓弧網格展開后的理論長度和實際長度存在差異,將該誤差記為E1;同理,長圓弧網格展開后的理論長度與實際長度存在差異,將該誤差記為E2。經紗方向的單元節(jié)點數為Kj。由經紗方向的單元節(jié)點數即可知緯紗數量。設P為間隙占單元長度的百分比,其值越小,表明展開的精度越高。則各個參數之間存在式(11)的關系。

(11)

式中:Ej為第j層經紗展開圓弧段的長度誤差。

在理想展開法的精確度分析過程中,理想單元與實際單元的重合度決定了封頭曲面的展開精度。假設網格劃分過程中,曲面等分數m=8,織物結構單元為正方單元,即w=h;當單元尺寸分別取10、8、6和4時,織物單元理想分布(矩形方框表示)和實際分布(菱形方框)如圖15所示。

圖15 單元尺寸對單元分布的影響

由圖15可知,在封頭曲面結構參數相同的情況下,單元理想分布和實際單元分布的重合度隨著單元尺寸的減小而增大,即封頭曲面的展開精度隨著單元尺寸的減小而增大;且單元的尺寸大小影響短圓弧和長圓弧網格展開后的理論長度與實際長度的誤差,短圓弧誤差E1和單元節(jié)點數量K隨著單元尺寸的減小而增大,長圓弧誤差E2和層與層之間的最大間隙Emax隨著單元尺寸的減小而減小。則當單元尺寸設計得足夠小時,E1和E2的值較小,即長短圓弧展開的理論長度和實際長度相差較小,同時Emax值也較小,即層與層之間的最大間隙較小。當長短圓弧展開的理論長度和實際長度的誤差和層與層之間的最大間隙小到可以忽略時,即可實現圖6所示的平行經紗近似展開。在網格劃分過程中,等分數的大小同樣影響單元理想分布與實際分布的誤差值,本文不做過多討論。

5 試驗驗證

5.1 試驗材料與裝置

被覆蓋的封頭曲面如圖16所示,其大端半徑R=43 mm,小端半徑r=16 mm。在網格劃分過程中,將回轉封頭曲面等分,等分數m=4,w=h=4 mm。手工織制出與封頭曲面相對應的二維可織織物,所用國產碳纖維紗線的規(guī)格如表2所示?？椫频亩S可織織物(圖17)與等分后的部分封頭曲面相對應。

表2 碳纖維紗線的規(guī)格

圖16 被覆蓋的封頭曲面

圖17 織物試樣

5.2 結果與討論

織物鋪覆效果如圖18所示。由圖18可以看出,二維可織織物覆蓋后,封頭曲面部分上的經紗與封頭曲面的徑圓基本重合,緯紗傾斜一定角度,經紗和緯紗基本處于極限剪切穩(wěn)定狀態(tài),且緯紗密度從小端半徑至大端半徑逐漸增大,經緯紗的位置形狀與本文理論分析部分相吻合,驗證了封頭曲面剖分式理想展開法的可行性,以及封頭曲面與二維可織織物之間幾何映射關系的正確性。

圖18 鋪覆后的封頭曲面

然而,由于鋪覆所用的二維可織織物采用手工織制,鋪覆后的封頭曲面部分紗線間存在較大間隙,尤其是曲面母線附近。出現這種現象的原因可能為:一是手工織制的二維可織織物本身就存在較大間隙,織物在外力作用下鋪覆在封頭曲面表面上,為適應曲率不斷變化的封頭曲面,紗線會產生旋轉和滑移,從而造成間隙的擴大,采用專業(yè)的織機織造可以盡可能避免此類問題;二是在劃分網格過程中,曲面等分數和單元尺寸選取不合理,導致實際單元與理想單元之間的分布誤差較大。兩種因素均會導致織造出的織物與封頭曲面不能完全貼合。碳纖維織物在與基體材料進行復合時,紗線間隙的存在會形成復合材料富樹脂區(qū),進而導致封頭壓力容器的力學性能下降,因此在實際生產過程中應盡可能避免紗線間隙的形成[24-25]。

6 結論

本文以三元組織二維織物覆蓋封頭曲面的展開方法為背景,提出了可確保覆蓋二維織物經緯紗線連續(xù)和正交的封頭曲面剖分式理想展開法;探討了封頭曲面覆蓋織物與二維可織織物存在的幾何映射關系,并對二維可織織物的織造工藝參數進行設計。研究發(fā)現理想展開后的封頭曲面在結構參數相同的情況下,曲面展開精度隨著單元尺寸的減小而增大,且各層經紗的短圓弧誤差和單元節(jié)點數量隨著單元尺寸的減小而增大,長圓弧誤差和層與層之間的最大間隙隨著單元尺寸的減小而減小。即當單元尺寸設計得足夠小時,緯紗的弧線近似平滑,緯紗可以通過一定弧度進行打緯,利用平行經紗近似展開形成相應的封頭補強二維可織織物。最后,本文進行了二維可織織物的織制與封頭覆蓋試驗,結果表明,使用相應的二維可織織物覆蓋封頭后,經緯紗的位置形狀與理論分析部分基本相吻合,驗證了封頭曲面剖分式理想展開法的可行性及封頭曲面與二維可織織物之間幾何映射關系的正確性。