正則角聯(lián)鎖組織的矩陣模型及其生成算法

王 旭， 杜增鋒， 倪慶清， 劉新華,2

(1. 安徽工程大學(xué) 紡織服裝學(xué)院， 安徽 蕪湖 241000； 2. 安徽工程大學(xué) 紡織科技公共服務(wù)平臺(tái)， 安徽 蕪湖 241000； 3. 信州大學(xué) 纖維學(xué)部， 日本 長野 3868567)

三維紡織復(fù)合材料增強(qiáng)體結(jié)構(gòu)中角聯(lián)鎖組織應(yīng)用較為廣泛，由于接結(jié)紗將多層經(jīng)、緯紗線固結(jié)成整體，增強(qiáng)了經(jīng)、緯紗線間的聯(lián)系，從而提高了抗沖擊和抗分層破壞的能力[1-2]。角聯(lián)鎖組織分經(jīng)紗接結(jié)、緯紗接結(jié)2種，前者以接結(jié)經(jīng)紗和緯紗交織，后者以接結(jié)緯紗和經(jīng)紗交織。以經(jīng)紗接結(jié)角聯(lián)鎖為例，如果只有接結(jié)經(jīng)紗和緯紗2個(gè)紗線系統(tǒng)，即為無襯經(jīng)紗角聯(lián)鎖組織。如果在相鄰緯紗層之間還填充有襯經(jīng)紗，即為有襯經(jīng)紗角聯(lián)鎖組織[3]。楊小俠[4]以5層角聯(lián)鎖組織為例，分析了實(shí)口、空口及有無襯經(jīng)紗情況下的組織參數(shù)、上機(jī)圖設(shè)計(jì)和上機(jī)織造要點(diǎn)。可以看出，和簡(jiǎn)單組織相比角聯(lián)鎖組織結(jié)構(gòu)和上機(jī)圖更加復(fù)雜。角聯(lián)鎖組織圖是反映交織規(guī)律的重要圖解，通常由人工根據(jù)交織示意圖進(jìn)行。由于交織規(guī)律復(fù)雜，組織圖設(shè)計(jì)過程效率低、易出錯(cuò)。如何提高角聯(lián)鎖組織的設(shè)計(jì)效率一直是該領(lǐng)域的研究熱點(diǎn)。許鶴等[5]通過分析角聯(lián)鎖組織經(jīng)紗的浮沉規(guī)律并結(jié)合角聯(lián)鎖經(jīng)緯紗循環(huán)關(guān)系，提出一種基于數(shù)字排列的角聯(lián)鎖組織的設(shè)計(jì)方法。聶建斌等[6]根據(jù)角聯(lián)鎖織物的交織規(guī)律并結(jié)合織物組織參數(shù)，提出一種以分式結(jié)構(gòu)來表達(dá)交織規(guī)律的簡(jiǎn)便方法，無需繪制交織示意圖即可根據(jù)分式直接得到組織圖。

上述研究為簡(jiǎn)化角聯(lián)鎖組織交織規(guī)律的表達(dá)提供了理論參考。近年來研究者開始運(yùn)用計(jì)算機(jī)輔助設(shè)計(jì)提高角聯(lián)鎖組織的設(shè)計(jì)效率。白燕[7]以正則多重緯角聯(lián)鎖組織為例，運(yùn)用組織參數(shù)之間的關(guān)系并結(jié)合Excel工作表，提出了一種快速繪制交織示意圖的方法，通過復(fù)制第1經(jīng)紗交織規(guī)律并調(diào)整起始點(diǎn)黏貼等方法，實(shí)現(xiàn)組織圖的繪制。該方法屬于交互式的操作，仍需要人工參與繪圖過程，其繪圖效率的提高受到一定限制。許璀瑩等[8]研究了實(shí)口重緯結(jié)構(gòu)角聯(lián)鎖組織的交織規(guī)律，并探討了計(jì)算機(jī)輔助組織圖繪制過程。CHEN等[9]根據(jù)角聯(lián)鎖組織的交織規(guī)律開發(fā)了交織示意圖和組織圖的設(shè)計(jì)程序，通過輸入組織參數(shù)，實(shí)現(xiàn)了參數(shù)化繪圖，提高了繪圖效率。

上述研究表明，建立反映交織規(guī)律的織物組織矩陣模型是運(yùn)用計(jì)算機(jī)輔助織物組織設(shè)計(jì)的關(guān)鍵環(huán)節(jié)，目前雖然已有織物組織矩陣模型的報(bào)道，但涉及角聯(lián)鎖組織矩陣模型的研究尚不多見。本文以經(jīng)紗接結(jié)正則貫穿角聯(lián)鎖組織為例，探討無襯經(jīng)紗和有襯經(jīng)紗時(shí)矩陣模型及其生成算法，并給出無襯經(jīng)紗矩陣中第1接結(jié)經(jīng)紗列向量和有襯經(jīng)紗矩陣列向量的賦值算法，為提高該類組織設(shè)計(jì)效率提供了參考。

1 正則貫穿角聯(lián)鎖組織的交織規(guī)律

經(jīng)紗接結(jié)角聯(lián)鎖組織按交織方式可分為貫穿和層間角聯(lián)鎖2種。按照交織規(guī)律性，又可分為正則和變則角聯(lián)鎖2種。三維紡織復(fù)合材料增強(qiáng)體結(jié)構(gòu)中正則貫穿角聯(lián)鎖組織應(yīng)用較多，接結(jié)紗以一定的傾斜角貫穿整個(gè)織物厚度，與各層緯紗以角聯(lián)鎖狀交織，接結(jié)經(jīng)紗間交叉口填入緯紗。根據(jù)相鄰兩層緯紗中有無襯經(jīng)紗，正則貫穿角聯(lián)鎖又分為無襯經(jīng)紗和有襯經(jīng)紗2種情況，其交織示意圖如圖1所示。

圖1 正則角聯(lián)鎖組織交織示意圖Fig.1 Diagram of regular angle-interlock weave. (a) 4 layers no-filling warps; (b) 4 layers with filling warps; (c) 5 layers no-filling warps; (d) 5 layers with filling warps

為便于分析，對(duì)圖1中的標(biāo)記做如下規(guī)定：1)圖中圓圈、曲線和水平直線分別表示緯紗、接結(jié)經(jīng)紗和襯經(jīng)紗；2)每行圓圈代表1層緯紗，圓圈內(nèi)數(shù)字為緯紗序號(hào)，從上向下依次編號(hào)；3)左側(cè)數(shù)字代表接結(jié)經(jīng)紗序號(hào)，以最上一層緯紗接結(jié)經(jīng)紗從左到右出現(xiàn)順序依次編號(hào)；4)右側(cè)字符表示襯經(jīng)紗序號(hào)，相鄰2根接結(jié)經(jīng)紗間從上到下相鄰緯紗層間依次填入襯經(jīng)紗。

正則貫穿角聯(lián)鎖的組織圖可根據(jù)組織參數(shù)確定。分析圖1所示的交織規(guī)律可得到如圖2所示的組織圖。圖中緯紗與接結(jié)經(jīng)紗、襯經(jīng)紗交織處的經(jīng)組織點(diǎn)分別用“×”“■”表示，交織處的緯組織點(diǎn)均用“□”表示。

圖2 正則角聯(lián)鎖組織圖Fig.2 Weave diagram of angle-interlock. (a) 4 layers no-filling warps; (b) 4 layers with filling warps; (c) 5 layers no-filling warps; (d) 5 layers with filling warps

1.1 無襯經(jīng)紗角聯(lián)鎖組織交織規(guī)律

圖1(a)示出4層無襯經(jīng)紗的情況：1個(gè)完全組織循環(huán)包含5根接結(jié)經(jīng)紗，緯紗4層，每層5根，1個(gè)完全組織循環(huán)共20根緯紗。圖1(c)示出5層無襯經(jīng)紗的情況：1個(gè)完全組織循環(huán)包含6根接結(jié)經(jīng)，緯紗5層，每層6根，1個(gè)完全組織循環(huán)共30根緯紗。

令緯紗層數(shù)、完全組織經(jīng)紗數(shù)、完全組織緯紗數(shù)和接結(jié)經(jīng)紗間經(jīng)向飛數(shù)分別為n、RJ、RW和SJ，則由圖1(a)、(c)無襯經(jīng)紗角聯(lián)鎖組織的交織規(guī)律，RJ，RW，SJ分別滿足式(1)～(3)。

RJ=n+1

(1)

RW=n×(n+1)

(2)

SJ=n

(3)

圖2(a)、(c)所示的無襯經(jīng)紗角聯(lián)鎖組織圖有如下規(guī)律：各接結(jié)經(jīng)紗的交織規(guī)律一致；相鄰接結(jié)經(jīng)紗間滿足飛數(shù)關(guān)系。

1.2 有襯經(jīng)紗角聯(lián)鎖組織交織規(guī)律

圖1(b)示出4層有襯經(jīng)紗的情況：1個(gè)完全組織內(nèi)包含經(jīng)紗20根，其中5根接結(jié)經(jīng)分別為第1、5、9、13、17根經(jīng)紗，其余為襯經(jīng)紗，分5組每組3根(用f1、f2、f3表示)，分別位于相鄰接結(jié)經(jīng)紗間的相鄰緯紗層間；緯紗4層，每層5根，1個(gè)完全組織循環(huán)共20根緯紗。圖1(d)示出5層有襯經(jīng)紗的情況：1個(gè)完全組織內(nèi)包含經(jīng)紗30根，其中6根為接結(jié)經(jīng)，分別為第1、6、11、16、21、26根經(jīng)紗，其余為襯經(jīng)紗，分6組每組4根(用f1、f2、f3、f4表示)，分別位于相鄰接結(jié)經(jīng)紗間的相鄰緯紗層間；緯紗5層，每層6根，1個(gè)完全組織循環(huán)共30根緯紗。由圖1(b)、(d)有襯經(jīng)紗角聯(lián)鎖組織的交織規(guī)律，RJ、RW、SJ分別滿足式(4)～(6)。

RJ=n×(n+1)

(4)

RW=n×(n+1)

(5)

SJ=n

(6)

圖2(b)、(d)所示的有襯經(jīng)紗角聯(lián)鎖組織圖有如下規(guī)律：1)各根接結(jié)經(jīng)紗的交織規(guī)律一致； 2)相鄰接結(jié)經(jīng)紗間滿足飛數(shù)關(guān)系；3)一組襯經(jīng)紗內(nèi)的各襯經(jīng)紗的交織規(guī)律均不相同，但是每相鄰2根接結(jié)經(jīng)紗之間的各組對(duì)應(yīng)次序的襯經(jīng)紗交織規(guī)律一致。

2 正則角聯(lián)鎖矩陣模型及生成算法

根據(jù)正則貫穿角聯(lián)鎖組織的特點(diǎn)，可構(gòu)建矩陣A來表達(dá)交織規(guī)律，見式(7)。矩陣A的行數(shù)r、列數(shù)c分別為完全組織緯、經(jīng)紗數(shù)，即r=RW、c=RJ。為區(qū)別不同的組織點(diǎn)，式(7)中矩陣元素ai,j用不同的符號(hào)表示，本文用u、v分別表示接結(jié)經(jīng)紗與緯紗交織形成的經(jīng)、緯組織點(diǎn)，用g、h分別表示襯經(jīng)紗與緯紗交織形成的經(jīng)、緯組織點(diǎn)。

(7)

2.1 無襯經(jīng)紗角聯(lián)鎖矩陣模型及生成算法

根據(jù)圖2(a)所示無襯經(jīng)紗角聯(lián)鎖組織交織規(guī)律，其矩陣A的列數(shù)c=RJ、行數(shù)r=RW，分別按式(1)、(2)確定。矩陣A的列向量代表接結(jié)經(jīng)紗，其元素ai,j分別用u、v代表接結(jié)經(jīng)紗的經(jīng)、緯組織點(diǎn)。

無襯經(jīng)紗角聯(lián)鎖矩陣A的生成算法，實(shí)質(zhì)上是矩陣A中元素ai,j的產(chǎn)生過程。由于1個(gè)完全組織循環(huán)內(nèi)接結(jié)經(jīng)紗的交織規(guī)律一致，且相鄰接結(jié)經(jīng)紗的經(jīng)向飛數(shù)SJ與緯紗層數(shù)n間滿足式(3)，因此只需要確定第1接結(jié)經(jīng)紗的交織規(guī)律，就能按飛數(shù)SJ依次確定其他接結(jié)經(jīng)紗的交織規(guī)律，從而完成矩陣A的產(chǎn)生。具體生成算法包括3個(gè)步驟。

1)生成第1列接結(jié)經(jīng)紗的交織規(guī)律。

第1列接結(jié)經(jīng)紗的交織規(guī)律可參照式(8)、(9)的分式表示，其中式(8)表示緯紗層數(shù)n為偶數(shù)，式(9)表示緯紗層數(shù)n為奇數(shù)時(shí)的交織規(guī)律[6]。該方法有利于用計(jì)算機(jī)程序按列進(jìn)行矩陣賦值，可提高設(shè)計(jì)效率。

(8)

(9)

以圖1(c)所示為例，n=5，根據(jù)式(9)得出第1接結(jié)經(jīng)紗的交織規(guī)律如下：

2)生成矩陣A的第1列向量。

無襯經(jīng)紗矩陣A的第1列向量的元素ai,1賦值，可根據(jù)式(8)，或式(9)，從左到右依次從分子b、分母d取值，當(dāng)從分子b取值時(shí)，ai,1取u，當(dāng)從分母d取值時(shí)，ai,1取v，其滿足式(10)。

(10)

式中：b、d的下角標(biāo)x=0時(shí)，令b0=0，d0=0；i=1,2,…,r。

以第1對(duì)分子分母為例，當(dāng)0

3)生成矩陣A的其他列向量。

矩陣A的第2至c列，則按相鄰列間的飛數(shù)SJ關(guān)系[10]，運(yùn)用式(11)逐列進(jìn)行賦值。

(11)

式中：下標(biāo)i,j分別為矩陣元素的行序、列序；i=1,2,…,r；j=2,3,…,c；SJ為經(jīng)向飛數(shù)；RW為完全組織緯紗數(shù)。

由式(11)可知第j列向量可由第j-1列向量向上移動(dòng)SJ得到。當(dāng)滿足i+SJ≤RW，則將j-1列第i+SJ行元素都賦值給第j列第i行。當(dāng)滿足i+SJ>RW，則將j-1列第i+SJ-RW行元素都賦值給第j列第i行。以此類推完成矩陣A的全部元素賦值。

2.2 有襯經(jīng)紗角聯(lián)鎖矩陣模型及生成算法

對(duì)比圖2(b)和圖2(a)、圖2(d)和圖2(c)發(fā)現(xiàn)，有襯經(jīng)紗和無襯經(jīng)紗，在緯紗層數(shù)n相同時(shí)，接結(jié)經(jīng)紗與緯紗的交織規(guī)律完全一致。有襯經(jīng)紗相當(dāng)于在無襯經(jīng)紗的基礎(chǔ)上，相鄰接結(jié)經(jīng)紗間嵌入1組襯經(jīng)紗與緯紗交織構(gòu)成。令n層緯紗有襯經(jīng)紗角聯(lián)鎖組織矩陣為A，其列數(shù)c、行數(shù)r分別為SJ、RW，可按式(4)、(5)確定。整個(gè)矩陣A可看成由接結(jié)經(jīng)紗矩陣A1和襯經(jīng)紗矩陣A2組合構(gòu)成。其中矩陣A1分別用元素u、v代表接結(jié)經(jīng)與緯紗交織形成的經(jīng)、緯組織點(diǎn)。矩陣A2分別用元素g、h代表襯經(jīng)紗與緯紗交織形成的經(jīng)、緯組織點(diǎn)。矩陣A1的行數(shù)r1=n(n+1)，列數(shù)c1=n+1。矩陣A2的行數(shù)r2=n(n+1)、列數(shù)c2=n-1。

矩陣A可由矩陣A1的列向量之間分別嵌入矩陣A2構(gòu)成，具體生成算法分3個(gè)步驟。

1)生成接結(jié)經(jīng)紗矩陣A1。矩陣A1可根據(jù)2.1節(jié)建立。

2)生成襯經(jīng)紗矩陣A2。根據(jù)圖2(b)、(d)的交織規(guī)律，矩陣A2可先將第1列，按式(12)進(jìn)行賦值，然后第2列在第1列的基礎(chǔ)上按式(13)賦值，以此類推，后一列在前一列的基礎(chǔ)上，奇數(shù)列按式(12)賦值，偶數(shù)列按式(13)賦值，最終得到矩陣A2。

(12)

式中：k=1,2,…；j=1,3,5,…。

(13)

式中：int為截尾取整計(jì)算；k=1,2,…；j=2,4,6,…。

3)生成有襯經(jīng)紗角聯(lián)鎖矩陣A。根據(jù)接結(jié)經(jīng)紗矩陣A1和襯經(jīng)紗矩陣A2，按照式(14)相互嵌入，建立矩陣A：

(14)

式中：A(：，j)為矩陣A第j列向量；A1(：，l)為矩陣A1第l列向量，l=1,2,…,c1；A2(：，m)為矩陣A2第m列向量，m=1,2,…,c2。

3 矩陣生成算法驗(yàn)證

以圖2(b)所示為例，驗(yàn)證矩陣A的生成算法。

3.1 接結(jié)經(jīng)紗矩陣A1生成

由層數(shù)n=4，根據(jù)式(4)～(6)，得到RJ=20，RW=20，SJ=4，則矩陣列數(shù)c1=20，行數(shù)r1=20。n為偶數(shù)緯紗層數(shù)，首先按式(8)得到第1接結(jié)經(jīng)紗交織規(guī)律：

根據(jù)第1經(jīng)紗交織規(guī)律，由式(10)依次帶入i=1,2，…，r1得到矩陣A1的第1列向量ai,1。再由式(11)，依次帶入j=2,3,4,5，得到矩陣A1的第2至第5列向量，ai,2，ai,3，ai,4，ai,5，如圖3所示。

3.2 襯經(jīng)紗矩陣A2生成

由2.2節(jié)可知，層數(shù)n=4，襯經(jīng)紗矩陣A2的行數(shù)r2=20，列數(shù)c2=3。矩陣A2的奇數(shù)列、偶數(shù)列分別由式(12)、(13)得到。按照式(12)，帶入j=1可得出ai,1在i為1、5、9、13、17時(shí)取h，其他位置時(shí)取g。將ai,1賦值給ai,2，按照式(13)，帶入j=2可得出ai,2在i為3、7、11、15、19時(shí)取h。將ai,2賦值給ai,3，按照式(12)，帶入j=3可得出ai,3在i為2、6、10、14、18時(shí)取h。最終得到圖3所示的襯經(jīng)紗矩陣A2。

3.3 有襯經(jīng)紗角聯(lián)鎖矩陣A生成

如圖3所示，先將接結(jié)經(jīng)紗矩陣A1放入矩陣A。由式(14)可知，n=4，l分別帶入1、2、3、4、5時(shí)，j分別為1，5，9，13，17，即矩陣A的第1、5、9、13、17列分別等于矩陣A1的第1、2、3、4、5列。再將襯經(jīng)紗矩陣A2放入矩陣A。由式(14)可知：當(dāng)n=4，l=1時(shí)，m分別取1、2、3，得到j(luò)分別為2，3，4，即矩陣A2的第1、2、3列分別賦值給矩陣A的第2、3、4列；當(dāng)n=4，l=2時(shí)，m分別取1、2、3時(shí)，得到j(luò)分別為6、7、8，即矩陣A2的第1、2、3列分別賦值給矩陣A的第6、7、8列。重復(fù)上述過程，可產(chǎn)生矩陣A的所有列。

圖3 4層有襯經(jīng)紗正則角聯(lián)鎖組織矩陣
Fig.3 Weave matrix of four layers regular angle-interlock with filling warps

上述驗(yàn)證表明，本文給出的正則貫穿角聯(lián)鎖組織矩陣生成算法是正確的。

4 結(jié)束語

本文以經(jīng)紗接結(jié)正則貫穿角聯(lián)鎖組織為例建立了：1)無襯經(jīng)紗和有襯經(jīng)紗正則貫穿角聯(lián)鎖組織矩陣模型；2)提出了無襯經(jīng)紗正則貫穿角聯(lián)鎖組織矩陣中第1接結(jié)經(jīng)紗列向量的賦值算法，并給出利用飛數(shù)關(guān)系的矩陣生成算法，通過輸入緯紗層數(shù)即可根據(jù)上述算法產(chǎn)生對(duì)應(yīng)的組織矩陣；3)提出了有襯經(jīng)紗正則貫穿角聯(lián)鎖組織矩陣中襯經(jīng)紗矩陣列向量的賦值算法，并給出通過接結(jié)經(jīng)紗矩陣和襯經(jīng)紗矩陣嵌入的矩陣生成算法，通過輸入緯紗層數(shù)即可根據(jù)上述算法產(chǎn)生對(duì)應(yīng)的組織矩陣。

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