一種基于多卷保守混沌系統(tǒng)的偽隨機(jī)信號發(fā)生器的設(shè)計(jì)及實(shí)現(xiàn)

賈紅艷，李 偉，劉靖雯

(天津科技大學(xué)電子信息與自動化學(xué)院，天津 300222)

偽隨機(jī)序列產(chǎn)生技術(shù)是集數(shù)學(xué)、計(jì)算機(jī)科學(xué)、電子與通信科學(xué)等諸多學(xué)科于一身的技術(shù)，該產(chǎn)生技術(shù)自20 世紀(jì)末至今一直是國內(nèi)外的研究熱點(diǎn)，并取得了大量的成果[1-2]。混沌系統(tǒng)的偽隨機(jī)性、寬帶功率譜、對初值敏感性等特性表明它能夠有效地產(chǎn)生偽隨機(jī)信號[3-6]。由混沌系統(tǒng)迭代產(chǎn)生的序列經(jīng)量化和判決后可得到偽隨機(jī)序列，其主要優(yōu)點(diǎn)是具有良好的相關(guān)特性以及對初始條件和控制參數(shù)的敏感性，同時(shí)該偽隨機(jī)序列便于產(chǎn)生和復(fù)制，因而可以取代傳統(tǒng)的偽隨機(jī)序列[7-11]。最初，基于混沌系統(tǒng)產(chǎn)生的偽隨機(jī)信號通常由模擬電路產(chǎn)生，常用于保密通信研究。然而，模擬電路的元器件易受溫度、外界磁場強(qiáng)度等因素影響，影響了偽隨機(jī)信號的性能[12-14]。近幾年，隨著電子技術(shù)的快速發(fā)展，使利用數(shù)字電路設(shè)計(jì)偽隨機(jī)信號發(fā)生器成為可能?，F(xiàn)場可編程門陣列(FPGA)作為數(shù)字混沌電路的有效實(shí)現(xiàn)方法之一，能夠很好地解決模擬電路中存在的問題[15-19]。目前，F(xiàn)PGA 被大量使用在通信設(shè)備上，通過FPGA 設(shè)計(jì)基于混沌系統(tǒng)的偽隨機(jī)信號發(fā)生器，可以為保密通信提供新的物理模型[20-25]。另外，與單卷或雙卷保守混沌系統(tǒng)相比，多卷保守混沌系統(tǒng)具有遍歷性和復(fù)雜性好、偽隨機(jī)性強(qiáng)，且混沌序列類似于均勻分布白噪聲等優(yōu)點(diǎn)，更適合用于保密通信[26-30]。因此，本文提出一種多卷保守混沌系統(tǒng)，在對其特性進(jìn)行分析的基礎(chǔ)上，利用FPGA 技術(shù)設(shè)計(jì)偽隨機(jī)信號發(fā)生器，進(jìn)一步豐富現(xiàn)有混沌系統(tǒng)模型與偽隨機(jī)信號發(fā)生器種類。

1 多卷保守混沌模型

1.1 一種多卷保守混沌系統(tǒng)

基于現(xiàn)有哈密頓保守混沌系統(tǒng)理論基礎(chǔ)，提出混沌系統(tǒng)模型，為

式中：x、y、z、w 為狀態(tài)變量，a、b、c、d 為大于0 的參數(shù)。

改變參數(shù)d 的值可以控制系統(tǒng)相圖渦卷中心點(diǎn)的位置。通過改變系統(tǒng)哈密頓能量的不變曲面拓展平衡點(diǎn)，理論上能夠得到任意卷數(shù)的混沌流，但實(shí)際實(shí)施起來的難度隨著卷數(shù)的增加而增大。因此本文選取固定參數(shù)a= 6、b = 4、c = 6、d = 1.2，繪制2 ×3六卷保守混沌流。

時(shí)，系統(tǒng)可以表示為

可以觀察到系統(tǒng) J ( x) 為反對稱矩陣，即哈密頓能量的導(dǎo)數(shù)為

即，哈密頓能量為常數(shù)，說明系統(tǒng)(1)滿足哈密頓能量保守。

進(jìn)一步發(fā)現(xiàn)，系統(tǒng)的散度為

即，散度為零，說明系統(tǒng)(1)同時(shí)滿足體積保守。

1.2 基本動力學(xué)特性

從數(shù)值角度研究系統(tǒng)的動力學(xué)特性，當(dāng)系統(tǒng)哈密頓能量為常數(shù)即導(dǎo)數(shù)為零時(shí)，表明系統(tǒng)哈密頓能量保守。系統(tǒng)(1)哈密頓能量只與參數(shù)和初值有關(guān)，設(shè)定初值 x( 0) = y ( 0) = w( 0) = z (0) = 1.8時(shí)，計(jì)算哈密頓能量H ( x ) ≈-3.26。繪制系統(tǒng)(1)的哈密頓能量及其導(dǎo)數(shù)隨時(shí)間t 的變化如圖1 所示，可以觀察到哈密頓能量為非零常數(shù)，哈密頓能量的導(dǎo)數(shù)為零，即系統(tǒng)(1)的哈密頓能量保守。

圖1 哈密頓能量及其導(dǎo)數(shù)圖Fig.1 Hamiltonian energy and its derivatives

為了進(jìn)一步研究參數(shù)變化對系統(tǒng)動力學(xué)特性的影響。繪制 y( 0) = w( 0) = z (0) = 1.8時(shí)，系統(tǒng)的李雅普諾夫指數(shù)隨 x (0)變化的圖像，結(jié)果如圖2 所示。其中，EL1、EL2、EL3、EL4分別表示x、 y 、 z 、 w 4 個(gè)狀態(tài)變量的李雅普諾夫指數(shù)?？梢杂^察到系統(tǒng)(1)最大李雅普諾夫指數(shù)大于零，即在相應(yīng)初值條件下系統(tǒng)處于混沌狀態(tài)，且李雅普諾夫指數(shù)關(guān)于x 軸對稱，表明李雅普諾夫指數(shù)和為0。進(jìn)一步從李雅普諾夫指數(shù)角度說明系統(tǒng)(1)相體積保守。繪制同等條件下系統(tǒng)(1)的分岔圖，如圖3 所示。

圖2 李雅普諾夫指數(shù)圖Fig.2 Diagram of Lyapunov exponents

圖3 分岔圖Fig.3 Bifurcation diagram

根據(jù)對系統(tǒng)的哈密頓能量、李雅普諾夫指數(shù)圖與分岔圖進(jìn)行分析，當(dāng)初值為(1.8，1.8，1.8，1.8)時(shí)，系統(tǒng)處于保守混沌狀態(tài)，繪制系統(tǒng)的相軌跡圖如圖4 所示，可以觀察到此時(shí)系統(tǒng)為分別沿x、y 方向的2 ×3 六卷保守混沌流。當(dāng)初值為(0.3，1.8，1.8，1.8)時(shí)，系統(tǒng)處于擬周期狀態(tài)，繪制系統(tǒng)的相軌跡圖如圖5 所示。

圖4 初值為(1.8，1.8，1.8，1.8)時(shí)系統(tǒng)的相軌跡圖Fig.4 Phase trajectory diagram of the system with initial values of(1.8，1.8，1.8，1.8)

圖5 初值為(0.3，1.8，1.8，1.8)時(shí)系統(tǒng)的相軌跡圖Fig.5 Phase trajectory diagram of the system with initial values of(0.3，1.8，1.8，1.8)

2 偽隨機(jī)性測試

采用最具代表性且被普遍認(rèn)可的美國國家標(biāo)準(zhǔn)技術(shù)研究所(NIST)SP800-22 測試標(biāo)準(zhǔn)進(jìn)行偽隨機(jī)性測試。該標(biāo)準(zhǔn)將理想的隨機(jī)序列作為參考，在統(tǒng)計(jì)特性上從不同角度檢驗(yàn)?zāi)繕?biāo)偽隨機(jī)序列的偏離程度，其中包括15 項(xiàng)測試指標(biāo)。15 項(xiàng)測試結(jié)果均用P 值表示，能通過測試的序列具有良好的偽隨機(jī)性能。

所有測試均取顯著性水平α= 0.01，測試序列15組，可定義通過率的置信區(qū)間為(0.970 2，1.009 8)。通常只有滿足以下3 個(gè)條件時(shí)，才能通過測試：(1)每一項(xiàng)測試結(jié)果的 P 值都大于顯著性水平(α= 0.01)；(2)測試序列的通過率位于置信區(qū)間(0.970 2，1.009 8)內(nèi)；(3)P 值的分布應(yīng)該服從均勻性分布。

數(shù)據(jù)測試結(jié)果見表1。通過表1 的各項(xiàng)測試結(jié)果數(shù)據(jù)可以看出，系統(tǒng)(1)的15 項(xiàng)測試的P 值均大于顯著性水平(α= 0.01)，并且系統(tǒng)(1)的15 項(xiàng)測試的通過率均位于置信區(qū)間內(nèi)，因此該系統(tǒng)滿足條件(1)和條件(2)。15 組數(shù)據(jù)P 值均應(yīng)服從均勻性分布，本文以非重疊模塊匹配檢驗(yàn)P 值為例進(jìn)行驗(yàn)證，P 值分布的直方圖如圖6 所示。由圖6 可以觀察到非重疊模塊匹配檢驗(yàn)P 值的分布相對均勻，無分布差距比較明顯的區(qū)間，即滿足條件(3)。

表1 數(shù)據(jù)測試結(jié)果Tab.1 Test results for the data

圖6 非重疊模塊匹配P 值的分布Fig.6 Distribution of matching P-values of nonoverlapping modules

3 偽隨機(jī)信號發(fā)生器物理實(shí)現(xiàn)

FPGA 具有非常豐富的運(yùn)算單元，運(yùn)算速度極快。目前，通過FPGA 技術(shù)實(shí)現(xiàn)連續(xù)混沌系統(tǒng)的方法主要包含兩種。

(1)利用FPGA 特有的編程語言Verilog HDL、System Verilog、VHDL 對混沌系統(tǒng)進(jìn)行描述，編寫程序完成對混沌系統(tǒng)的物理實(shí)現(xiàn)。

(2)使用Xilinx 公司提供的System generator 技術(shù)或者Intel 公司提供的DSP-builder 技術(shù)，在MATLAB 的Simulink 開發(fā)環(huán)境下，從上述兩項(xiàng)技術(shù)的軟件庫中調(diào)取現(xiàn)有的硬件模塊，搭建離散化后的混沌系統(tǒng)模型。

第一種方法程序編寫十分困難，且產(chǎn)生的混沌信號不能被其他系統(tǒng)模塊直接調(diào)用，不利于后續(xù)再進(jìn)行其他研究；第二種方法不需要太多的編程基礎(chǔ)，容易實(shí)現(xiàn)。本文系統(tǒng)結(jié)構(gòu)相對簡單，不需要占用太多硬件資源，因此采用第二種方法對混沌系統(tǒng)進(jìn)行物理意義上的實(shí)現(xiàn)，驗(yàn)證其物理可實(shí)現(xiàn)性且產(chǎn)生偽隨機(jī)信號。在設(shè)計(jì)電路模型時(shí)，采用歐拉法對系統(tǒng)進(jìn)行離散化。

式中：Δ T= 0.001，為離散采樣時(shí)間；x ( n )、 y ( n )、z ( n )、 w( n )為當(dāng)前時(shí)間的迭代序列； x ( n+ 1)、y( n+1) 、z( n+1) 、w ( n+1) 為下一周期的迭代序列。

對離散化后的系統(tǒng)進(jìn)行物理仿真，在Simulink中搭建初值為(1.8，1.8，1.8，1.8)時(shí)系統(tǒng)的電路模型，如圖7 所示。子模塊1 的電路模型如圖8 所示，子模塊2、3 的電路模型如圖9 所示。

圖7 系統(tǒng)的電路模型Fig.7 Circuit model for the system

圖8 子模塊1的電路模型Fig.8 Circuit model for the subsystem 1

圖9 子模塊2、3的電路模型Fig.9 Circuit model for the subsystems 2 and 3

圖7在示波器觀察到隨時(shí)間變化且無序的隨機(jī)信號，截取其中一段y 信號波形圖如圖10 所示，同時(shí)觀察到相軌跡圖與數(shù)值分析結(jié)果一致，如圖11 所示。

圖10 通過示波器觀察到的波形圖Fig.10 Oscillogram observed by an oscilloscope

圖11 通過示波器觀察到的相軌跡圖Fig.11 Phase trajectory diagram observed by an oscilloscope

4 結(jié) 語

本文提出一種保守混沌系統(tǒng)模型，該系統(tǒng)具有很好的遍歷性與偽隨機(jī)性，同時(shí)滿足哈密頓能量守恒與體積守恒。通過NIST 測試驗(yàn)證了該系統(tǒng)能夠產(chǎn)生符合3 個(gè)標(biāo)準(zhǔn)條件的偽隨機(jī)信號。利用FPGA 技術(shù)設(shè)計(jì)了實(shí)現(xiàn)該系統(tǒng)的混沌電路，觀察實(shí)驗(yàn)結(jié)果與數(shù)值仿真結(jié)果完全相同。本研究為混沌系統(tǒng)應(yīng)用研究提供了一種新的保守混沌系統(tǒng)模型及偽隨機(jī)信號發(fā)生器，進(jìn)一步豐富了基于保守混沌系統(tǒng)的偽隨機(jī)信號發(fā)生器的種類。