加權(quán)變指標(biāo)極大Herz型空間的對偶空間

周夢,王英杰,湯燦琴

(大連海事大學(xué)理學(xué)院,遼寧 大連 116026)

對變指標(biāo)函數(shù)空間的研究將發(fā)展和完善函數(shù)空間理論體系,具有十分重要的理論意義;同時也在電變流體、圖像恢復(fù)及其他適合非標(biāo)準(zhǔn)增長條件的方程模型[1]等領(lǐng)域中具有廣泛的應(yīng)用。

1992年,Iwaniec和Sbordone[13]在有界集上引入極大Lebesgue空間Lp)(n),并將此空間應(yīng)用到微分方程中。自此以后,極大Lebesgue空間的理論也在逐步發(fā)展。1997年,Greco等[14]將此空間推廣到廣義極大Lebesgue空間Lp),θ(n)。作為極大空間的對偶空間,極小空間也有其重要位置。2000年,Fiorenza[15]通過極大空間對偶性的研究,首次刻畫了極小空間。Claudia等[16]隨后推廣了此結(jié)論。在最近幾年的研究中,Rafeiro等[17]引入了極大Lebesgue序列空間lp),θ(n),Nafis等[18]研究了某類次線性算子在極大變指標(biāo)Herz空間n)上的有界性,他們還進(jìn)一步獲得了Marcinkiewicz積分算子在變指標(biāo)Herz空間上的有界性[19]。最近關(guān)于此類空間的研究結(jié)論層出不窮,比如極大Herz空間[20-21]、極大Morrey空間[22]、極大Herz-Morrey空間[23]等。

1 預(yù)備知識

在本節(jié),我們首先回憶一些基本記號、定義和所需引理。在本文中,對于任意的k∈,令Bk={x∈n:|x|≤2k},且Rk=BkBk-1。為方便起見,我們記χk=χRk且χ0=χB0,其中χE為集合E的特征函數(shù)。

若q(·):n→[1,∞)是可測函數(shù),設(shè)

若可測函數(shù)q(·)滿足 0

Lq(·)(n):={f:存在λ>0使得q(·)(|f(x)|/λ)<∞},

下面是變指標(biāo)Lebesgue空間的H?lder不等式。

引理1[7]令q(·)∈(n),則對f∈Lq(·)(n)和g∈Lq′(·)(n),有

其中

在介紹加權(quán)變指標(biāo)Herz空間以前,我們需要先給出變指標(biāo)的正則性條件。

令r(·)∈(n),若存在C>0,使得對任意有

則稱r(·)是局部log-H?lder連續(xù)。

若存在C>0,使得

則稱r(·)在原點(diǎn)處log-H?lder連續(xù)。

若存在r∞∈和常數(shù)C>0,使得

則稱r(·)在無窮遠(yuǎn)處log-H?lder連續(xù)。

接著來回憶權(quán)函數(shù)的基本知識。對于任意的10,使得對n中的每個球B,都有

則稱ω為變指標(biāo)的Muckenhoupt權(quán)函數(shù),并記為ω∈q(·)。顯然若ω∈q(·),則ω-1∈q′(·)。

基于變指標(biāo)權(quán)函數(shù),我們接著陳述變指標(biāo)加權(quán)Lebesgue空間和Herz空間的定義及相關(guān)性質(zhì)。

定義1[25]令q(·)∈(n),ω∈q(·)則

變指標(biāo)加權(quán)Lebesgue空間Lq(·)(ω)定義為

Lq(·)(ω):={f:fω∈Lq(·)(n)},

其中

定義2[12]令0

其中

其中

為完成本文主要結(jié)論的證明,我們需要變指標(biāo)加權(quán)Herz空間的等價定義,即為文獻(xiàn)[12]中引理3.6.1中p(·)≡p的特殊情形。

引理3[12]令1≤p<∞,α(·)∈L∞(n),q(·)∈(n)且ω∈q(·),若n),則

最后,我們將對極大空間做簡單回顧。設(shè)lp()為集合={xk}k∈組成的p次可求和的序列空間,其范數(shù)定義為

定義3[17]令1≤p<∞且θ>0。極大Lebesgue序列空間lp),θ()定義為,其范數(shù)滿足

lp(1-ε)?lp?lp),θ1?lp),θ2?lp(1+δ)。

類似于文獻(xiàn)[19]中的極大Herz空間,我們將定義加權(quán)空間如下。

定義4令1≤p<∞,θ>0,α(·)∈L∞(n),q(·)∈(n)且ω∈q(·),

定義為

其中

其中

引理4令1≤p<∞,θ>0,α(·)∈L∞(n),q(·)∈(n)且ω∈q(·),則

且

類似于文獻(xiàn)[16]和文獻(xiàn)[26],可以定義加權(quán)的極小變指標(biāo)Herz空間如下。

定義5令1≤p<∞,θ>0,α(·)∈L∞(n),q(·)∈(n)且ω∈q(·)。定義齊次加權(quán)變指標(biāo)極小Herz空間為

2 加權(quán)的齊次變指標(biāo)極大Herz空間的對偶空間

在本節(jié)中,我們將討論加權(quán)的齊次變指標(biāo)極大Herz空間的對偶空間,陳述本文主要定理結(jié)論之一并加以證明。事實(shí)上,對于非齊次情形也有類似結(jié)論,我們這里舍去這部分證明。

(1)

若λk≠0,通過(1)式,就有

因此

對任意ε>0,就有

從而

引理5的證明就此完成。

利用上述定義,我們可以建立加權(quán)的齊次變指標(biāo)極大Herz空間與極小Herz空間的對偶關(guān)系。

定理1令1≤p<∞,θ>0,α(·)∈L∞(n),q(·)∈(n)且ω∈q(·),則有

證明要完成定理證明,即需分別證明

和

則fj∈[Lq(·)(ω)]′=Lq′(·)(ω-1)。因此

對每一個j∈,設(shè)

即

從而可以推出

實(shí)際上,這說明

進(jìn)一步,我們有

因此

對每一個ε>0,若M,N→∞,則

所以

至此,我們完成了整個定理1的證明。

3 某類次線性算子在加權(quán)變指標(biāo)極大Herz空間上的有界性

(2)

其中f是具有緊支集的可積函數(shù)。事實(shí)上,這個尺寸條件(2)由Soria等[27]首次引入,它包含了H-L極大算子等調(diào)和分析中一些經(jīng)典算子,因此它在各類函數(shù)空間上的有界性成為大家關(guān)注的焦點(diǎn)。在本節(jié)中,作為加權(quán)的變指標(biāo)極大Herz空間的簡單應(yīng)用,我們將討論滿足此尺寸條件的次線性算子在此類空間上的有界性質(zhì)。

E1+E2。

首先,利用Minkowski不等式將E1分解,則

E1,1+E1,2+E1,3。

對于E1,1,注意到對l≤k-2,x∈Rk且y∈Rl,有|x-y|≥|x|-|y|≥C2k,由尺寸條件(2)和引理1,有

繼續(xù)使用引理2,可以推出

因?yàn)閚δ2-α(0)>0, 根據(jù)H?lder不等式和Fubini定理,可以推出

接著來估計E1,2,由T在Lq(·)(ω)上的有界性,容易得到

下面輪到E1,3部分。因?yàn)閘≥k-2,x∈Rk且y∈Rl,所以|x-y|≥C2l。從而

且

2(k-l)nδ1。

由上面得到的估計和Minkowski不等式,有

A1的估計和E1,1是類似的,即

A2的估計可由H?lder不等式得到, 也就是說

最后,類似于E1的證明,只需將證明過程中的α(0)替換為α∞,因此,下面E2的估計是自然的。

綜合E1,E2兩部分的估計,就有

定理2的證明就此完成。

當(dāng)ω=1且α(·)=α?xí)r,定理2的結(jié)論與文獻(xiàn)[18]中定理4.1一致。