在試題中分析高中數(shù)學(xué)“余弦定理”概念學(xué)習(xí)的有效方法

摘 要：在高中數(shù)學(xué)教學(xué)過程中，教師基于余弦定理概念，引導(dǎo)學(xué)生掌握解決實(shí)際問題的學(xué)習(xí)方法，促進(jìn)學(xué)生全面了解余弦的定義、余弦值的計(jì)算公式等基礎(chǔ)知識(shí).通過教師的講解和課本中的公式推導(dǎo)，學(xué)生了解余弦定理的基本概念和推導(dǎo)過程，掌握了余弦值的計(jì)算原理和方法.教師在高中數(shù)學(xué)試題分析中尋求優(yōu)化的解決方法，可以更好地提高學(xué)生的數(shù)學(xué)綜合素養(yǎng)和能力.

關(guān)鍵詞：高中數(shù)學(xué)；概念學(xué)習(xí)；有效方法

高中數(shù)學(xué)余弦定理概念的學(xué)習(xí)可以提高學(xué)生的幾何思維能力和解決實(shí)際問題的應(yīng)用能力，教師引導(dǎo)學(xué)生掌握好余弦定理概念，有助于提高學(xué)生的數(shù)學(xué)成績(jī)，還能為后續(xù)的高中、大學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)和應(yīng)用打下堅(jiān)實(shí)的基礎(chǔ).

1 回顧課堂講解、練習(xí)題解答過程

在“雙減”政策背景下，高中數(shù)學(xué)教師引導(dǎo)學(xué)生在課堂上學(xué)習(xí)余弦定理概念，需要不斷地總結(jié)和回顧理解余弦定理框架知識(shí)點(diǎn)，通過學(xué)習(xí)余弦定理掌握其難點(diǎn)和重點(diǎn)，以便學(xué)生更好地掌握和鞏固數(shù)學(xué)概念，教師組織學(xué)生小組合作學(xué)習(xí)與交流，拓寬學(xué)生學(xué)習(xí)的思路和知識(shí)面.［1］

首先，教師利用課前、課中、課后回顧課堂講解的內(nèi)容，定期復(fù)習(xí)，幫助學(xué)生鞏固和記憶高中數(shù)學(xué)余弦定理概念學(xué)習(xí)的有效方法，包括理解基本概念、構(gòu)建幾何模型、實(shí)踐應(yīng)用、總結(jié)回顧、尋求幫助和定期復(fù)習(xí)等步驟，促進(jìn)學(xué)生在課堂試題分析中循序漸進(jìn)掌握和鞏固余弦定理的概念.

其次，教師講解余弦定理試題過程中，描述了三角形中三邊長(zhǎng)度之間的余弦值及常見變形的關(guān)系，余弦定理的一般形式為cosA=b2+c2-a22bc，其中，a，b，c分別代表三角形的三邊長(zhǎng)度，而A是三角形中的一個(gè)內(nèi)角.這個(gè)定理表明，在三角形中，任意兩邊之和大于第三邊，而邊長(zhǎng)的比例關(guān)系可以通過∠A的余弦值得到.常見的余弦定理變形，根據(jù)余弦定理的逆定理計(jì)算得出結(jié)果，可以通過兩邊之和大于第三邊的關(guān)系，確定一個(gè)三角形是否存在，同時(shí)對(duì)比正弦定理和余弦定理的形式，使得學(xué)生掌握正弦定理靈活應(yīng)用于任意形狀的三角形，而余弦定理則適用于已知三邊長(zhǎng)度的情況.教師引導(dǎo)學(xué)生掌握和應(yīng)用余弦定理及其變形，幫助學(xué)生更好地理解和應(yīng)用與幾何學(xué)相結(jié)合的基礎(chǔ)知識(shí).

最后，教師給學(xué)生講解有關(guān)三角形的隱含條件：三角形必須有三條邊；三角形的三個(gè)內(nèi)角和為180度；三角形中任意兩邊之和大于第三邊；三角形中不可能三個(gè)內(nèi)角都大于90度；三角形中任意一個(gè)角的外角，等于它不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角的和.這些條件是三角形的基本屬性，也是三角形的隱含條件，理解并遵守這些隱含條件是解決與三角形相關(guān)的問題的基礎(chǔ).

2 探究正弦定理、余弦定理及其常見變形試題的知識(shí)梳理

正弦定理、余弦定理及其常見變形是三角學(xué)的基礎(chǔ)知識(shí)，也是解決幾何、物理、工程和技術(shù)等領(lǐng)域問題的關(guān)鍵工具.在高中數(shù)學(xué)教學(xué)與實(shí)踐過程中，教師深入理解具體問題，巧設(shè)趣味性教學(xué)，幫助學(xué)生進(jìn)一步掌握正弦定理、余弦定理概念的同時(shí)，促進(jìn)學(xué)生在試題解題過程中養(yǎng)成主動(dòng)探究學(xué)習(xí)意識(shí)及習(xí)慣.通過梳理數(shù)學(xué)知識(shí)中各類三角形中的應(yīng)用部分，引導(dǎo)學(xué)生深入理解其定理，更好地解決與三角形相關(guān)的各種試題及問題.［2］

2.1 正弦定理

正弦定理主要應(yīng)用于解直角三角形，可以幫助學(xué)生確定一個(gè)角的正弦值，進(jìn)而解決與之相關(guān)的各種問題.在一個(gè)三角形中，各邊和它所對(duì)角的正弦比相等，即a/sin A=b/sin B=c/sin C.

教師與學(xué)生在互動(dòng)課堂上小組合作學(xué)習(xí)與反思，從中感悟領(lǐng)會(huì)了已知一個(gè)含邊和三角函數(shù)的關(guān)系式時(shí)，可以考慮將正弦值與邊利用正弦定理進(jìn)行互化.如果存在邊與邊之間的平方關(guān)系式，那么通常會(huì)使用余弦定理來求解，能夠提高解題的效率和準(zhǔn)確性.

2.2 余弦定理

余弦定理可以用于解任意三角形，為其提供了計(jì)算三角形周長(zhǎng)和面積的方法，有助于學(xué)生更好地認(rèn)識(shí)三角形的性質(zhì).在一個(gè)三角形中，任何一邊的平方等于其他兩邊平方和減去這兩邊與它們夾角的余弦值乘積的兩倍，即cosC=a2+b2-c22ab.

2.3 常見的變形

首先，正弦定理和余弦定理可以通過對(duì)角度的取整或取小來變形，利用三角形內(nèi)角和定理推導(dǎo)出的各種輔助線或三角形內(nèi)角的常用度數(shù)關(guān)系等，這些變形在實(shí)際應(yīng)用中具有很高的價(jià)值，促進(jìn)學(xué)生熟練掌握其定理提高對(duì)三角形解法的認(rèn)識(shí)，更好地解決實(shí)際應(yīng)用問題.

其次，在判斷三角形的形狀時(shí)，可以從兩個(gè)方向進(jìn)行變形：一是通過邊進(jìn)行代數(shù)變形，通常使用正弦定理和余弦定理；二是通過角進(jìn)行三角變換，利用三角函數(shù)公式進(jìn)行轉(zhuǎn)換.高考試題重點(diǎn)考查的是三角變換，因此在解決此類問題時(shí)，可以先考慮將邊轉(zhuǎn)化為角，如果這種方法無法解決問題，再考慮將角轉(zhuǎn)化為邊，但計(jì)算量通常較大.在處理過程中，需要注意公式的適用條件和精度要求，以確保結(jié)果的準(zhǔn)確性.

再次，證明三角恒等式可以通過多種方式進(jìn)行，常見的方式有以下三種：左右，右左或左中右.其中，左右和右左的證明方法較為常見，主要是通過對(duì)已知條件進(jìn)行等價(jià)轉(zhuǎn)化來證明恒等式，而左中右的證明方法則需要借助一些輔助條件，通常需要用到一些定理或公式.同時(shí)，教師利用正、余弦定理證明三角形中的恒等式有兩種途徑：一是將角的關(guān)系轉(zhuǎn)化為邊的關(guān)系，二是將邊的關(guān)系轉(zhuǎn)化為角的關(guān)系，通常需要借助正弦定理進(jìn)行轉(zhuǎn)化.具體來說，教師引導(dǎo)學(xué)生分類討論學(xué)習(xí)正、余弦定理求出三角形中各邊的長(zhǎng)度關(guān)系，再利用這些長(zhǎng)度關(guān)系推導(dǎo)出恒等式的結(jié)論.［3］另外，也可以直接根據(jù)正弦、余弦定理中的公式進(jìn)行推導(dǎo)，從而得到恒等式的證明.

最后，教師帶領(lǐng)學(xué)生進(jìn)行隨堂演練，在核心素養(yǎng)背景下培養(yǎng)學(xué)生通過直觀想象力，構(gòu)造三角形試題解題能力.

3 結(jié)語

綜上所述，在高中數(shù)學(xué)教學(xué)中，教師應(yīng)結(jié)合學(xué)生的實(shí)際學(xué)情，在學(xué)習(xí)余弦定理之前，引導(dǎo)學(xué)生主動(dòng)探索學(xué)習(xí)方法.同時(shí)，教師要引導(dǎo)學(xué)生閱讀理解余弦定理的含義和用途，幫助學(xué)生構(gòu)建幾何模型來學(xué)習(xí)余弦定理的有效方法.通過引導(dǎo)學(xué)生完成相關(guān)的練習(xí)題、參與小組討論或?qū)嵺`操作等方式，將學(xué)生的理論知識(shí)轉(zhuǎn)化為實(shí)際應(yīng)用能力.

參考文獻(xiàn)

［1］劉宗海.核心素養(yǎng)視角下高中數(shù)學(xué)教學(xué)中如何培養(yǎng)學(xué)生的主體參與意識(shí)［J］.新課程（教研版），2021（23）：37.

［2］劉勝強(qiáng).核心素養(yǎng)視角下高中數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)教學(xué)策略探析［J］.試題與研究，2023（29）：191-193.

［3］李鈺.分類討論思想在高中數(shù)學(xué)解題訓(xùn)練中的實(shí)踐運(yùn)用［J］.數(shù)理天地（高中版），2023（21）：65-66.