新高考數(shù)學(xué)填空壓軸題賞析

新高考數(shù)學(xué)試卷的填空題僅有3道，分別為第12、13、14題，填空壓軸題主要是指第14題，但個(gè)別的第13題也并不容易。結(jié)合對(duì)近幾年的教育部聯(lián)考調(diào)研試題研究，我們發(fā)現(xiàn)，近兩年的填空壓軸題也有向新定義、新概念背景變化的趨勢(shì)。當(dāng)然，有的填空壓軸題也是傳統(tǒng)的高中數(shù)學(xué)重要知識(shí)點(diǎn)的綜合（比如：基本不等式的靈活應(yīng)用，圓錐曲線的定義與概念等背景的綜合應(yīng)用）。所以，對(duì)于填空壓軸題來(lái)說(shuō)，新定義、新概念、新情境固然重要，但傳統(tǒng)重要知識(shí)點(diǎn)同樣不可忽視。

例1 （2024年教育部九省聯(lián)考第14題）以max M 表示數(shù)集M 中最大的數(shù)，設(shè)0

解析：記m =max{b-a，c-b，1-c}，由題意知，b-a≤m ，c-b≤m ，1-c≤m 。且2a-b≤0或者a+b≤1，這兩個(gè)附加條件啟發(fā)我們應(yīng)該在消去變量c 的基礎(chǔ)下分類(lèi)討論，由c-b≤m ，1-c≤m ，得1-b≤2m 。

①若2a-b≤0，為充分應(yīng)用這個(gè)不等式條件，引入待定實(shí)參數(shù)λ1，λ2，使λ1（b-a）+λ2（-b）=2a-b，于是得λ1=-2，λ2=-1。從而0≥2a-b=-2（b-a）-（1-b）+1≥-2m -2m +1，故m ≥1/4。

②若a+b≤1，利用與①完全類(lèi)似的思路，引入待定實(shí)參數(shù)λ3，λ4，使λ3 （b-a）+λ4（-b）=a+b，于是得λ3 = -1，λ4 = -2。從而1≥a+b=-（b-a）-2（1-b）+2≥-m -4m +2，故m ≥1/5。

綜上所述，m 的最小值為1/5。

評(píng)注：解題過(guò)程中引入的字母m =max{b-a，c-b，1-c}就是一個(gè)關(guān)鍵的中間變量（橋變量），而使用待定系數(shù)法則是我們突破問(wèn)題難點(diǎn)，實(shí)現(xiàn)不等式取等號(hào)的關(guān)鍵。所以本題實(shí)際上既利用了橋變量法切入，又需利用待定系數(shù)法跟進(jìn)。待定系數(shù)法不僅可確定函數(shù)的解析式，而且可用于較為復(fù)雜的數(shù)列求通項(xiàng)、求不等式最值、確定空間給定平面的法向量、確定圓或圓錐曲線的方程等。值得一提的是利用基本不等式求較為復(fù)雜的最值問(wèn)題，在很多時(shí)候，直接利用基本不等式等號(hào)的條件并不能自動(dòng)成立，需要我們對(duì)其進(jìn)行適當(dāng)恒等變形或者給某些項(xiàng)配上適當(dāng)?shù)南禂?shù)，這個(gè)系數(shù)我們稱為調(diào)整系數(shù)（或平衡系數(shù)），而這個(gè)系數(shù)的大小也不是很明顯，問(wèn)題比較簡(jiǎn)單時(shí)可直接觀察得到，難度較大時(shí)通常是采用待定系數(shù)法，然后利用不等式取等號(hào)的條件來(lái)確定。

例2 （2021年教育部八省聯(lián)考調(diào)研試卷第20題）北京大興國(guó)際機(jī)場(chǎng)（圖1）的顯著特點(diǎn)之一是各種彎曲空間的運(yùn)用。刻畫(huà)空間的彎曲性是幾何研究的重要內(nèi)容，用曲率刻畫(huà)空間彎曲性，規(guī)定：多面體頂點(diǎn)的曲率等于2π與多面體在該點(diǎn)的面角之和的差（多面體的面的內(nèi)角叫作多面體的面角，角度用弧度制），多面體面上非頂點(diǎn)的曲率均為零，多面體的總曲率等于該多面體各頂點(diǎn)的曲率之和。例如：正四面體在每個(gè)頂點(diǎn)有3個(gè)面角，每個(gè)面角是π/3，所以正四面體在各頂點(diǎn)的曲率為2π-3×π/3=π，故其總曲率為4π。

（1）求四棱錐的總曲率;

（2）若多面體滿足：頂點(diǎn)數(shù)-棱數(shù)+面數(shù)=2，證明：這類(lèi)多面體的總曲率是常數(shù)。

解析：（1）依題意知，一個(gè)多面體頂點(diǎn)貢獻(xiàn)一個(gè)常數(shù)項(xiàng)2π，注意到四棱錐共有5個(gè)頂點(diǎn)，所以由5個(gè)頂點(diǎn)對(duì)所給多面體（四棱錐）總曲率貢獻(xiàn)為2π×5=10π。然而此多面體共有5個(gè)面，將各個(gè)面角由按頂點(diǎn)的求和轉(zhuǎn)化為按5個(gè)面分別求和，其中有一個(gè)是四邊形，其所有的內(nèi)角之和是2π;另外4個(gè)是三角形，每個(gè)面中所有內(nèi)角的和均是π，于是這個(gè)四棱錐的總曲率為2π×5-（2π+4π）=4π。

（2）設(shè)這個(gè)多面體有m 個(gè)頂點(diǎn)，n 條棱，l個(gè)面，從而由題意得m -n+l=2。

設(shè)各個(gè)面分別為k1，k2，…，kl 邊形，于是這類(lèi)多面體的總曲率為：

2πm -[（k1-2）+（k2-2）+…+（kl -2）]π=2π（m +l）-（k1 +k2 + … +kl）π=2π（n+2）-（k1+k2+…+kl）π。

由于問(wèn)題中還有一個(gè)重要的隱含關(guān)系：k1+k2+…+kl =2n，于是這類(lèi)多面體的總曲率為4π。

評(píng)注：本題第一小問(wèn)是一道新定義問(wèn)題：以多面體頂點(diǎn)的曲率及多面體的總曲率為背景的問(wèn)題，討論一個(gè)簡(jiǎn)單的特殊的多面體———四棱錐，同學(xué)們只要按照定義去落實(shí)即可，難度不大。第二小問(wèn)則在第一小問(wèn)的基礎(chǔ)上繼續(xù)探究，將問(wèn)題一中涉及的特殊多面體問(wèn)題一般化，給出了一類(lèi)滿足特定要求（簡(jiǎn)單多面體滿足的歐拉定理）的多面體（可以驗(yàn)證：?jiǎn)栴}一中的四棱錐也滿足同樣的要求。同學(xué)們?nèi)裟茏⒁獾秸拿骟w其實(shí)是一個(gè)特殊的三棱錐，則由已知的正四面體的總曲率和問(wèn)題一的結(jié)果，可以驗(yàn)證：上述兩種情況均是滿足問(wèn)題二的要求，因此最后的待證常數(shù)必然是4π）。試題的設(shè)問(wèn)形式從特殊到一般，從簡(jiǎn)單到復(fù)雜，層層深入，有利于滿足各類(lèi)人才的選拔需要。

例3 （2023年教育部四省聯(lián)考調(diào)研試卷第16題）表1為一個(gè)開(kāi)關(guān)陣列，每個(gè)開(kāi)關(guān)只有“開(kāi)”和“關(guān)”兩種狀態(tài)，按其中一個(gè)開(kāi)關(guān)1次，將導(dǎo)致自身和所有相鄰的開(kāi)關(guān)改變狀態(tài)。例如，按（2，2）將導(dǎo)致（1，2），（2，1），（2，2），（2，3），（3，2）改變狀態(tài)。如果要求只改變（1，1）的狀態(tài)，那么需按開(kāi)關(guān)的最少次數(shù)為_(kāi)___.

解析：由題意可知，目標(biāo)問(wèn)題其實(shí)是關(guān)于坐標(biāo)（1，1），（2，2），（3，3）所在的這條直線軸對(duì)稱的。若我們將所有開(kāi)關(guān)的所在位置關(guān)于坐標(biāo)（1，1），（2，2），（3，3）所在的這條對(duì)稱軸來(lái)思考，記a，b，c，d，e，f，g，h，i 為每個(gè)開(kāi)關(guān)按動(dòng)次數(shù)（從左到右，從上到下），于是必有b=d，c=g，f=h，原始問(wèn)題可退化為6個(gè)未知數(shù)的情況?；谀?取余意義下的運(yùn)算（以下等式也是基于模2取余意義下的），注意到問(wèn)題要求的是按開(kāi)關(guān)的最少次數(shù)，所以我們先關(guān)注上述每個(gè)取值限于{0，1}的情形。容易得到a+2b=1①，完全類(lèi)似地有a+b+c+e=0②;b+c+f=0③;2b+e+2f=0④，c+e+f+i=0⑤;2f+i=0⑥。

進(jìn)而可得a=1，b=d=0，c=g=1，f=h=1，e=i=0。因此需按開(kāi)關(guān)的最少次數(shù)為5。

評(píng)注：本題屬于復(fù)雜情景問(wèn)題，符合新高考的考查要求。它在考查閱讀理解能力的同時(shí)，著重考查用數(shù)學(xué)知識(shí)和思想方法解決實(shí)際問(wèn)題的能力，考查數(shù)學(xué)抽象、化歸轉(zhuǎn)化、運(yùn)算求解和邏輯推理的能力，考查數(shù)學(xué)素養(yǎng)，體現(xiàn)基礎(chǔ)性、應(yīng)用性、綜合性和創(chuàng)新性的“四基”要求。類(lèi)似地，如果保持條件不變，僅將問(wèn)題改為：①若要求只改變（1，2）的狀態(tài)，則需按開(kāi)關(guān)的最少次數(shù)為_(kāi)___;②若要求只改變（2，2）的狀態(tài)，則需按開(kāi)關(guān)的最少次數(shù)為_(kāi)___。（參考答案：我們可以采用上述類(lèi)似的方法，得到所求的結(jié)果為①4;②5）

例4 某地區(qū)規(guī)劃道路建設(shè)，考慮道路鋪設(shè)方案。方案設(shè)計(jì)圖中，點(diǎn)表示城市，兩點(diǎn)之間連線表示兩城市間可鋪設(shè)道路，連線上數(shù)據(jù)表示兩城市間鋪設(shè)道路的費(fèi)用，要求從任一城市都能到達(dá)其余各城市，并且鋪設(shè)道路的總費(fèi)用最小。例如：在三個(gè)城市道路設(shè)計(jì)中，若城市間可鋪設(shè)道路的線路圖如圖2所示，則最優(yōu)設(shè)計(jì)方案如圖3所示，此時(shí)鋪設(shè)道路的最小總費(fèi)用為10?，F(xiàn)給出該地區(qū)可鋪設(shè)道路的線路圖如圖4所示，則鋪設(shè)道路的最小總費(fèi)用為_(kāi)___。