新高考視角下與馬爾科夫鏈相關(guān)的概率遞推問(wèn)題

全概率公式以及全概率推出的馬爾科夫鏈問(wèn)題最近備受命題人的青睞！ 比如2023年新高考Ⅰ卷第21題，再往前的熱點(diǎn)?？季碇?，2023年杭州二模第21 題的賭徒輸光問(wèn)題，2023年茂名二模的摸球問(wèn)題，再往更前的2019年全國(guó)Ⅰ卷藥物試驗(yàn)問(wèn)題等都是馬爾科夫鏈問(wèn)題。在新人教A 版《選擇性必修第三冊(cè)》第91頁(yè)拓廣探索中的第10題傳球問(wèn)題，也是馬爾科夫鏈的典型模型。全概率公式是新教材引入的內(nèi)容，可想而知越來(lái)越多的遞推型概率難題將會(huì)出現(xiàn)在高考和?？荚嚲碇?！ 因此，同學(xué)們?cè)趯W(xué)習(xí)時(shí)要對(duì)全概率等系列內(nèi)容格外關(guān)注。馬爾科夫鏈在題中的體現(xiàn)可以簡(jiǎn)單地概括為：全概率公式+數(shù)列遞推。下面主要介紹馬爾科夫鏈和一維隨機(jī)游走模型，以及馬爾科夫鏈在高考和?？贾械膸追N具體的應(yīng)用情形，希望對(duì)同學(xué)們的學(xué)習(xí)有一些幫助。

一、馬爾科夫鏈?zhǔn)鞘裁?/p>

（一）定義

馬爾科夫鏈?zhǔn)怯蓴?shù)學(xué)家安德雷·馬爾科夫提出的，它是概率論和數(shù)理統(tǒng)計(jì)中的一個(gè)重要模型，在自然科學(xué)、技術(shù)科學(xué)、管理科學(xué)、經(jīng)濟(jì)科學(xué)以至人文科學(xué)中都有廣泛應(yīng)用。數(shù)學(xué)定義為：考慮一個(gè)隨機(jī)變量的序列X ={X0，X1，…，Xt，…}，這里Xt 表示時(shí)刻t 的隨機(jī)變量，t=0，1，2，…。每個(gè)隨機(jī)變量Xt（t=0，1，2，…）的取值集合相同，稱為狀態(tài)空間S。隨機(jī)變量可以是離散的，也可以是連續(xù)的。

假設(shè)在時(shí)刻0的隨機(jī)變量X0 遵循概率分布P（X0）=p0， 稱為初始狀態(tài)分布。在某個(gè)時(shí)刻tgt;1的隨機(jī)變量Xt 與前一個(gè)時(shí)刻的隨機(jī)變量Xt-1 之間有條件分布P（Xt|Xt-1）， 如果Xt 只依賴于Xt-1，而不依賴于過(guò)去的隨機(jī)變量{X0，X1，…，Xt-2}，這一性質(zhì)稱為馬爾科夫性，即P （Xt|X0，X1，…Xt-1）=P （Xt|Xt-1）， t=0，1，2，…。具有馬爾科夫性的隨機(jī)序列X ={X0，X1，…，Xt，…} 稱為馬爾科夫鏈（Markov chain）或馬爾科夫過(guò)程。

（二）解題策略

依據(jù)高中學(xué)生的認(rèn)知水平，馬爾科夫鏈可以概括為：某一時(shí)刻狀態(tài)轉(zhuǎn)移的概率只依賴于它的前一個(gè)狀態(tài)。在實(shí)際應(yīng)用中，常見(jiàn)的有賭徒模型和傳球模型等，其一般解題步驟可以歸納如下。

方法一：（1）先求出P （X0 ）=p0 或P（X1）=p1;（2）根據(jù)馬爾科夫鏈定義，列出第t 時(shí)刻的條件概率的遞推關(guān)系式;（3）根據(jù)數(shù)列遞推公式的配湊法求出第t 時(shí)刻概率的通項(xiàng)公式Pt。

方法二：從高觀點(diǎn)的角度，對(duì)學(xué)有余力的同學(xué)，可以引導(dǎo)他們利用n 步轉(zhuǎn)移概率矩陣進(jìn)行求解， 以培養(yǎng)同學(xué)們的數(shù)學(xué)綜合能力，提高數(shù)學(xué)關(guān)鍵能力，為不同類型的高校選拔人才。

二、馬爾科夫鏈為什么這么熱

《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn) （2017 年版2020年修訂）》增加了數(shù)列遞推公式、全概率公式等內(nèi)容。另外，在新教材中也可以找到答案。