一類概周期驅(qū)動(dòng)分段光滑系統(tǒng)的奇異非混沌吸引子特性分析

摘要： 以一類概周期驅(qū)動(dòng)分段光滑系統(tǒng)為研究對(duì)象，證實(shí)了奇異非混沌吸引子的存在性，并進(jìn)一步分析了它的幾種特性。首先采用相圖和功率譜定性方法分析奇異非混沌吸引子的分形特性，再利用最大Lyapunov指數(shù)、相敏感指數(shù)、譜分布函數(shù)和有限時(shí)間Lyapunov指數(shù)分布定量方法進(jìn)一步描述奇異非混沌吸引子的特性。結(jié)果表明，該系統(tǒng)在一定參數(shù)下存在奇異非混沌吸引子，該奇異非混沌吸引子表現(xiàn)出多種不同于其他類型吸引子的統(tǒng)計(jì)學(xué)特性。

關(guān)鍵詞： 分段光滑系統(tǒng)；Lyapunov指數(shù)；相敏感指數(shù)；奇異非混沌吸引子

中圖分類號(hào)：O415.6;O415.5文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼： A

Characteristic Analysis of Strange Nonchaotic Attractors for a Quasiperiodically-forced Piecewise Smooth System

ZHAO Yifan1， SHEN Yunzhu2， DU Chuanbin2

（1.School of Mathematics and Statistics， Qingdao University， Qingdao 266071， China;

2.School of Mathematical Sciences， Jinan University， Jinan 250022， China）

Abstract：A quasiperiodically-forced piecewise smooth system is used as the research object to confirm the existence of strange nonchaotic attractors and further analyze several characteristics. Firstly， qualitative methods of phase diagram and power spectrum are used to analyze the fractal characteristics of strange nonchaotic attractors. Some quantitative methods such as the maximum Lyapunov exponent， phase sensitivity exponent， spectral distribution function and finite-time Lyapunov exponent are used to describe the characteristics of strange nonchaotic attractors. The results show that strange nonchaotic attractors can exist in the system under certain parameters， and exhibit a variety of statistical properties different from other types of attractors.

Keywords： piecewise smooth system; Lyapunov exponent; phase sensitivity exponent; strange nonchaotic attractors

0 引言

奇異非混沌吸引子在幾何上表現(xiàn)為分形特性，但最大李雅普諾夫指數(shù)為負(fù)數(shù)，即對(duì)初值條件不敏感，這反映了其非混沌特性［1］。1984年Grebogi等首次在非線性振蕩器中發(fā)現(xiàn)并提出奇異非混沌吸引子這一概念［2］。隨后，國(guó)內(nèi)外學(xué)者從理論和實(shí)驗(yàn)的角度進(jìn)行了大量的研究，取得了許多有關(guān)奇異非混沌吸引子的成果［35］。隨著奇異非混沌吸引子在眾多領(lǐng)域的應(yīng)用前景不斷擴(kuò)大，奇異非混沌吸引子逐漸成為國(guó)際非線性動(dòng)力學(xué)研究的課題之一［69］。

早期奇異非混沌吸引子的研究主要是針對(duì)光滑系統(tǒng)，如Zhou等［10］以具有多穩(wěn)態(tài)電勢(shì)的非線性振蕩器為研究對(duì)象，利用精確數(shù)值角點(diǎn)法計(jì)算混沌吸引子的Lyapunov指數(shù)，發(fā)現(xiàn)奇異非混沌吸引子取代混沌吸引子這一現(xiàn)象。Heagy和Hammel［11］在概周期驅(qū)動(dòng)映射中觀察到雙頻概周期吸引子轉(zhuǎn)變?yōu)槠娈惙腔煦缥拥倪^程，揭示出這種機(jī)制與環(huán)面倍化現(xiàn)象相關(guān)，并命名為HH路線。Verkatesan等［12］在概周期驅(qū)動(dòng)分段線性電子電路中發(fā)現(xiàn)環(huán)面倍增序列被亞諧分岔中斷時(shí)會(huì)誕生奇異非混沌吸引子，并命名為第三型間歇路線。張等［13］研究概周期驅(qū)動(dòng)電路系統(tǒng)中的奇異非混沌吸引子，應(yīng)用分岔理論和Lyapunov指數(shù)方法辨別了由鞍結(jié)分岔和亞諧分岔形成的兩種間歇性路線。對(duì)于非光滑系統(tǒng)，奇異非混沌吸引子可能存在新的誕生機(jī)理和統(tǒng)計(jì)學(xué)特性。張等［14］在振動(dòng)沖擊系統(tǒng)的余維三分岔附近發(fā)現(xiàn)了奇異非混沌吸引子，證實(shí)了奇異非混沌吸引子在周期驅(qū)動(dòng)系統(tǒng)中的存在性。張等［15］發(fā)現(xiàn)誕生奇異非混沌吸引子的新路線，即由于Grazing分岔，光滑環(huán)面上出現(xiàn)不光滑點(diǎn)變?yōu)榉枪饣h(huán)面再逐漸分形產(chǎn)生奇異非混沌吸引子。樂等［16］以周期驅(qū)動(dòng)對(duì)稱三自由度振動(dòng)沖擊系統(tǒng)為研究對(duì)象，發(fā)現(xiàn)奇異非混沌吸引子和一種新型混合吸引子的共存現(xiàn)象，出現(xiàn)了伴隨對(duì)稱恢復(fù)分岔的一種新型間斷性路線。李等［17］以一類具有概周期驅(qū)動(dòng)的單自由度齒輪動(dòng)力系統(tǒng)為研究對(duì)象，驗(yàn)證該系統(tǒng)中奇異非混沌吸引子的存在性，并分析了非光滑系統(tǒng)在參數(shù)變化時(shí)的動(dòng)力學(xué)行為。李等［18］考慮具有概周期驅(qū)動(dòng)的Ricker族（種群模型），用理論和數(shù)值方法分析奇異非混沌吸引子的存在性，證明奇異非混沌吸引子存在于一個(gè)正測(cè)度參數(shù)集。李等［19］考慮概周期驅(qū)動(dòng)的非光滑系統(tǒng)，發(fā)現(xiàn)周期吸引子可以產(chǎn)生噪聲誘導(dǎo)的SNAs，并利用最大Lyapunov指數(shù)、功率譜、譜分布函數(shù)和有限時(shí)間Lyapunov指數(shù)分析奇異非混沌吸引子的統(tǒng)計(jì)學(xué)特性。沈等［20］分析概周期驅(qū)動(dòng)分段Logistic非光滑系統(tǒng)，應(yīng)用最大李雅普諾夫指數(shù)，相敏感指數(shù)等方法研究了產(chǎn)生奇異非混沌吸引子的機(jī)理，主要包括Heagy-Hammel路線，間歇I路線，分形路線。徐等［21］利用相圖、最大李雅普諾夫指數(shù)、功率譜、相敏感函數(shù)等方法，證實(shí)概周期驅(qū)動(dòng)二維分段線性范式系統(tǒng)中奇異非混沌吸引子的存在性。

因非光滑系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)特性在一些情況下不同于光滑系統(tǒng)，在其它非光滑系統(tǒng)中是否存在奇異非混沌吸引子及新特性仍需進(jìn)一步探索。本文以概周期驅(qū)動(dòng)分段光滑系統(tǒng)為研究對(duì)象探索奇異非混沌吸引子的存在性和其它統(tǒng)計(jì)學(xué)特性。

1 系統(tǒng)模型

為了識(shí)別概周期驅(qū)動(dòng)分段光滑系統(tǒng)中的奇異非混沌吸引子，考慮如下系統(tǒng)［22］：

xn+1=f1（xn）=λxn+μxnlt;-εf2（xn）=-12ε2x2n+（λ-1ε）xn+μ-12-εlt;xnlt;0f3（xn）=12ε2x2n+（λ-1ε）xn+μ-120lt;xnlt;εf4（xn）=λxn+μ-1xngt;ε（1）

其中，λ，ε為固定的系統(tǒng)參數(shù)，μ為分岔參數(shù)，xn為系統(tǒng)第n次迭代時(shí)的輸入變量。方程（1）中加入概周期驅(qū)動(dòng)力后變?yōu)?/p>

xn+1=f1（xn）=λxn+（a+bcos2πn）xnlt;-εf2（xn）=-12ε2x2n+（λ-1ε）xn+（a+bcos2πn）-12-εlt;xnlt;0f3（xn）=12ε2x2n+（λ-1ε）xn+（a+bcos2πn）-120lt;xnlt;εf4（xn）=λxn+（a+bcos2πn）-1xngt;ε（2）

n+1=n+ωmod1

其中，a為控制參數(shù)，b為概周期驅(qū)動(dòng)的振幅，無理數(shù)ω為系統(tǒng)頻率，ω=（5－1）/2。

2 奇異非混沌吸引子特性分析

本文通過相圖，觀察奇異非混沌吸引子的產(chǎn)生過程。這里不妨固定系統(tǒng)參數(shù)λ=0.6，ε=0.2，取概周期驅(qū)動(dòng)的振幅b=0.3，圖1表示不同參數(shù)a下的相圖。系統(tǒng)的非混沌特性可以通過計(jì)算李雅普諾夫指數(shù)來證實(shí)［1］。

λx=limn→∞1n∑ni=1lnfxi（3）

如圖1a所示，當(dāng)a=－0.2時(shí)，系統(tǒng)圖像在相圖中表現(xiàn)為一個(gè)概周期光滑環(huán)面。隨著a不斷增加，光滑概周期環(huán)面上開始出現(xiàn)不光滑點(diǎn)，變?yōu)榉枪饣h(huán)面，如圖1b所示。當(dāng)a的值繼續(xù)增加到0.35時(shí)，如圖1c所示，吸引子上表現(xiàn)了類似混沌吸引子的分形特性，此時(shí)計(jì)算其最大李雅普諾夫指數(shù)約為-0.006 01，判斷該吸引子為奇異非混沌吸引子。當(dāng)繼續(xù)增加a的值，達(dá)到0.52時(shí)，如圖1d，該吸引子變?yōu)榛煦缥樱藭r(shí)計(jì)算其最大李雅普諾夫指數(shù)約為0.078 65。

2.1 相敏感函數(shù)

相敏感函數(shù)也是區(qū)分概周期吸引子與奇異非混沌吸引子的方法之一。對(duì)于奇異非混沌吸引子來說，相敏感函數(shù)ΓN與N存在冪律關(guān)系，即ΓN～Nμ，其中μ為相敏感指數(shù)。對(duì)于環(huán)面吸引子，相敏感函數(shù)具有有界性。計(jì)算公式如式（4）［1］：

ΓNa，b=minx0，0max0≤n≤Nxn+1（4）

xn+1=λxn－2πbsin2πxnlt;ε－x2ε2xn+（λ－1ε）xn－2πbsin2π－εlt;xnlt;0x2ε2xn+（λ－1ε）xn－2πbsin2π0lt;xnlt;ελxn－2πbsin2πxngt;ε（5）

當(dāng)a=－0.2時(shí)，對(duì)應(yīng)于圖1a，此時(shí)為1T環(huán)面，相敏感函數(shù)具有有界性，如圖2a所示。而當(dāng)a=0.35時(shí)，對(duì)應(yīng)于圖1c，相敏感函數(shù)ΓN與N存在冪律關(guān)系，即ΓN～Nμ，其中μ≈0.137 27，如圖2b所示。

2.2 功率譜

通過時(shí)間序列分析非線性動(dòng)力系統(tǒng)的波動(dòng)狀態(tài)即功率譜特征，可以區(qū)分不同的吸引子。周期吸引子的功率譜是由基頻諧波處σ-峰組成；由于混沌吸引子的非周期性，功率譜會(huì)出現(xiàn)一些峰值，是連續(xù)但不平滑的；奇異非混沌吸引子的功率譜具有獨(dú)特的特征，即奇異連續(xù)性。由傅里葉變換

X（ω，T）=∑Tn=1xnei2πnω（6）

得到功率譜

Pω=limN→∞X（ω，N）2N（7）

其中，X（ω，N）為傅里葉級(jí)數(shù)，ω∈0，1為功率譜頻率，n為傅里葉變換的迭代次數(shù)，xn為系統(tǒng)第n次迭代時(shí)的輸入變量。圖3表示b=0.3時(shí)概周期驅(qū)動(dòng)分段光滑系統(tǒng)中不同控制參數(shù)a下的功率譜圖。當(dāng)a=－0.2，此吸引子為環(huán)面吸引子，功率譜圖像不具有奇異性，如圖3a所示。當(dāng)a=0.35時(shí)，對(duì)于奇異非混沌吸引子，功率譜具有分形特性并且有自相似的峰，如圖3b所示。

2.3 譜分布函數(shù)

譜分布函數(shù)也是表征奇異非混沌吸引子的有效方法，是通過計(jì)算功率譜中大于σ值的峰的個(gè)數(shù)而得出的。與周期吸引子和混沌吸引子不同，奇異非混沌吸引子滿足冪律關(guān)系Nσ～σ－β，1lt;βlt;2，β為擬合的斜率。當(dāng)固定a=0.35，b=0.3時(shí)，圖4a展示了以log10σ為橫坐標(biāo)，log10N（σ）為縱坐標(biāo)的擬合圖，可以看到它們的關(guān)系可以擬合成一條直線，并且斜率約等于－1.293 9。

2.4 有限時(shí)間Lyapunov指數(shù)分布

有限時(shí)間李雅普諾夫指數(shù)的分布p（t，λ）對(duì)應(yīng)于固定時(shí)間t的計(jì)算。由于不同種類的吸引子在有限Lyapunov指數(shù)分布上會(huì)表現(xiàn)出不同的特征，因此對(duì)于檢驗(yàn)奇異非混沌吸引子是有幫助的。奇異非混沌吸引子在有限時(shí)間間隔內(nèi)通常具有正的李雅普諾夫指數(shù)，但漸近指數(shù)為負(fù)。對(duì)于奇異非混沌吸引子，在有限時(shí)間李雅普諾夫指數(shù)大于零的區(qū)域會(huì)出現(xiàn)正值曲線。對(duì)于環(huán)面吸引子，沒有尾部延伸到局部李雅普諾夫指數(shù)大于零的區(qū)域。這里不妨取t=50，并計(jì)算有限時(shí)間李雅普諾夫指數(shù)的分布。圖4b顯示了奇異非混沌吸引子在a=0.35，b=0.3時(shí)的局部Lyapunov指數(shù)分布。一個(gè)顯著的特點(diǎn)是有限時(shí)間Lyapunov指數(shù)分布中的正尾呈線性衰減，在其負(fù)值中表現(xiàn)出細(xì)長(zhǎng)的尾巴，這種特性不同于其它類型的奇異非混沌吸引子［1］。

3 結(jié)語

在之前的研究工作中，一些振動(dòng)系統(tǒng)存在從環(huán)面概周期振動(dòng)到混沌振動(dòng)的轉(zhuǎn)變，這里指出奇異非混沌吸引子（在力學(xué)振動(dòng)系統(tǒng)可稱奇異非混沌振動(dòng)）在向混沌過渡的研究中起著重要的作用。對(duì)于力學(xué)振動(dòng)系統(tǒng)，混沌振動(dòng)是不期望發(fā)生的，不僅增加了噪聲，而且長(zhǎng)期的振動(dòng)可能導(dǎo)致系統(tǒng)故障。奇異非混沌吸引子的存在是混沌發(fā)生的先兆信號(hào)，可作為混沌振動(dòng)的早期預(yù)警。理解奇異非混沌吸引子的特性為實(shí)際檢測(cè)該類吸引子提供理論方法。本文選取的分段光滑系統(tǒng)是一個(gè)實(shí)際碰撞振動(dòng)系統(tǒng)的龐加萊映射［22］，通過研究此系統(tǒng)，可以理解碰撞振動(dòng)系統(tǒng)的更多動(dòng)力學(xué)現(xiàn)象。

本文研究結(jié)果表明，在此系統(tǒng)中不僅存在奇異非混沌吸引子，而且一個(gè)顯著的特點(diǎn)是有限時(shí)間Lyapunov指數(shù)分布中的正尾呈線性衰減，在其負(fù)值中表現(xiàn)出細(xì)長(zhǎng)的尾巴。通過大量數(shù)值實(shí)驗(yàn)分析，在其它參數(shù)區(qū)域仍存在相似類型的奇異非混沌吸引子，研究結(jié)果期望以后能在實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)中證實(shí)。

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（責(zé)任編輯 耿金花）