基于博弈論的關(guān)聯(lián)網(wǎng)絡(luò)攻防博弈分析

摘要： 根據(jù)現(xiàn)實(shí)中關(guān)聯(lián)網(wǎng)絡(luò)復(fù)雜的關(guān)聯(lián)特性和網(wǎng)絡(luò)中重要的評估指標(biāo)，提出了5種不同的耦合方式，建立了9種關(guān)聯(lián)網(wǎng)絡(luò)模型；考慮到網(wǎng)絡(luò)中信息的傳輸，再分配和級聯(lián)故障，建立了基于介數(shù)虛擬流的級聯(lián)失效模型；基于博弈論，從復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)的角度分析了關(guān)鍵基礎(chǔ)設(shè)施的攻防問題，分析了多種關(guān)聯(lián)網(wǎng)絡(luò)的魯棒性。發(fā)現(xiàn)了關(guān)聯(lián)網(wǎng)絡(luò)中博弈參與者的偏好，為基礎(chǔ)設(shè)施網(wǎng)絡(luò)的保護(hù)提供了決策支持。

關(guān)鍵詞： 復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)；關(guān)聯(lián)網(wǎng)絡(luò)；攻防博弈；魯棒性分析

中圖分類號："""" O157.5；O225文獻(xiàn)標(biāo)識碼： A

Attack-defense Game Analysis of Interdependent Networks Based on Game Theory

WANG Shuliang， SUN Jingya， BIAN Jiazhi，ZHANG Jianhua， DONG Qiqi， LI Junjing

（School of Electrical Engineering and Automation， Jiangsu Normal University， Xuzhou 221116，China）

Abstract：

According to the complex correlation characteristics of the actual interdependent network and the important evaluation indicators in the network， five different coupling methods are proposed， and nine interdependent network models are established. Considering the information transmission， redistribution and cascading failures in the network， a cascading failure model based on betweenness artificial flow models is established. We based on the game theory， attack-defense game problems of critical infrastructure are analyzed from the perspective of complex network， and the robustness of various interdependent networks is analyzed. We discovered the preferences of game participants in the interdependent networks， providing decision support for the protection of infrastructure networks.

Keywords：

complex network; interdependent network; attack-defense game; robustness analysis

0 引言

通信、電力、鐵路、能源系統(tǒng)等關(guān)鍵基礎(chǔ)設(shè)施系統(tǒng)在維護(hù)社會穩(wěn)定中發(fā)揮著重要作用[1]。一旦這些設(shè)施受損將會對人民群眾生命財(cái)產(chǎn)安全造成嚴(yán)重的影響。所以，關(guān)鍵基礎(chǔ)設(shè)施網(wǎng)絡(luò)的保護(hù)問題成為近年來系統(tǒng)安全領(lǐng)域的熱門話題[2]。復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)理論[3]為從整體角度研究關(guān)鍵基礎(chǔ)設(shè)施組件之間的交互提供了一種新方法，而博弈論[4]嚴(yán)格的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)為模擬智能對手之間的對抗提供了適當(dāng)?shù)目蚣堋?/p>

現(xiàn)有的復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)研究[56]大多將復(fù)雜系統(tǒng)作為孤立的網(wǎng)絡(luò)來收集、建模和分析。然而，現(xiàn)實(shí)世界中的基礎(chǔ)設(shè)施系統(tǒng)網(wǎng)絡(luò)并不是孤立的，而是相互依賴的[7]。例如供水、運(yùn)輸、燃料和發(fā)電站等不同基礎(chǔ)設(shè)施網(wǎng)絡(luò)相互耦合，這些相互依賴的網(wǎng)絡(luò)保障了人類的正常生活和國家的發(fā)展。但是這些關(guān)聯(lián)網(wǎng)絡(luò)往往非常脆弱[8]，其中任何一個(gè)網(wǎng)絡(luò)上的故障都可能會引發(fā)多米諾骨牌效應(yīng)，進(jìn)而導(dǎo)致整個(gè)系統(tǒng)崩潰[910]。Wu等[11]模擬了恐怖襲擊下相互依賴的基礎(chǔ)設(shè)施的級聯(lián)故障。MacKenzie等[12]分析了用于恢復(fù)相互依存系統(tǒng)的靜態(tài)和動態(tài)資源分配模型，并以深水地平線漏油事件為例進(jìn)行了說明。Wang等[13]分析了相互依賴網(wǎng)絡(luò)上的過載行為，為現(xiàn)實(shí)世界中多個(gè)網(wǎng)絡(luò)組成的大規(guī)模網(wǎng)絡(luò)中因過載而產(chǎn)生的級聯(lián)故障問題提供了解決思路。馬海瑛等[14]建立了一種三層復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)演化模型，并定義了隨機(jī)概率，定量刻畫多層網(wǎng)絡(luò)層間的依賴關(guān)系。

在過去的幾年里，相互依賴網(wǎng)絡(luò)中的攻防博弈引起了研究者的廣泛關(guān)注[1516]。Hausken等[17]研究了兩個(gè)目標(biāo)之間的相互依賴概率以及多種系統(tǒng)特性對玩家努力的影響。Li等[18]針對關(guān)鍵基礎(chǔ)設(shè)施網(wǎng)絡(luò)中的蓄意攻擊提出了一種基于不完全信息博弈的兩個(gè)階段的聯(lián)合優(yōu)化方法。Fu等[19]提出了考慮級聯(lián)效應(yīng)影響的網(wǎng)絡(luò)攻防博弈模型，通過對節(jié)點(diǎn)進(jìn)行分類，實(shí)現(xiàn)了博弈的重心從對節(jié)點(diǎn)決策到資源分配的轉(zhuǎn)變。Peng等[20]分析了在由相互依賴的子網(wǎng)絡(luò)組成的網(wǎng)絡(luò)上的攻防博弈中參與者的最優(yōu)策略。

現(xiàn)有的研究大多從宏觀的角度分析關(guān)聯(lián)網(wǎng)絡(luò)的結(jié)構(gòu)，很少綜合分析影響網(wǎng)絡(luò)的其他因素。實(shí)際上，不同的網(wǎng)絡(luò)耦合和采用不同的耦合方式得到的關(guān)聯(lián)網(wǎng)絡(luò)面對攻擊時(shí)會表現(xiàn)出不同的魯棒性。因此本文根據(jù)現(xiàn)實(shí)中的復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)模型，研究了由不同類型的網(wǎng)絡(luò)組成的相互依賴網(wǎng)絡(luò)上的博弈情形。利用網(wǎng)絡(luò)博弈均衡收益的變化，分析了不同的網(wǎng)絡(luò)耦合、耦合策略下攻防雙方的偏好和網(wǎng)絡(luò)的魯棒性。

1 關(guān)聯(lián)網(wǎng)絡(luò)的建模

1.1 關(guān)聯(lián)網(wǎng)絡(luò)

網(wǎng)絡(luò)系統(tǒng)之間的互連創(chuàng)建了一個(gè)關(guān)聯(lián)網(wǎng)絡(luò)，其中相互的關(guān)聯(lián)關(guān)系在它們功能和性能方面發(fā)揮著重要作用。相互依賴的網(wǎng)絡(luò)之間的連通性對于整個(gè)系統(tǒng)的穩(wěn)健性和魯棒性至關(guān)重要。連通性越高信息交換和對自然或人為災(zāi)害的應(yīng)急響應(yīng)越快，網(wǎng)絡(luò)的魯棒性越強(qiáng)。不同依賴關(guān)系下的關(guān)聯(lián)網(wǎng)絡(luò)自身性能與抵御意外攻擊的能力也有所不同，本文根據(jù)網(wǎng)絡(luò)中的節(jié)點(diǎn)關(guān)系建立了相應(yīng)的依賴關(guān)系，如圖1所示。

1.2 關(guān)聯(lián)方式

度值是目前描述節(jié)點(diǎn)重要性時(shí)使用較多的指標(biāo)[21]，而介數(shù)是考慮虛擬流模型中很重要的一個(gè)參數(shù)，所以本文設(shè)置網(wǎng)絡(luò)A和網(wǎng)絡(luò)B的關(guān)聯(lián)方式為：

隨機(jī)耦合（Random Coupling，RC）：隨機(jī)選取網(wǎng)絡(luò)A中的節(jié)點(diǎn)與網(wǎng)絡(luò)B中的節(jié)點(diǎn)相互關(guān)聯(lián)；

度值正向耦合（Degree value Positive coupling，DPC）：將網(wǎng)絡(luò)A和網(wǎng)絡(luò)B中的節(jié)點(diǎn)按照度值進(jìn)行正向排序后依次連接；

度值逆向耦合（Degree value Inverse coupling，DIC）：將網(wǎng)絡(luò)A和網(wǎng)絡(luò)B中的節(jié)點(diǎn)按照度值進(jìn)行逆向排序后依次連接；

介數(shù)正向耦合（Betweenness Positive coupling，BPC）：將網(wǎng)絡(luò)A和網(wǎng)絡(luò)B中的節(jié)點(diǎn)按照介數(shù)值進(jìn)行正向排序后依次連接；

介數(shù)逆向耦合（Betweenness Inverse coupling，BIC）：將網(wǎng)絡(luò)A和網(wǎng)絡(luò)B中的節(jié)點(diǎn)按照介數(shù)值進(jìn)行逆向排序后依次連接。

2 網(wǎng)絡(luò)級聯(lián)失效模型

網(wǎng)絡(luò)基礎(chǔ)設(shè)施系統(tǒng)可以用簡單的無向圖G（V，E）來表示，其中V=v1，v2，…，vn是節(jié)點(diǎn)集合，節(jié)點(diǎn)數(shù)為V=n。E=e1，e2，…，enV×V，代表所有節(jié)點(diǎn)的邊集合。假設(shè)A（G）=（aij）N×N是G的鄰接矩陣，如果節(jié)點(diǎn)vi和vj相鄰，則有aij=aji=1，否則aij=aji=0。關(guān)聯(lián)網(wǎng)絡(luò)中的兩個(gè)子網(wǎng)絡(luò)分別為GA（VA，EA）和GB（VB，EB），其中VA=nA，VB=nB。

2.1 級聯(lián)失效模型

復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)負(fù)載再分配模型主要包括3個(gè)因素：負(fù)載模型，容量模型和負(fù)載再分配機(jī)制[2223]。我們將介數(shù)虛擬流模型[24]擴(kuò)展到由網(wǎng)絡(luò)A和B組成的相互依賴的網(wǎng)絡(luò)中。在網(wǎng)絡(luò)的初始階段，網(wǎng)絡(luò)上每個(gè)節(jié)點(diǎn)上的負(fù)載小于整個(gè)網(wǎng)絡(luò)處于穩(wěn)定狀態(tài)的處理能力，設(shè)節(jié)點(diǎn)i上的初始負(fù)載Li為其介數(shù)值：

L（i）=2n（n－1）∑s≠t≠igst（i）gst（1）

其中，gst（i）為從節(jié)點(diǎn)vs到vt的所有最短路徑的數(shù)目，gst（i）為從節(jié)點(diǎn)vs到vt的gst條最短路徑中經(jīng)過vt的最短路徑的數(shù)目。假設(shè)節(jié)點(diǎn)i的容量Ci與初始負(fù)載Li成正比[25]：

Ci=γLi（2）

其中，γ為容差參數(shù)，它決定了節(jié)點(diǎn)處理負(fù)載的能力。

在該模型中，當(dāng)某個(gè)節(jié)點(diǎn)或某些節(jié)點(diǎn)發(fā)生故障時(shí)，會導(dǎo)致某些組件發(fā)生中斷，從而改變節(jié)點(diǎn)之間的最短路徑，接著導(dǎo)致所有線路之間的負(fù)載重新分配（見圖2a）。當(dāng)網(wǎng)絡(luò)A中的節(jié)點(diǎn)5被攻擊并移除時(shí)，網(wǎng)絡(luò)B上對應(yīng)的關(guān)聯(lián)節(jié)點(diǎn)1也被移除，故障后網(wǎng)絡(luò)中負(fù)載重新分配如（見圖2b），此時(shí)重分配后的網(wǎng)絡(luò)A上節(jié)點(diǎn)1的負(fù)載超過其容量，繼續(xù)發(fā)生故障，則網(wǎng)絡(luò)B中對應(yīng)的節(jié)點(diǎn)2被移除。直到網(wǎng)絡(luò)中不存在超過其容量的節(jié)點(diǎn)，網(wǎng)絡(luò)達(dá)到平衡狀態(tài)，繼續(xù)穩(wěn)定運(yùn)行（見圖2c）。

2.2 魯棒性評估指標(biāo)

網(wǎng)絡(luò)連通率是復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)中維持各組件正常運(yùn)行最基本的指標(biāo)，其定義為網(wǎng)絡(luò)受損后最大連通子圖中包含的節(jié)點(diǎn)數(shù)與原有節(jié)點(diǎn)數(shù)之比：

LCC=n′n（3）

其中，n′為網(wǎng)絡(luò)受損后，其最大連通子圖中所含節(jié)點(diǎn)數(shù)。本文采取蓄意攻擊的方式來研究關(guān)聯(lián)網(wǎng)絡(luò)的魯棒性，其中蓄意攻擊采用節(jié)點(diǎn)度優(yōu)先攻擊的方式。

3 攻防博弈模型

本文考慮的攻防博弈是一種完全信息的非零和靜態(tài)博弈[26]，完全信息在這里指的是每個(gè)參與人對其他參與人的特征，策略空間及支付函數(shù)完全了解，而靜態(tài)指的是同時(shí)行動的博弈，或者不同時(shí)但后行動者不知道之前行動者的決策。

3.1 博弈假設(shè)

針對本文的博弈模型做出以下假設(shè)：1） 只考慮一個(gè)攻擊者和一個(gè)防守者。實(shí)際上不論是多個(gè)攻擊者還是多個(gè)防御者，最終的決策目標(biāo)通常都是選擇最優(yōu)的結(jié)果。2） 所有的攻擊和防守行為均針對網(wǎng)絡(luò)中的節(jié)點(diǎn)。即攻擊者選取部分節(jié)點(diǎn)進(jìn)行攻擊，防守者選取部分節(jié)點(diǎn)進(jìn)行防守。當(dāng)一個(gè)節(jié)點(diǎn)被成功攻擊后，節(jié)點(diǎn)上所連接的邊也隨之被移除。3） 當(dāng)一個(gè)節(jié)點(diǎn)上的防御資源大于或者等于攻擊資源時(shí)，攻擊者針對此節(jié)點(diǎn)的攻擊視為無效，此節(jié)點(diǎn)依舊在網(wǎng)絡(luò)中發(fā)揮作用；當(dāng)該節(jié)點(diǎn)上的防御資源小于攻擊資源時(shí)，這個(gè)節(jié)點(diǎn)就被成功攻擊，在網(wǎng)絡(luò)中該節(jié)點(diǎn)就被刪除。4） 攻防博弈只進(jìn)行一輪。即攻擊者和防守者各自選定自己的策略，移除被成功攻擊的節(jié)點(diǎn)。然后計(jì)算雙方的收益，得到博弈的均衡。不考慮雙方在此基礎(chǔ)上繼續(xù)新一輪的博弈。

3.2 成本模型

攻擊者的目的是通過攻擊網(wǎng)絡(luò)中的部分節(jié)點(diǎn)達(dá)到網(wǎng)絡(luò)破壞的最大化，防御者通過對節(jié)點(diǎn)的資源投入盡可能地維持系統(tǒng)的正常運(yùn)行。但是不論是攻擊還是防御，針對節(jié)點(diǎn)采取措施必然會消耗一定的資源或者付出一定的代價(jià)，即：

cAi=rqAi，cDi=rqDi（4）

其中，ri≥0，ri為節(jié)點(diǎn)的參考屬性，本文將ri設(shè)為節(jié)點(diǎn)的介數(shù)值。cAi（cDi）表示節(jié)點(diǎn)vi的攻擊（防御）成本，其中qA，qD（gt;0）表示攻擊（防御）成本敏感參數(shù)。

3.3 博弈策略

假設(shè)VAV是關(guān)聯(lián)網(wǎng)絡(luò)中被攻擊的節(jié)點(diǎn)集，攻擊策略X=x1，x2，…，xn∈SA，其中SA為攻擊者的策略集。如果節(jié)點(diǎn)vi被成功攻擊，則xi=1，即vi∈VA，否則xi=0。

設(shè)CX為攻擊方采取策略X時(shí)的總成本，定義為

CX=∑vi∈VACAi=∑ni=1xiCAi=∑ni=1xiαrqAi（5）

因此，可使用的攻擊資源為CA，則資源預(yù)算限制為

CX=∑ni=1xiαrqAi≤CA（6）

對于理性的攻擊者來說，攻擊絕對不是一次性的事件。而是要考慮到攻擊失敗的資源消耗并為下次的攻擊做準(zhǔn)備。所以為了保證每一次攻擊達(dá)到資源的有效利用，應(yīng)該確定每輪具體的操作節(jié)點(diǎn)比，定義攻擊者攻擊節(jié)點(diǎn)的比例限制為pA：

∑vi∈VAvin=∑ni=1xin≤pA（7）

VDV是關(guān)聯(lián)網(wǎng)絡(luò)中被防御的節(jié)點(diǎn)集合，防御策略Y=y1，y2，…，yn∈SD。當(dāng)yi=1時(shí)，節(jié)點(diǎn)vi被成功防御。防御者在策略Y下的總成本為

CY=∑vi∈VDCDi=∑ni=1yiCDi=∑ni=1yiβrqDi（8）

可使用的攻擊資源為CD，資源預(yù)算限制為

CY=∑ni=1yiβrqAi≤CD（9）

對于處于弱勢并且希望盡可能保證網(wǎng)絡(luò)正常運(yùn)行的防御方來說，一些至關(guān)重要的目標(biāo)必須考慮資源的投入以及必要數(shù)量的節(jié)點(diǎn)被保護(hù)，所以防御方采取保護(hù)策略的節(jié)點(diǎn)比例限制為pD：

∑vi∈VDvin=∑ni=1yin≥pD（10）

3.4 博弈收益

當(dāng)一個(gè)沒有防御的節(jié)點(diǎn)受到攻擊時(shí)，它就會被從網(wǎng)絡(luò)中移除，也就是說當(dāng)xi=1，yi=0時(shí)，節(jié)點(diǎn)被移除。假設(shè)被移除的節(jié)點(diǎn)集是V＾V，因此，移除節(jié)點(diǎn)之后的網(wǎng)絡(luò)是G＾=（V－V＾，E＾）。則可知攻擊者的收益為

UA（X，Y）=P（G＾A）2P（GA）+P（G＾B）2P（GB）（11）

其中，Γ表示網(wǎng)絡(luò)性能度量函數(shù)，本文考慮介數(shù)虛擬流下的網(wǎng)絡(luò)級聯(lián)失效，所以將網(wǎng)絡(luò)故障前后所有節(jié)點(diǎn)的流量之和作為博弈的收益。同理當(dāng)所有被攻擊的節(jié)點(diǎn)在無防御的情況下被移除時(shí)，網(wǎng)絡(luò)可表示為G＾=（V－VA，E～），則防御者的收益為

UD（X，Y）=P（G＾A）2P（GA）expP（G＾A）－P（A）2P（GA）+P（G＾B）2P（GB）expP（G＾B）－P（B）2P（GB）（12）

3.5 納什均衡求解方法

由博弈論的知識可知，靜態(tài)博弈不存在純策略的均衡解[27]，而博弈中的混合策略納什均衡求解方法主要有線性規(guī)劃算法[28]，Lemake-Howson方法[29]和Porter-Nudelman-Shoham （PNS）[30]方法等。但逐一分析求解計(jì)算量過大且耗時(shí)過長，基于實(shí)際理性的決策者對于博弈的執(zhí)行一般都會遵循一定的規(guī)律與法則，例如目標(biāo)的重要性，目標(biāo)的位置以及執(zhí)行成功的概率等。所以本文只考慮兩種常用的策略：隨機(jī)策略和介數(shù)策略。詳細(xì)來說就是：隨機(jī)攻擊策略（Random Attack Strategy，RAS）、介數(shù)攻擊策略（Betweenness Attack Strategy，BAS）；隨機(jī)防御策略（Random Defense Strategy，RDS）、介數(shù)防御策略（Betweenness Defense Strategy，BDS）。因此可得所有策略配置下的攻防收益矩陣為圖3，uij表示攻擊者選擇策略i，防御者選擇策略j。

對于本文所討論的有限節(jié)點(diǎn)的博弈，納什早在1950年已經(jīng)證實(shí)：在任何有限博弈中，都存在至少一個(gè)納什均衡，不是混合策略納什均衡，就是純策略納什均衡[31]。由于本研究在每輪博弈中限制了操作節(jié)點(diǎn)比例pA（pD），對于均衡的計(jì)算采用線性規(guī)劃算法。隨機(jī)策略下的策略組合可能會不同，則收益也不同，每次博弈的結(jié)果就會不同。為了消除隨機(jī)因素對均衡的影響，獨(dú)立重復(fù)1 000次得到平均收益下的納什均衡結(jié)果。

4 數(shù)值分析

4.1 網(wǎng)絡(luò)關(guān)聯(lián)的魯棒性分析

為了量化不同網(wǎng)絡(luò)耦合和不同耦合方式下的關(guān)聯(lián)網(wǎng)絡(luò)的魯棒性，本文選取了節(jié)點(diǎn)數(shù)nA=nB=1 000的3種類型網(wǎng)絡(luò)：無標(biāo)度網(wǎng)絡(luò)（BA），小世界網(wǎng)絡(luò)（WS）和隨機(jī)網(wǎng)絡(luò)（ER）。分別通過5種關(guān)聯(lián)方式進(jìn)行耦合得到了9種關(guān)聯(lián)網(wǎng)絡(luò)：BA-BA、BA-ER、BA-WS、ER-BA、WS-BA、ER-ER、ER-WS、WS-ER和WS-WS。本文模擬了9種關(guān)聯(lián)網(wǎng)絡(luò)在蓄意攻擊下網(wǎng)絡(luò)連通率LCC的變化，仿真結(jié)果如圖4所示。

從網(wǎng)絡(luò)類型的角度看，當(dāng)兩種相同類型的網(wǎng)絡(luò)關(guān)聯(lián)時(shí)，BA-BA網(wǎng)絡(luò)在攻擊次數(shù)達(dá)到140時(shí)幾乎完全崩潰，ER-ER網(wǎng)絡(luò)緊隨其后，網(wǎng)絡(luò)崩潰的攻擊次數(shù)為250，WS-WS網(wǎng)絡(luò)表現(xiàn)出較強(qiáng)的魯棒性，直到攻擊次數(shù)達(dá)到800時(shí)仍然有部分節(jié)點(diǎn)正常工作。一個(gè)十分有趣的現(xiàn)象是即使同樣兩個(gè)網(wǎng)絡(luò)關(guān)聯(lián)，但是魯棒性的變現(xiàn)卻有所差異。例如在BA-ER網(wǎng)絡(luò)和ER-BA網(wǎng)絡(luò)中，當(dāng)攻擊次數(shù)達(dá)到140時(shí)，BA-ER網(wǎng)絡(luò)完全陷入癱瘓， ER-BA網(wǎng)絡(luò)卻仍有大量節(jié)點(diǎn)在進(jìn)行信息傳輸。具有這樣相似表現(xiàn)的還有WS-BA網(wǎng)絡(luò)，ER-WS網(wǎng)絡(luò)。

從關(guān)聯(lián)方式的角度看，大多數(shù)情況下，DPC和BPC關(guān)聯(lián)方式下的網(wǎng)絡(luò)魯棒性較差，RC緊隨其后，DIC和BIC關(guān)聯(lián)方式下的網(wǎng)絡(luò)能夠抵御多次的蓄意攻擊。這是因?yàn)镈PC和BPC兩種關(guān)聯(lián)方式都將網(wǎng)絡(luò)中高重要度的節(jié)點(diǎn)進(jìn)行連接，一旦這樣的節(jié)點(diǎn)故障，所關(guān)聯(lián)的子團(tuán)中必然包含大量節(jié)點(diǎn)，子團(tuán)中的節(jié)點(diǎn)相繼失效，就造成了網(wǎng)絡(luò)大規(guī)模的崩潰。

4.2 均衡收益分析

為了探究關(guān)聯(lián)網(wǎng)絡(luò)中關(guān)聯(lián)方式對網(wǎng)絡(luò)博弈均衡收益的影響，在兩個(gè)子網(wǎng)絡(luò)均為nA=nB=200的無標(biāo)度網(wǎng)絡(luò)上進(jìn)行了攻防博弈。博弈參數(shù)分別設(shè)置為：qA=qD=α=β=0.5，CA=CD=10 000，γ=1.5，得到了如圖5所示的攻防雙方均衡收益圖。

從攻擊者的視角看，當(dāng)pA=pD=0.1時(shí)，網(wǎng)絡(luò)中小部分節(jié)點(diǎn)遭到破壞，此時(shí)網(wǎng)絡(luò)中級聯(lián)失效的現(xiàn)象最嚴(yán)重，攻擊者更傾向于在此時(shí)采取行動，達(dá)到網(wǎng)絡(luò)破壞效果的最優(yōu)。在RC關(guān)聯(lián)下的網(wǎng)絡(luò)中一度達(dá)到了0.62，DIC關(guān)聯(lián)下的網(wǎng)絡(luò)緊隨其后為0.38，BIC關(guān)聯(lián)下的網(wǎng)絡(luò)均衡收益僅為0.23。這是由于此時(shí)的操作節(jié)點(diǎn)比例pA和pD較小，只在部分關(guān)鍵節(jié)點(diǎn)上投入了保護(hù)性資源。

從防御者的視角可以發(fā)現(xiàn)，在網(wǎng)絡(luò)中發(fā)揮重要作用的節(jié)點(diǎn)相互關(guān)聯(lián)不僅增強(qiáng)了網(wǎng)絡(luò)中的信息傳輸，網(wǎng)絡(luò)的脆弱性也隨之增加（見圖4）。一旦網(wǎng)絡(luò)故障則是崩潰性的，所以防御者對于DPC和BPC關(guān)聯(lián)下的網(wǎng)絡(luò)需要更加關(guān)注，防御性資源也需要盡可能達(dá)到精準(zhǔn)投入，為網(wǎng)絡(luò)的高效穩(wěn)定運(yùn)行提供必要的保障。

4.3 容忍系數(shù)分析

如圖6所示，本文探究了不同容忍系數(shù)下關(guān)聯(lián)網(wǎng)絡(luò)的均衡收益差異，對比了不同操作節(jié)點(diǎn)下攻防雙方的行動偏好。兩個(gè)子網(wǎng)絡(luò)均為nA=nB=200的無標(biāo)度網(wǎng)絡(luò)關(guān)聯(lián)，博弈參數(shù)分別設(shè)置為：qA=qD=α=β=0.5，CA=CD=10 000，令pA=pD=p。

當(dāng)γlt;1.2且p較小時(shí)，均衡收益的下降速率較大，γgt;1.2后處于一個(gè)相對較為穩(wěn)定的狀態(tài)。這意味著γlt;1.2時(shí)的關(guān)聯(lián)網(wǎng)絡(luò)非常脆弱，任何節(jié)點(diǎn)故障都會導(dǎo)致崩潰。隨著γ值的增加，節(jié)點(diǎn)容量的增加，網(wǎng)絡(luò)即使遭到攻擊，造成的級聯(lián)失效影響也較小，不會影響大部分節(jié)點(diǎn)的正常運(yùn)行。但是當(dāng)p=0.05和p=0.07時(shí)，操作節(jié)點(diǎn)數(shù)量的增加提高了防御者的地位，使其面對攻擊者的策略時(shí)有正確的判斷，資源投入的準(zhǔn)確性上升，降低了網(wǎng)絡(luò)破壞的規(guī)模，自然收益低于p較小時(shí)。

5 結(jié)論

為了探究關(guān)聯(lián)方式和網(wǎng)絡(luò)類型對網(wǎng)絡(luò)魯棒性和攻防博弈均衡的影響，本文提出了關(guān)聯(lián)網(wǎng)絡(luò)攻防博弈模型，對比了5種關(guān)聯(lián)方式下的9種關(guān)聯(lián)網(wǎng)絡(luò)的魯棒性，分析了容忍系數(shù)和關(guān)聯(lián)方式對均衡收益的影響。通過理論分析和仿真驗(yàn)證得如下結(jié)論：1） 通過度值正向耦合和介數(shù)正向耦合得到的關(guān)聯(lián)網(wǎng)絡(luò)的網(wǎng)絡(luò)魯棒性較差，即使同樣兩個(gè)網(wǎng)絡(luò)關(guān)聯(lián)，但魯棒性的表現(xiàn)也有所差異;2） 操作節(jié)點(diǎn)比例較小時(shí)，隨機(jī)耦合和逆向耦合策略下的關(guān)聯(lián)網(wǎng)絡(luò)更加受到攻擊者的青睞;3） 容忍系數(shù)較小時(shí)的關(guān)聯(lián)網(wǎng)絡(luò)較為脆弱，隨著容忍系數(shù)的增大，網(wǎng)絡(luò)中級聯(lián)失效發(fā)生的概率減小。

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（責(zé)任編輯 耿金花）